基于非线性输出频响函数的NES动力学参数设计

杨 凯， 张业伟,2， 丁 虎， 李 响， 陈立群,3

(1.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2.沈阳航空航天大学 航空航天工程学部，沈阳 110136； 3.上海大学 力学系，上海 200444)



基于非线性输出频响函数的NES动力学参数设计

杨 凯1， 张业伟1,2， 丁 虎1， 李 响1， 陈立群1,3

(1.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2.沈阳航空航天大学 航空航天工程学部，沈阳 110136； 3.上海大学 力学系，上海 200444)

基于非线性输出频率响应函数(Nonlinear Output Frequency Response Function, NOFRF)，对引入了被动非线性消振器(Nonlinear Energy Sink，NES)的单自由度振动系统进行了分析，从频域分析的角度评价NES的振动抑制效果，对其进行动力学参数设计。首先，建立了引入NES的振动系统非线性动力学模型。然后，通过数值仿真，对单自由度系统进行了非线性输出频率响应函数分析和输出频率响应分析，从频域分析的角度解释了在原振动系统中引入NES对原系统固有频率几乎没有影响的原因。最后，通过分析NES各参数对振动抑制效果的影响，对NES进行了动力学参数设计。本文得出的分析结果对于工程领域中NES的设计具有非常重要的指导意义。

非线性消振器；动力学参数设计；非线性输出频响函数；频域分析；立方非线性刚度

振动控制在诸如航天等工程领域中具有非常重要的意义[1-2]。相比于主动控制技术，被动振动控制技术拥有结构简单、成本低、不需要外加能源等优点，因此在工程领域中应用非常广泛。线性动力吸振器结构简单，是被动控制领域中最为常见的一种振动抑制装置。然而，线性动力吸振器最大的缺陷在于它只能在一个特定的频率附近起到振动抑制的作用，因此，无法实现宽频振动抑制。另外，在一个振动系统中引入线性动力吸振器，可能会反过来对原系统的固有频率产生影响。近年来，随着对非线性动力学特性研究的深入，VAKAKIS等[3]提出了一种刚度为硬化立方刚度的NES。相比于线性动力吸振器，NES的最大优点在于它可以实现宽频振动抑制，并且可以实现靶能量传递(Targeted Energy Transfer, TET)，即在特定条件下，原振动系统的能量会单向地流向NES。

近年来，NES作为被动控制领域的一大研究热点，国内外众多学者从实验到数值仿真都对其进行了广泛和深入地研究[4-8]。目前，针对NES的研究大部分通过时域响应分析或者能量耗散率来评价NES的振动抑制效果，从频域分析角度评价NES振动抑制效果的文献相对较少。频域分析中，一般通过快速傅里叶变换(FFT)分析频率响应来评价NES的振动抑制效果，但是FFT在应用到非线性系统中受到限制。

对于线性系统，传递率通常定义为输出频谱与输入频谱之比，由于该定义简单应用，因此也被广泛应用于非线性系统的频率响应分析中。然而，应当指出,从理论上讲该传递率定义对于非线性系统是不准确的[9]。

近年来，LANG等[9-11]提出了一种被称为非线性输出频率响应函数(Nonlinear Output Frequency Response Function, NOFRF)的新概念，并已在结构损伤诊断等工程实践中得到了一定的应用。NOFRF是由Volterra级数发展来的频域概念，可以看成是对线性系统中经典的频率响应函数(Frequency Response Function, FRF)向非线性系统分析的推广。对于可以用Volterra级数来描述的非线性系统，广义频率响应函数(Generalized Frequency Response Functions, GFRFs)[12-14]和NOFRF可以从两种不同的角度对非线性系统进行频域分析。然而，GFRF的最大局限性在于它的多维性，超过三阶以上的GRFR的显示、分析和估计都将变得极为困难。而相比于GFRF，NOFRF最大的优点就在于它的各阶次函数均为一维函数，可以方便地进行显示和分析，因此，通过引入NOFRF的概念，可以用类似于线性系统分析的方式对非线性系统进行分析。由于NOFRF是在非线性系统的背景下定义的，因此，相比于基于快速傅里叶变换的传递率概念，基于NOFRF的传递率概念对于非线性系统的频域分析更加准确。

本文使用基于非线性输出频响函数的概念对引入了NES的振动系统进行了分析，从频域分析的角度评价NES的振动抑制效果，对其进行动力学参数设计。首先，建立了引入NES的振动系统非线性动力学模型。然后，通过数值仿真，对该非线性系统进行了非线性输出频率响应函数分析和输出频率响应分析，从频域分析的角度解释了在原振动系统中引入NES对原系统固有频率几乎没有影响的原因。接着，通过分析NES各参数对振动抑制效果的影响，对NES进行了动力学参数设计。仿真结果表明，对于该系统，通过增加被动非线性消振器的阻尼，同时减小被动非线性消振器的质量和非线性刚度，可以减小传递率共振频率处的峰值，从而实现更好的振动抑制效果。最后，对该系统进行了能量耗散率分析，进一步从能量耗散率的角度验证了NES的宽频隔振性能。本文得出的分析结果对于工程领域中NES的设计具有非常重要的指导意义。

1 引入NES的单自由度系统动力学模型

图1所示为在单自由度结构中引入了NES的非线性动力学模型，NES与单自由度系统的质量块连接。该NES具有三次非线性刚度。简谐位移激励u作用在基座上。

图1 单自由度NES系统非线性动力学模型Fig.1 A SDOF oscillator with a nonlinear energy sink attached

该非线性系统的控制方程为：

(1)

式中:m1，k1，c1分别为单自由度系统的质量、刚度和阻尼；m2，k2，c2分别为NES的质量、非线性刚度和阻尼；x1为单自由度系统质量的位移，x2为NES质量的位移，u为简谐位移激励。

2 基于非线性输出频响函数的传递率分析

对于可以用Volterra级数来表示的非线性系统，输出xi(t)和输入u(t)之间的关系可以表示为[9]：

xi(t)=

(2)

式中:hn(τ1,…,τn)为Volterra级数第n阶核函数，N为系统最大非线性阶数。Lang等[12]给出了这一类非线性系统受到一般激励时的输出频率响应表达式：

(3)

式中：X(jω)为系统输出频谱，Xn(jω)表示系统第n阶输出频率响应[12]。

Hn(jω1,…,jωn)=

(4)

近年来，Lang和Billings提出了一种非线性输出频率响应函数(NOFRFs)的概念，定义为[9]：

(5)

在式(5)中，需要满足[9]

(6)

注意到Gn(jω)在Un(jω)的频率范围内都有效，该频率范围可由文献[12]中的算法得出。

通过引入非线性输出频率响应函数Gn(jω)，n=1,…,N，式(3)可以写为[12]

(7)

该表达式与线性系统中输出频率响应的表达式类似。非线性输出频率响应函数反映了系统本身和输入激励对于系统输出频率响应的综合影响。

当系统式(2)受到如下简谐激励时[15-16],

u(t)=Acos(ωFt+β)

(8)

非线性系统输出频谱可以表示为:

(k=0,1,…,n)

(9)

式中：[·]表示取整数部分[15-16]，

(10)

(11)

本文中，基于非线性输出频率响应函数的传递率定义为：

Tran(jωF)=X(jωF))/U(jωF))=

(12)

式中:U(jωF)为简谐激励输入u(t)的频谱。

根据参考文献[15],对于绝大多数情况，根据经验，取到系统四阶非线性对于基于非线性输出频响函数的分析一般已经可以满足精度要求了，基于方程(9)～(11)，该系统的四阶输出频率响应分量可表示为[15]：

(13)

(14)

(15)

(16)

3 仿真结果

接着，通过对振动位移传递率的仿真分析，研究被动非线性消振器的参数对传递率的影响。分析结果如图4～6所示。从图4中可以看出，通过在该线性系统中引入被动非线性消振器，在整个频率范围内都减小了振动传递率，从而可以实现宽频振动抑制效果，并且可以看出，引入被动非线性消振器对原线性系统的固有频率几乎没有影响。另外可以看出，在该系统中，通过增加被动非线性消振器的阻尼，可以在共振峰值处减小传递率，从而实现更好的振动抑制效果。

从图5中可以看出，在该系统中，通过减小被动非线性消振器的质量，可以在共振峰值处减小传递率，从而实现更好的振动抑制效果。

从图6中可以看出，在该系统中，通过减小被动非线性消振器的非线性刚度，可以在共振峰值处减小传递率，从而实现更好的振动抑制效果。

(a) GH1(jωF)(b) GH2(j2ωF)(c) GH3(jωF)

(d) GH3(j3ωF)(e) GH4(j2ωF)(f) GH4(j4ωF)图2 非线性系统(1)在简谐激励下的各阶非线性输出频率响应函数Fig.2TheNOFRFsofthenonlinearsystem(1)underaharmonicloading

(a) X(jω)(b) X(j2ω)(c) X(j3ω)(d) X(j4ω)图3 非线性系统(1)在简谐激励下的前四阶输出频率响应Fig.3Thefirstfourorderoutputfrequencyresponsesofthenonlinearsystemunderaharmonicloading

图4 非线性系统(1)在c2=200,3000,8000三种情况下的传递率以及不加NES时原线性系统的传递率Fig.4Thetransmissibilityofsystem(1)withc2=200,3000,8000andthetransmissibilityoftheprimarylinearsystem图5 非线性系统(1)在m2=15,20,25三种情况下的传递率以及不加NES时原线性系统的传递率Fig.5Thetransmissibilityofsystem(1)withm2=15,20,25andthetransmissibilityoftheprimarylinearsystem图6 非线性系统(1)在k2=1000,3000,8000三种情况下的传递率以及不加NES时原线性系统的传递率Fig.6Thetransmissibilityofsystem(1)withk2=1000,3000,8000andthetransmissibilityoftheprimarylinearsystem

最后，为了进一步从能量耗散率的角度验证该NES的振动抑制效果，对该系统在简谐激励频率分别为1/2共振频率、共振频率和2倍共振频率下进行了能量耗散率分析，分析结果如图7～9所示。从图7～9中可以看出，该NES分别在1/2共振频率、共振频率和2倍共振频率激励下都可以达到25%左右的能量耗散率，从而从能量耗散率的角度进一步验证了NES的宽频隔振性能。由于该组NES参数是未经过优化设计的参数，因此该NES能量耗散率还不是特别理想。在以后的工作中，作者会继续致力于NES的参数优化设计研究。

图7 激振频率为1/2共振频率激励下NES的能量耗散率Fig.7Proportionofdissipatedenergyunderaharmonicloadat1/2oftheresonantfrequency图8 激振频率为共振频率激励下NES的能量耗散率Fig.8Proportionofdissipatedenergyunderaharmonicloadattheresonantfrequency图9 激振频率为2倍共振频率激励下NES的能量耗散率Fig.9Proportionofdissipatedenergyunderaharmonicloadattwicetheresonantfrequency

4 结 论

本文使用基于非线性输出频响函数的概念，对引入了NES的振动系统进行了动力学参数设计。首先，建立了引入NES的振动系统非线性动力学模型。然后，对单自由度系统进行了非线性输出频率响应函数分析以及输出频率响应分析。最后，通过对该系统进行传递率分析来评价NES各参数对振动抑制效果的影响，对NES进行了动力学参数设计。

仿真结果表明，第一阶和第三阶的非线性输出频响函数要明显大于其它各阶非线性输出频响函数，因此，绝大部分能量会通过这两阶非线性输出频响函数传递到第一阶输出频率响应，而通过其它各阶非线性输出频响函数传递到高阶输出频率响应的能量将是可以忽略的，从而从频域分析的角度解释了在线性系统中引入被动非线性消振器几乎不会影响原线性系统固有频率的原因。对该非线性系统的输出频率响应分析也表明，第一阶输出频率响应要远远大于其它各高阶输出频率响应，进一步证实了该结论。

通过振动传递率分析，仿真结果表明，在该线性振动系统中引入NES，可以在整个频率范围内减小振动传递率，实现宽频振动抑制。同时，引入被动非线性消振器对原系统的固有频率几乎没有影响。并且发现，对于该系统，通过增加被动非线性消振器的阻尼，同时减小其质量和非线性刚度，可以在共振峰值处减小传递率幅值，从而实现更好的振动抑制效果。

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Parametric design of nonlinear energy sinks based on nonlinear output frequency-response functions

YANG Kai1, ZHANG Yewei1,2, DING Hu1, LI Xiang1, CHEN Liqun1,3

(1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University, Shanghai 200072, China;2. Faculty of Aerospace Engineerings, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China;3. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

The concept of transmissibility based on nonlinear output frequency-response functions (NOFRF) was used to evaluate the vibration isolation performance of a nonlinear energy sink (NES) of a single degree of freedom(SDOF) vibration system in frequency domain for NES parametric design. A SDOF structure with a NES attached system was adopted. Numerical simulations of NOFRFs and the frequency responses analysis of the SDOF system were performed. Thus, a physically meaningful explanation was provided for the phenomena introducing a NES into a vibration system with barely change of the resonant frequencies of the original system. Moreover, the effects of NES parameters on the transmissibility of the nonlinear system were evaluated. It was shown that by increasing the viscous damping and decreasing the mass and the cubic nonlinear stiffness of the NES, the transmissibility of the SDOF structure with NES is reduced at the resonant frequency for better vibration isolation performance in this case; therefore, the analysis results achieved in the present study are very important for NES design in engineering practices.

nonlinear energy sink; dynamic parametric design; nonlinear output frequency-response function; frequency domain analysis; cubic nonlinear stiffness

国家自然科学基金(11402151;11232009;11572182)

2015-05-25 修改稿收到日期：2015-10-23

杨凯 男，硕士生，1988年生

陈立群 男，教授，博士生导师，1963年生

O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.012