面积法在解中考数学试题中的运用——以山西省近三年中考试题为例

郝晓鑫 韩龙淑（太原师范学院数学系）

面积法在解中考数学试题中的运用
——以山西省近三年中考试题为例

郝晓鑫 韩龙淑（太原师范学院数学系）

综观中考数学试题，有不少几何问题运用面积法求解可达到事半功倍的效果.近三年的山西省中考数学试题中就有运用等面积法求线段长度的问题.借助分割与组合图形进行等积变形，通过比例与转换建立面积关系的方法求解图形面积几类题型.鉴于面积法具有强大的生命力，可繁衍出许多类型的题目，故通过几道试题来展现运用面积法解题的思考过程和思维方法.

中考数学试题；面积法；几何问题；思维方法

图形与几何是初中数学课程内容的四大领域之一，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出在数学教学中应当注重发展学生的几何直观，因此几何问题一直是数学中考的重点.利用面积法，可以解很多类型的题目.例如，与线段相关的：求线段的长、求线段之比、证明线段相等与不等、证明线段的和与差等；由线段进一步繁衍出与角相关的问题，比如利用面积法证明两线段相等后，再利用相关定理与推论：等边对等角、角平分线性质定理的逆定理等得出两角相等；此外，还可求解与面积有关的题目.下面通过几道利用面积等式或等积变形求解有关线段长度或图形面积等问题，展现面积法是如何起到出奇制胜效果的.

一、运用等面积法求线段的长度

在中考试题中直接求线段长度的问题，等面积法的运用显得较为隐蔽，也需要一定的思维量.本部分结合波利亚《怎样解题》中如何理解题意、拟定方案等解题路径进行分析.

例1（2013年山西卷第17题）如图1，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为_______.

图1

解析：首先，理解题目，明确“要求什么”，要求AE，折叠得到AE=A′E.其次，找出已知量与未知量之间的联系，要求AE（或者A′E），直接求AE不方便，可转化为求A′E.

等式中已知量为AD和BD，要求的量为A′E，还需知道EB.对于EB，AB=DC=12，将EB转化为12-AE.至此等式变为13×A′E=5×（12-AE）.

例2（2015年山西卷第15题）太原公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如图2所示.

AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80 cm，AD=24 cm，BC=25 cm，EH= 4 cm，则点A到地面的距离是_________.

图2

解析：明确“求什么”，点A到地面的距离.若问题为现实情境的，可转化为数学问题.如图3，过点A作HG的垂线，垂足为点J，交EF于点I，则要求的量为AJ=AI+IJ.而IJ=4 cm，下面求AI.

图3

其次，找出已知数据与未知量之间的联系，要求AI，将其置于直角梯形ABCD中考虑.观察AI与梯形ABCD能建立什么联系？由AI⊥BC联想到高线，而BC已知，可表示出S△ABC，进而想到做辅助线AC.至此注意指向为建立面积关系.

有了辅助线AC之后，梯形ABCD被分为△ABC和Rt△ACD两部分.进而想到S梯形ABCD用S△ABC与S△ACD两部分来表示，而S△ABC已经可以用含有要求的量AI来表示.那Rt△ACD呢？要求S△ACD，AD已知，需要求CD.想到作辅助线CK（过点C作AB的垂线，垂足为点K），此时在Rt△BCK中，由勾股定理得出BK=7 cm，有CD=AK=73 cm.

最后，执行方案，解得AI=76.8 cm.则AJ=AI+ IJ=76.8+4=80.8 cm.

例3（2015年山西卷第16题）如图4，将正方形纸片沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为点D′，点C落在点C′处，若AB=6，AD′=2，则折痕的长为________.

图4

图5

解析：明确要求的量，折痕的长即为线段MN的长度.分析题目中有哪些已知量，通过已知量又可推出哪些与所求线段相关的数量关系.翻折问题，暗含许多等量关系，DM=D′M，CN=C′N，DC=D′C′.直角梯形CDMN与直角梯形C′D′MN全等.

线段MN能与整体建立什么联系呢？最直观的是MN为直角梯形CDMN的一条边，而要想在直角梯形中求解MN，通过面积来建立等式是一种容易想到的办法，至此注意指向为建立面积关系.

直角梯形CDMN的面积，要通过公式来求的话，已知CD，还需要求DM和CN；要通过建立等式来求MN，就需要构建一种含有未知量MN的梯形CDMN的面积表示方法，转换为两个三角形面积之和来求.而当求出CN之后，△CDN的面积可求，△DMN的面积表示中若将MN视为底边时，还缺少高线，故自然连接DD′，交MN于点O，DD′长度的一半即为高线OD的长度.总之，要求的量为MD，CN，DD′，具体计算时，MD，DD′可在Rt△MAD′和△ADD′中利用勾股定理求得，但求CN的长度思维受阻.

二、运用面积法求解图形的面积

1.通过分割与组合图形进行等积变形

在《怎样解题》中，G·波利亚指出，分解和重组是思维的重要活动，即把一个整体分解成它的各个部分，然后又把这些部分重组，使之成为一个与原来或多或少有些不同的整体.本部分根据此思想，当原来的图形通过直接计算面积思维受阻之后，通过分割与组合将不规则图形转化为规则图形，来达到优化图形迅速解题的目的.

例4（2013年山西卷第12题）如图6，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_______.

图6

图7

解析：图中要求的阴影部分的面积是不规则图形，直接计算，难以入手.而从题目中获知阴影部分

是由菱形ABCD和扇形BEF两种规则图形相重叠之后，扇形所多出的部分，从它的形成过程，联想到求阴影部分的面积可以转化为两个“易求面积的图形”的面积之差.

扇形面积可求，但在求重叠部分的面积时，思维受阻.故想到通过割补将其转化.分割：观察图形，点D将阴影部分分为两部分.故沿直线DB分割.出现了规则图形等边△BCD.拼补：分割之前，扇形的圆心角为60°，拼补后的扇形圆心角必定也为60°，因为∠CBD=60°，故尝试将扇形BED补到扇形BFC的位置（如图7），由于扇形BED与扇形BFC的半径与圆心角相等，从而两个扇形全等.至此不规则的阴影部分转化为扇形BCD部分减去等边△BCD部分.

例5（2014年山西卷第10题）如图8，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点N，M.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为_______.

图8

解析：要求四边形EMCN的面积，而已知的量为EC，∠MEN=90°，∠BCD=90°.直接计算面积，思维受阻，联想到通过分割将不规则图形转化为规则图形.

在进行分割时，尽量保持特殊值、固定值不变.同时，对一般四边形容易想到转化为面积易求的矩形.故保持EC，∠BCD=90°不变，过点E作BC的垂线，垂足为点P.此时，四边形被分割为四边形EMCP和Rt△EPN两部分（如图9）.

图9

2.通过比例与转换建立面积等式

通过比例与转化建立面积等式主要是指整体与局部的相互转换，即当整体或局部的面积易得，且比例关系清晰，则可以建立面积等式求解.这是以G·波利亚在《怎样解题》中数学解题是命题的连续变换，可见解题过程是通过问题的转化完成的，而将未知的问题转化成已知问题是转换的重要方式之一为思想基础的.

例6（2013年山西卷第25题）数学活动——求重叠部分面积.

问题情境：如图10，将两块全等的直角三角形纸片ABC与DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC= FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，求重叠部分△DCG的面积.

图10

合作交流：如图11，“数学小组”受此启发，将△DEF绕点D旋转，使ED⊥AB交AC于点H，交DF于点G，求重叠部分△GDH的面积.

图11

提出问题：如图12，“爱心小组”提出，将△DEF绕点D旋转到HG=HD时，求重叠部分△GDH的面积.

图12

解析：在此题中，要求的三角形面积均为整体△ABC的一部分，而△ABC的面积可求；若能找到所求三角形与△ABC之间的比例关系，即可将所求三角形的面积通过比例关系转换为△ABC的面积，列出方程进行计算.故接下来的目标为尝试寻找各种情况下的比例.

合作交流：要求一般△GDH的面积，发现它不是直角三角形，与△ABC不相似，比例关系难寻，那能否寻找一个直角三角形，使其成为该直角三角形的一

部分呢？

此时需要寻找S△GDH与S△ADH的关系.观察发现△GDH中HG边上的高与△ADH中AH边上的高相等.至此，注意指向为GH与AH的长度关系.

经分析由∠ADG+∠GDH=90°，∠A+∠B=90°，∠B=∠GDH三个条件，可得∠A=∠ADG.则有AG= DG.同时∠A+∠AHD=90°.而∠ADG+∠GDH=90°，故∠GHD=∠GDH.得GD=GH.有AG=GH.所以S△GDH∶S△ADH=1∶2.

提出问题：要求S△GDH，但△GDH与△ABC不相似，比例关系难以得到，由第（2）小题的思路得到启发，寻找直角三角形，但已有△ADH不是直角三角形，从而尝试构造直角三角形，如图13，连接CD，构造△CDG.若∠CDG=90°，则△CDG可作为过渡三角形.由HG=HD，得∠HGD=∠HDG.

图13

而∠HDG=∠B=∠DCB，

故∠HGD=∠DCB.

因为∠BCD+∠DCH=90°，

从而∠HGD+∠DCH=90°.

故∠CDG=90°.

从而△CDG为过渡直角三角形.

【反思】通过分析例6的思路发现，通过比例与转化建立面积等式进而求解面积可行且简便，同时发现所求三角形均与易求面积的基本三角形“直角三角形”建立联系，第（1）小题中所求的即为直角三角形面积；第（2）小题中将要求面积的三角形作为直角三角形的一部分；第（3）小题中需要构造直角三角形来求解面积，由此可见基本图形“直角三角形”具有广阔的拓展空间.在解题时，要具有将一般三角形转化为基本三角形的意识，抓住问题的本质，便可突破植根于基本图形“直角三角形”的大量题目.

面积法可解的题目种类繁多，且与转化思想紧密结合，可作为后续考试命题的切入点，下面是一道运用面积法证明线段不等的模拟题，希望能够抛砖引玉，教师根据面积法解题的三大类型：与线段有关、与面积有关、与角有关.可拓展出更多的优质题目.

模拟题：如图14，BD为∠ABC的平分线，已知AD＞CD.求证：AB＞BC.

图14

解析：由已知条件BD为∠ABC的平分线，联想到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.故过点D作AB，CB的垂线段DE，DF（如图15），有DE=DF.要求证AB＞BC，结合两垂线段相等，进一步思考得到在△ADB和△CDB中可将四条线段统一起来，即AB和BC分别为三角形的两底，DE和DF分别为两个三角形相等的高，从而想到三角形的面积，只要证明S△ADB＞S△CDB，即可证明AB＞BC.分析条件AD＞CD，发现它们可以作为△ADB和△CDB的两底，并且此时具有相等的高，得出S△ADB＞S△CDB.从而证明了AB＞BC.

图15

反思：反思上述解题的思维方法和推理过程，题目可变式为：BD为∠ABC的平分线，AB＞BC.求证：AD＞CD.

运用面积的等积变形和寻找面积之间的比例关系等方法，可以把求线段长度、线段的相等或不等、点到直线的距离、角的大小、图形面积等度量关系问题化归为面积关系来求解.旨在使学生经历自然而火热的数学思考过程，感悟数学解题思路和思维方法的自然生成，从而积累数学解题的思维活动经验，最终提高数学解题的收益率.

［1］徐伟建.一个基本图形在中考试题中的应用［J］.中国数学教育（初中版），2011（5）：19-21.

2016—08—08

郝晓鑫（1992—），女，硕士研究生，主要从事数学课程与教学论研究.