抓住本质 化繁为简———从函数定义出发理解复合函数定义域、解析式和值域

李代辉

（四川省德阳市德阳中学校）

抓住本质化繁为简———从函数定义出发理解复合函数定义域、解析式和值域

李代辉

（四川省德阳市德阳中学校）

在函数的教学中，复合函数是一个教材不讲、理解困难、考试要考的老大难问题。本文将从函数定义出发考虑复合函数的定义域、解析式和值域，希望能为读者理解复合函数提供帮助。

最新的人教版教材函数定义是：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于∀x∈A，在集合B中都有唯一确定的数∃y=f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。由这个定义，我们可以建立一个对应的图形来方便我们理解复合函数，如下图：

一、看定义域

在函数定义中，我们用x表示A中所有元素，那么能否用字母t表示A中所有元素呢？当然可以。那能否用表达式x+1表示A中所有元素呢？也是可以的。那能否用一般的表达式g（x）表示A中所有的元素呢？也是可以的（注：这个说法是不严密的，因为g（x）的范围不一定就能把A中所有元素取完。但高中只考查g（x）的范围是R的时候，所以在高中是可以的）。由此，我们可以得到：同一个对应法则f下，定义域A中的元素用哪一个表达式表示并不能改变A的范围，它们的范围都是A。所以可得结论：f［g（x）］中g（x）的范围和f（x）中x的范围相同。举例如下：

例1.①已知f（x）定义域为［-1，1］，求f（x+1）的定义域；②已知f（x+1）定义域为［-1，1］，求f（x）的定义域；③已知f（x-1）定义域为［-1，1］，求f（x+1）的定义域

解：①∵f（x）中x∈［-1，1］，∴f（x+1）中x+1∈［-1，1］，解得，∴-2≤x≤0，∴f（x+1）的定义域为［-2，0］

②∵f（x+1）中x∈［-1，1］，解得0≤x+1≤2，∴f（x）中x∈［0，2］，∴f（x+1）的定义域为［0，2］

③∵f（x-1）中x∈［-1，1］，解得-2≤x≤0，∴f（x+1）中x+1∈［-2，0］，解得-3≤x≤-1，∴f（x+1）的定义域为［-3，-1］

点评：从本题可以看出f（x）与f［g（x）］是两个不同的函数，x是不同的意思。两个函数的唯一联系就是f［g（x）］中g（x）的范围和f（x）中x的范围相同。

二、看解析式f

在定义中明确说了f（x）叫函数值，由此得到f（x）的两层意思。第一层，当x确定时，f（x）是一个确定的函数值；第二层，当x任意变化时，f（x）是函数。而要求复合函数f［g（x）］的解析式，我们完全可以从函数值的角度理解和求f［g（x）］。用g（x）整体替换f（x）中的x就可以得到f［g（x）］的解析式了。

解：①f（x2+1）=（注：用x2+1替换条件中每一个x）

②令x+1=t，则x=t-1，∴f（x+1）=f（t）=，

点评：f（x）与f［g（x）］的解析式互求体现的都是一个整体代换（即换元）的思想，所以能整体代换的就代换（题①），不能直接代换的可以通过换元来解决（题②）

三、看值域

由定义可知，f（x）的值域是由x的范围A通过对应法则f（也就是解析式）求出。而f［g（x）］的值域求解由上图可知，先将f［g（x）］拆成f（t）和t=g（x），然后由x范围通过对应法则g求出t= g（x）的范围，最后由t通过对应法则f求出f［g（x）］的范围。

解：令t=x2-2x，则f（x）=；∵x∈［3，5］，∴3≤t≤15，∴≤ f（x）≤，

点评：复合函数f［g（x）］的值域求解难点就是要能将一个函数拆成多个常见函数，从而依次求范围即可。

综上所述，可知从函数定义理解复合函数的知识点是可行的。加之现在复合函数的考查已偏简单，所以，读者只需要能理解上面的结论，基本上求解和应用都不在话下。

·编辑杨国蓉