微分几何背景下Dini曲面的几何性质研究*

朱红桃，梁馨月，梁 林

(1.云南师范大学，云南 昆明 650500；2.楚雄师范学院科技处，云南 楚雄 675000)



微分几何背景下Dini曲面的几何性质研究*

朱红桃1，梁馨月1，梁 林2

(1.云南师范大学，云南 昆明 650500；2.楚雄师范学院科技处，云南 楚雄 675000)

曲面是经典微分几何研究的主要对象，它的性质很丰富.本文以Dini曲面为背景，以微分几何为工具，讨论了三维欧氏空间中Dini曲面的有关几何性质，给出了Dini曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率等几何性质；再由高斯曲率、平均曲率，得到Dini曲面的极小轨迹。

Dini曲面；主曲率；高斯曲率；极小轨迹

微分几何是以数学分析的方法为基础，应用微积分的理论对空间几何性质进行研究的学科，而曲面是微分几何研究的主要对象，它有许多丰富的性质。曲面的性质是近几年的研究的新的热点。袁媛、刘会立在文[1]中讨论了特殊曲线的副法线曲面以及由此特殊性而得到的相关结论。梁林在文[2]中讨论了曲线的副法线曲面，得到它的几何性质。受此启发，本文采用类比研究的方法讨论了Dini曲面，得出了Dini曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率、极小轨迹。

1.预备知识

(1.1)

第一基本形式为 I=Edu2+2Fdudv+Gdv2.

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

引理3[3]曲面上一点的主曲率的计算公式为

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

2．主要结论

设曲面的参数方程为

(2.1)

其中

u,v为参数，a,b为常数，记Dini曲面为

(2.2)

定理1 Dini曲面∑的第一基本形式为

(2.3)

(a,b为常数)，对曲面方程求一阶导，得

(2.4)

于是，由公式(1.2)及(2. 4)得Dini曲面∑的第一基本形式为

Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2

定理2 Dini曲面∑的第二基本形式为

(2. 5)

证明 由(2.4)知

对ru, rv求一阶导，得

(2. 6)

得Dini曲面∑的第二基本形式为

求一阶导得

定理4 Dini曲面的曲纹坐标网不是共轭网.

定理5 Dini曲面上的曲纹坐标网不是渐近网.

证明 由(2. 6)知

定理6 Dini曲面上的曲纹坐标网不是曲率线网.

证明 由(2. 4)(2. 6)知

定理7 Dini曲面上的曲纹坐标网不是切比雪夫网.

证明 由(2.4)知

对u,v求一阶导，得Gu=0, Ev=a2sin2v≠0即得证.

(2.7)

证明 由公式(1.7)知Dini曲面的主曲率的计算公式为

又由(2. 4)和(2. 6)知

令m=a2[a2sin2vcos2v+b2cos2v(cos2v+1)],

设Dini曲面的主曲率为k1和k2，解得

(2.8)

又由(2. 4)和(2. 6)知

(2.9)

又由(2. 4)和(2. 6)得

(2.10)

证明 由定义知H=0，又由(2. 9)知

所以Dini曲面的极小轨迹为

定理12 Dini曲面具有正则性.

(2.11)

所以Dini曲面具有正则性.

(2.12)

由公式(1.3)知

[1]袁媛，刘立会.空间曲线的副法线曲面[J].东北大学学报，2012,33(10)：1517―1520.

[2]梁林.曲线的副法线曲面及其性质研究[J].楚雄师范学院学报，2015,30(03):1―4.

[3]梅向明，黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2008.

(责任编辑 李艳梅)

Research on the Geometric Properties of the Dini SurfaceundertheBackgroundofDifferentialGeometry

ZHUHongtao,LIANGXinyue&LIANGLin

(Yunnan Normal University, Kunming, 650500, Yunnan Province;Science & Technology Dept., Chuxiong Normal University, Chuxiong, 675000, Yunnan Province)

Surfaceismainobjectoftheclassicdifferentialgeometry,whichhasalotofdifferentialgeometry,BasedontheDinisurfaceasthebackground,DiniinthreedimensionalEuclideanspacewerediscussedaboutthegeometricpropertiesofthesurface.GivestheDinisurfaceasymptote,maincurvature,gaussiancurvatureandmeancurvaturegeometryproperties;Againbygaussiancurvatureandmeancurvature,obtainedtheDinitinytrajectoryofthesurface.

Dinisurface;Maincurvature;Gaussiancurvature;Minimalpath

楚雄师范学院国家自然科学基金孵化项目。

2016 - 04 - 24

朱红桃(1991―)，女，硕士研究生，研究方向：学科教学(数学)。

O186.16

A

1671 - 7406(2016)09 - 0001 - 06