王梓屹
(山东省临沂第一中学)
高中几何解题方法技巧之我见
王梓屹
(山东省临沂第一中学)
几何是高中数学学习中充满乐趣和技巧的部分,同时也是让学生感觉头疼的难点。根据高中数学几何解题的思路、经验,总结几点高中几何解题的方法和技巧,供众多高中提高几何解题技巧的同学作为参考。
几何;高中数学;几何解题;数学复习
从近几年的高考数学立体几何出题形势来看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。高中几何的复习解题应该在掌握教材理论的基础上,突破读图、画图、识图、解图的重重难关。在高中几何学习中,我认为在几何解题中要不断地反思,在反思中总结,提升空间想象力和分析解答能力,这也是在几何考题中拿到高分的关键所在。对于高中几何的解题,我有以下几点方法和技巧总结。
我所学的高中数学几何定理主要分为平面定理和立体定理,几何的解题思路主要来源于各类定理的灵活运用。在平面几何中,我学习到勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。任意一组勾股数(a,b,v)可以表示为如下形式:
a=k(m2-n2),b=2km,c=k(m2+n2)
其中,k,m,n均为正整数,且m>n。勾股定理还有逆定理:如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。在这类计算、求解的几何题目中,就可以运用定理确定三角形边长,用逆定理确定该三角形是否为直角三角形。
数学对于许多学生而言是比较枯燥的学科,我个人认为几何图形是给数学解题中增加乐趣和美感的润滑剂。例如,数学中的几何图形提供解题的思路和基础,在现代社会的物品设计中几何图案越来越流行,从平面到室内设计到建筑设计,随处可见几何图形的踪影,强大的拼接给我们震撼的美学视觉。解题过程中遇到不同平面类型的几何图形,我会发散思维想象与图形相似的显示物品,如三角形解题中,它强大的牢固性常常应用于建筑屋顶、自行车架、钻井平台、塔吊固定等。在现实生活与自然界中,目所能及之处,几乎都会有几何形纹路及图案的存在。有限的几何图形不仅可以拼出世间万象,其简约的造型还能引发我天马行空的无限遐想。
高中的几何从平面到立体,解题的思路都是需要层层递进,尤其是在几何的求证题中能常应用到此技巧。经过对高中几何证明题的学习和复习,我总结了几何证明题需要从“已知”入手,结合题目需要“求证”的内容,逐渐剖析出要得出“求证”需要获得哪些条件,逐步分析题目的“已知”能提供的一些条件,如果条件不足,我认为可以常用逆向思维的解题技巧,分析最终缺少的条件。最后思路清晰后可以借助辅助线、定理和逆定理、追溯“已知”的方法,找出最终需要在“已知”“求证”中间搭建的“桥梁”。
已知在△ABC中,AE是△ABC的外角∠DAC的平分线,且AE∥BC,求证:AB=AC。我通过定理和已知分析:如果要证明AB=AC,可考虑用等腰三角形的定义去证明,只要证明△ABC为等腰三角形,问题就迎刃而解了。所需要的条件是∠B=∠C,则△ABC为等腰三角形。由已知中AE是△ABC的外角∠DAC的平分线,通过此条件可以延伸出AE∥BC,∠DAE=∠B,∠EAC=∠C=∠B,最终得出△ABC为等腰三角形,AB=AC。
在数学的几何解题中,创造解题的条件的思路是非常关键的。个人的定向思维、解题思路的限制,常常会导致几何解题出现“高原反应”。我在高中的几何学习中,比较倾向于小组多人探讨解题思路,相互促进增加解题灵感,多人不同的解题思路,发散的思维也让人在解题中茅塞顿开。
已知在△ABC中,AB=AC,D为AB上的一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE连线交BC于点F,求证:DF=EF。根据题目的已知条件,需要求证DF=EF,需要借助辅助线完成证明。
通过小组成员的讨论解题,发现该题可以一题多解,不同位置做出的辅助线所获得的证明条件有所不同,但终归还是向求证DF=EF方向进行,也可以说是条条大路通罗马。
(1)可以通过过E点做AB的平行线交BC的延长线与G点,可以容易得出EG=CE这一条件;
(2)可以通过D做AE的平行线,交BC于G,容易得出BD= DG这一条件;
(3)可以延长BC到G,使CG=BF,连接EG,容易得出△BDF≌△CEG这一条件。
在数学中,引入几何图形,主要的目的就是用来研究事物的周长、面积和体积等数据。高中数学的几何学习、解题是非常重要的,数学成绩是高考总成绩的关键科目,几何解题方法和技巧因人而异,每个人适用的方法技巧有所不同。在高中学习、复习的几何解题中,我觉得更重要的是多练、多解题,熟能生巧。
[1]张艺璇.关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略[J].亚太教育,2015.
[2]施建华.立体几何中常见的几种解题技巧[J].数理化学习,2015.
[3]王玉娟.分析高中数学立体几何的解题技巧[J].理科考试研究,2015.
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