运用探究归纳方法，发展学生推理能力——以苏科版八（上）“探究三角形全等的条件1”为例

■谢建新

运用探究归纳方法，发展学生推理能力——以苏科版八（上）“探究三角形全等的条件1”为例

■谢建新

推理能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中提出的数学课程十个核心概念之一，其中，数学推理是指人们在数学观念系统作用下，由若干数学条件，结合一定的数学知识、方法，对数学对象形成某种判断的思维操作过程。《课标》指出推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，一般包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论。论证是推理形式的运用，推理是论证的工具。本文以发展学生推理能力为目的，与大家一起研讨苏科版八（上）“探究三角形全等的条件1”中的教学活动片段及设计意图。

一、教学活动片段及设计意图

教学活动1.复习引路，提出问题。

师：复习提问，什么叫全等三角形？

生1：两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

师：如图，△ABC与△DEF全等吗？你是怎样验证的？

生2：用平移的方法看△ABC与△DEF是否完全重合，若完全重合，则全等；若不完全重合，则不全等。

师：也就是说，根据全等的定义来判断两个三角形全等，需要三条边对应相等、三个角对应相等，即六个元素分别对应相等。是否有更简单的判定方法呢？

（设计意图：教师将前一节课内容进行复习，回忆什么叫做全等三角形，从中引出本节课的学习内容）

教学活动2.活动探究，发现问题。

师：根据全等的定义来判断两个三角形全等，需要三条边对应相等、三个角对应相等，即六个元素分别对应相等。是否有更简单的判定方法？例如：一个元素对应相等；两个元素对应相等；三个元素对应相等……你是如何考虑的？

生3：可以从最简单的情况开始考虑，看当两个三角形一个元素分别相等时，一个角分别相等的两个三角形是否全等，一条边分别相等的两个三角形是否全等。

生3：一个角分别相等的两个三角形不全等。例如：我们手中天天用的这副三角板，每个三角板都有一个角为90°，而这两块三角板不重合，所以说，一个角分别相等的两个三角形不全等。

生4：一条边分别相等的两个三角形也不全等。例如：我们手中天天用的这副三角板，等腰直角三角板的斜边与另一块直角三角板60°角所对的直角边相等，而这两块三角板不重合，所以说，一条边分别相等的两个三角形不全等。

师：刚才两位同学说得很好，请问：当两个三角形两个元素分别对应相等时又将怎样？有几种情况？

生5：当两个三角形两个元素分别相等时有三种类型：第一种，两个角分别相等的两个三角形是否全等；第二种，两条边分别相等的两个三角形是否全等；第三种，一角一边分别相等的两个三角形是否全等。

生6：两个角分别相等的两个三角形不全等。例如，老师用的含30°、60°的直角三角板与我手中含30°、60°的直角三角板有两个角分别相等，老师的三角板大而我的三角板小，不会完全重合，所以说，两个角分别相等的两个三角形不全等。

生7：一边一角分别相等的两个三角形不全等。例如，我们手中天天用的这副三角板，等腰直角三角板的斜边与另一块直角三角板60°角所对的直角边相等，这两块三角板都有一个相等的角为90°，而这两块三角板不重合，所以说，一边一角分别相等的两个三角形不全等。

生8：两条边分别相等的两个三角形不全等。例如，顶角为90°，腰长为6cm的等腰三角形与顶角为60°，腰长为6cm的等腰三角形不会完全重合，所以说，两条边分别相等的两个三角形不全等。

师：同学们讲得很好，并且有很清晰的分类思想，请问：当两个三角形三个元素分别对应相等时又将怎样？有几种情况？

生9：当两个三角形三个元素分别相等时可分四种类型：第一种，（三角）三个角分别相等的两个三角形是否全等；第二种，（两角一边）两角夹边分别相等的两个三角形是否全等，两角一边分别相等的两个三角形是否全等；第三种，（一角两边）两边夹角分别相等的两个三角形是否全等，两边一角分别相等的两个三角形是否全等；第四种，（三边）三条边分别相等的两个三角形是否全等。

生10：当两个三角形三个元素分别相等时分六种类型：第一种，（角角角）三个角分别相等的两个三角形是否全等；第二种，（边边边）三条边分别相等的两个三角形是否全等；第三种，（角边角）两角夹边分别相等的两个三角形是否全等；第四种，（角角边）两角一边分别相等的两个三角形是否全等；第五种，（边角边）两边夹角分别相等的两个三角形是否全等；第六种，（边边角）两边一角分别相等的两个三角形是否全等。

（设计意图：在《课标》中，明确提出了“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、验证、推理、计算、证明等活动过程”的要求。这就要求我们在课堂上应努力呈现有效的问题情境，以便学生能根据有效的情景展开合理猜想。在上面的教学中，教师能够根据学生的实际，合情合理地引导学生大胆进行思考、推理、猜想得出结论）

教学活动3.动手操作，获得事实。

师：本节课我们一起研究两边夹角分别相等的两个三角形是否全等。

操作1：同学们把课前老师布置的作业——画好的三角形拿出来（AB=5㎝，∠A=40°，AC=4㎝三角形），同学之间互相交流你有什么发现。

生11：我们所画的三角形都一样。

生12：我们画的是一个特殊的三角形。如果画一般的三角形会全等吗？

师：该同学提出的问题很好，我们一起来思考。

操作2：对照课本第13页，按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A=∠α，AB=a，AC=b。

师：把你所作的三角形剪下来，与同组同学交流，有什么发现？

生13：老师，我们所作的三角形互相重合，即两边夹角分别相等的两个三角形全等。

师：我们可以得到，判断两个三角形全等的一个基本事实：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。

（设计意图：通过学生的动手操作、实验、积极思考、合作交流等重要的学习方式得出实验事实，学生经历、体验、探索活动得出的结论将终生难忘）

教学活动4.应用举例，理解事实。

例：已知，如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC。

求证：△ABC≌△ADC。

师：要证明△ABC≌△ADC，用什么判定方法？

生14：用刚学的“边角边”来判定这两个三角形全等。

师：用“边角边”需要几个条件？

生15：三个条件，两条边及其夹角分别相等，已知条件中已告诉我们一条边一个角对应相等，只需找出另一条边对应相等就行了。

师：另一条边相等怎样得到？

生16：我们把条件搬到图形中，可以发现这两个三角形还有一条公共边即AC=AC，这样三个条件就找到了。

证明：在△ABC和△ADC中

（设计意图：例题出来后，先让学生思考两分钟，教师提出问题，引导学生分析问题，发现解决问题的方法，同时提醒学生将已知条件搬到图形上，发现图中的隐含条件（公共边相等），注意书写格式，强调三角形全等边角必须对应，进一步训练学生的逻辑推理的规范性和思维的严密性。在例题中既体现了合情推理，也体现了演绎推理）

教学活动5.变式训练，巩固事实。

已知：如图，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。

求证：∠B=∠C。

师：要证明∠B=∠C，应该想到什么？需要证明什么？

生17：该图形可以看做△ABE与△ACD有一个公共角叠合在一起的两个三角形，只要证明这两个三角形全等就行了。

（设计意图：本题的训练目的是让学生发现，将例题中的△ABC绕A点逆时针旋转，∠BAC就变成了本题的图形。进一步巩固了几何证明中演绎推理的书写格式）

二、教学反思

1.教学设计应基于学情，培养学生的推理意识。

教学设计要基于学生的认知水平。《课标》中强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。美国教育心理学家奥苏伯尔说过：“影响学生学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”上述课堂设计中，教师从学生已有的知识出发，把学生身边常用的一副三角板拿出来多次作为教学中的反例，学生一目了然，让知识自然生成，让思维自由飞翔。把判断两个三角形全等的方法自然而然地引到三个条件对应相等的思路上来，可以说是水到渠成。学生的推理能力在已有的认知水平上不断得到提升。

2.教学方法应尊重差异，发展学生的推理能力。

本节课以《课标》中课程核心概念为主线，在教学方法上尊重学生个体的认知差异，通过学生的动手操作、实验、积极思考、合作交流发展学生的推理能力。

（1）在探究两个三角形全等时，需找到几个元素对应相等，先抛出问题引导学生从最简单的情况开始思考，一个元素对应相等的两个三角形不全等，两个元素对应相等的两个三角形不全等，学生能通过合情推理举出反例，体现了学生的思想活动过程，通过经历观察、探究、合作交流的活动，充分发展了学生的合情推理能力。

（2）在获得事实（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）的过程中，学生通过尺规作图作出相应的三角形，给学生充分的时间和空间经历观察、实验、猜想、验证、合作、推理获得“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的事实。通过例题的讲解、变式训练让学生进一步认识到合情推理与演绎推理在几何学习中是不可缺少的数学思想方法。

所以在几何学习过程中，学生的推理能力得到了发展。

3.教学目的应面向全体，应用数学推理能力。

数学推理能力蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，数学推理能力不能仅靠教师对知识的讲解、题目的分析与解决而帮助学生形成，更需要渗透在新知识的形成过程中。实际教学中，教师要多给学生提供参与教学活动的机会，通过观察、实验、操作、合作、探究，让学生在充分参与教学活动的过程中真正感悟数学推理能力。

基于上述分析，数学推理能力的具体内涵为：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑性思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），做出推论，再进一步寻求证据、给出证明或举出反例说明所给出推论的合理性的一种综合能力。数学推理不仅在几何中根据公理、定义、定理、推论等证明有关结论，而且在代数中也是不可缺少的数学思想方式，例如有理数的计算、方程、不等式、函数、统计与概率等必须根据定义、法则、顺序等进行推理进而达到解决问题的目的。在日常生活中也少不了数学推理能力，生活中遇到问题时，必须分析问题、找到解决问题的方法，在这个过程中，数学推理能力显得更为重要。

（作者为江苏省南京市第五初级中学教师）