追本溯源至简求新——江西省中考数学创新画图题赏析

陈莉红（江西省教育厅教学教材研究室）

追本溯源至简求新
——江西省中考数学创新画图题赏析

陈莉红（江西省教育厅教学教材研究室）

从2012年开始连续五年，江西省中考数学试题中出现了一种新的考查几何作图的试题，它有别于传统意义上的尺规作图题，设置这类试题是为了考查学生对基本图形性质及图形变换的特征的掌握情况，考查学生的几何直观（包括对图形的观察、操作、想象等）、合情推理能力及相关的实验操作能力，重点考查的是在寻找作图依据的过程中学生自主运用所学知识进行推理论证的能力.经过五年的实践与探索，江西省中考数学创新画图题逐渐形成了自己的风格，形成了一道亮丽的风景线.

几何作图；尺规作图；创新画图

从2012年开始连续五年，江西省中考数学试题中出现了一种新的考查几何作图的试题，它有别于传统意义上的尺规作图题，设置这类试题是为了考查学生对基本图形性质及图形变换的特征的掌握情况，考查学生的几何直观（包括对图形的观察、操作、想象等）、合情推理能力及相关的实验操作能力，重点考查的是寻找作图依据的过程中学生自主运用所学知识进行推理论证的能力.经过五年的实践与探索，江西省中考数学创新画图题逐渐形成了自己的风格，形成了一道亮丽的风景线.本文将从创新画图题产生的背景、题型酝酿构思的过程、题型特点三个方面逐一阐述我们对几何作图的认识及在考查几何作图方面所做的积极探索与实践.

一、江西省中考数学创新画图题产生的背景及命制原则

1．《标准》对几何作图的教学要求及学生的能力要求有所提高

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）第三学段对几何作图的要求如下.

（1）能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.

（2）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

（3）对尺规作图的要求如下.

①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.

②会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.

③会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.

④在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.

与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》相比，尺规作图新增加的内容有：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.《标准》明确指出：在数学课程中，应当注重发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和模型思想.其中“空间观念”主要是指根据物体特征抽象出几何图形，依据语言描述画出图形；“几何直观”主要是指利用图形描述分析问题.因此，几何作图能力是《标准》明确要求的，也是后续高中数学学习必须具备的能力.

2．为更好地落实《标准》理念，发挥中考评价的教学导向功能

几何作图是几何学习的一种重要手段，通过作

图，学生可以增强对几何图形的直观感受，获得图形中蕴含的各种几何关系的思维素材，从而对后续分析、解决问题产生直接影响.因此，让学生学会在作图中抓基本要素，明确作图的依据和基本方法，并在复杂图形中分辨出基本图形，是几何教学中提高学生分析、解决问题能力的重要一环.然而，经过几年的教学调研发现初中学生的画图、读图能力比较弱.一方面，是长期标准化测试的局限性造成的，测试试题中的图形都是已经画好的标准图形，学生养成了直接在试题中已给图形上答题的习惯，缺少动手画图的意识；另一方面，在日常教学过程中，尺规作图的教学内容几乎被一线教师忽略，对学生边读题边画图的学习习惯的培养没有引起足够的重视，学生画图、读图能力没有得到培养和提高，为后续高中阶段的学习造成不必要的障碍.而中考试题对几何作图能力的考查可以对几何教学起到导向的作用，为了更好地落实《标准》对几何作图的教学要求，促进日常教学中四基、四能教学理念的落实，经过三年的调研和酝酿之后决定从2012年开始，江西省中考数学试题设置考查几何作图的题型，这种题型的命制遵循以下几个原则.

（1）考查角度力求创新；

（2）考查内涵力求丰富；

（3）作图工具尽量简单，便于阅卷；

（4）作图形式尽量简洁，便于操作.

在研究尺规作图的演变与发展的历史背景之后，我们理解尺规作图的本质是在一定限制条件下的几何性质的应用，尺规作图的理论依据是几何图形的性质、定理.例如，作角平分线的依据是两三角形全等的判定定理，构造全等三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形的作图依据是直径所对的圆周角为直角.再结合《标准》中对几何作图的要求，确定江西省中考数学对几何作图的考查目标定位在以作图（操作）的形式考查图形与几何中的数学本质，尤其是对一些基本图形性质、推理、几何直观、图形变换的考查.

二、江西省中考数学创新画图题的构思过程

根据上述几何作图题的命制原则、考查角度力求创新，就要求不能照搬尺规作图的要求，尺规作图的内容已经研究的非常透彻，《标准》要求的基本作图也已经非常全面，在尺规作图的内容上创新难度非常大.于是追本溯源，我们认识到尺规作图的本质就是在一定限制条件下的作图问题，那么“限制条件”便成了作图的关键，顺着这个思路延伸，一个延伸方向是放宽限制.例如，直尺上如果有了刻度，能作些什么呢？增加一个工具能怎样呢？如“角尺+量角器”，能做成把任意角三等分的仪器.这些变化都可以使作图变得更加丰富而实用，这可以作为数学活动让学生实践操作探究，但不适合书面考查.

另一个延伸方向是加强限制条件.1797年意大利数学家马斯罗尼发现：只用一把小圆规，就能完成一切由尺规联合完成的事情.例如，拿破仑的题：只用圆规不用直尺，把一已知圆心的圆周分成四等份.美国几何学家佩多曾敏锐地看出固定半径的圆规的作图问题隐藏着有趣的奥秘，他把这种固定半径的圆规形象的叫做生锈的圆规.这个发现引起数学家们很大的兴趣.那么只用一把直尺行不行呢？数学家很快发现只用一把直尺能作的图，少得可怜，但是法国数学家彭色列在1822年写的文章，德国数学家斯坦纳在1833年出版的一本小书里都证明，只要在平面上预先画好一个圆和它的圆心，便可以用直尺完成一切能由尺规完成的任务.这个结论给了我们足够的灵感，仅用无刻度的直尺画图，符合上述几个原则，成为我们考查作图的载体，我们给这一新的题型命名为“创新画图题”，以区别于尺规作图.

三、江西省中考数学创新画图题特点赏析

创新画图是在一定情境下，以无刻度直尺作为唯一的作图工具，不能度量，结合运用图形的几何性质、基本定理、图形变换等进行分析、推理、归纳，寻找作图依据，主要的作图形式是找点、连线.现结合近五年的中考试题对江西省创新画图题的特点赏析如下.

1．在基本图形中仅用无刻度直尺画图

例1（2012年江西卷第13题）如图1，已知正五边形ABCDE，试用无刻度的直尺，准确作出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．

图1

图2

答案：如图2，直线AK即为所求（答案不唯一）.

【评析】2012年是考查创新画图题的第一年，以填空题形式出现，分值为3分.看似简单的作图题，所蕴含的数学知识非常丰富，充分利用了正五边形的性质：五条边相等、五个角相等、轴对称图形，且有五条对称轴，每条对称轴都过顶点和对边的中点，因此要画出对称轴只要找到对称轴上另外一点或对边的中点即可.向图形内部找点，可连接对角线，运用等腰三角形、等腰梯形的对称性可得两条对角线的交点即为所求；向图形外部找点，可延长不相邻的两边相交的交点即为所求，可见思路多样，画法不唯一.既考查了正多边形的性质，同时又考查了轴对称图形的性质，既是作图题，又是几何推理题，只是不要求学生写证明过程而已，该题的设置本身就是一种创新，改变以往“尺规作图”的传统模式，让学生运用所学知识通过分析、探索确定作图方案.由此题进行拓展可得任意正n（n≥4）边形都可以仅用无刻度直尺画出对称轴.

变式：在图3（1）中，已知AB=AC，BD=DC，在图3（2）中，AB=AC，EB=FC，在图3（3）中，五边形ABCDE是正五边形，试仅用无刻度的直尺分别画出三个图中的BC边的中垂线.

图3

【评析】此题是由江西省2012年中考试题改编而来的，中考试题只有图3（3）.在图3（3）前面铺垫图3（1）、图3（2），体现一个数学问题由简单到复杂的探究过程，也能起到对学生答题方法的引导作用，能使学生顺利完成解答.

例2（2014年江西卷第16题）如图4，在菱形ABCD中，P是BC的中点，试仅用无刻度的直尺按要求画图.

（1）在图4（1）中画出AD的中点；

（2）在图4（2）中对角线BD上，取两个点E，F，使BE=DF.

图4

答案：（1）在图5（1）中，点M即为所求.

（2）在图5（2）中，点E，F即为所求.

图5

【评析】2014年中考试题在2012年的基础上加大了考查的力度，分值由3分增加到5分，由填空题变成解答题，在构题过程中通过设置多个有关联的小题，体现一个数学问题由简单到复杂的探究过程，也能对学生寻找正确的答题方法起到铺垫和引导的作用.此题以菱形为基本图形，充分运用了菱形的基本性质，对角线互相平分且为中心对称图形.图4（1）中已给定一边的中点P，只要连接对角线找到对角线的交点，连线即可.图4（2）只要在图4（1）的基础上进一步运用对称性连线AP，MC即可.例1、例2考查的重点分别是轴对称、中心对称，分别利用正多边形、等腰三角形、菱形等基本图形的性质，全等知识进行画图.画图的基本方法就是找点、连线.

2.以半圆或圆为辅助模型画图

例3（2013年江西卷第16题）如图6，AB是半圆的直径.在图6（1）中，点C在半圆外；在图6（2）中，点C在半圆内，试仅用无刻度的直尺按要求画图.

（1）在图6（1）中，画出△ABC的三条高的交点；

（2）在图6（2）中，画出△ABC中AB边上的高.

图6

答案：（1）在图7（1）中，点P即为所求.

（2）在图7（2）中，CD即为所求.

图7

变式：已知点A，B，C在⊙O上，∠C＝30°，试使用无刻度的直尺画图．

（1）在图8（1）中画一个含30°角的直角三角形；

（2）点D在弦AB上，在图8（2）中画一个含30°角的直角三角形．

图8

例4（2015年江西卷第17题）⊙O为△ABC的外接圆，试仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图9（1），图9（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）如图9（1），AC=BC；

（2）如图9（2），直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.

图9

答案：（1）如图10（1）所示.

（2）如图10（2）所示.

图10

【评析】例3、例4分别以半圆、圆为背景，再辅助三角形，考查了圆的基本概念和性质，例3考查了锐角三角形、钝角三角形边上的高的作法，及三角形三条高交于一点，第三条一定过另两条高的交点的性质，以直径作为三角形的一条边，用直径所对的圆周角为直角，构造垂直，巧妙地代替了圆规的功能，只需连线即可.例4中要平分圆内接三角形的面积，就要过一个顶点作对边的中线，也就是要找到一边的中点，三角形的边同时是圆的弦，也就是找弦的中点，于是联想到圆的垂径定理，经历连线、找点、再连线，完成答题.第（2）小题中添加一条与弦平行的圆的切线做好铺垫，引导学生连接圆心和切点，延长交弦于一点，即可找到弦的中点，真正考查了几何直观及学生对与圆有关的性质的理解和应用.因此，以半圆或圆为背景构思画图题时，可充分调用圆的相关知识.例如，圆心角与圆周角的关系，切线性质，垂径定理等进行辅助设计，构思简洁自然，看似简单的找点连线，实则考查学生逻辑思维和应用能力.

3.以网格为辅助模型画图

例5（2014年江西卷第17题）已知梯形ABCD，试使用无刻度的直尺画图．

（1）在图11（1）中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；

图11

（2）在图11（2）中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．

答案：（1）如图12（1）所示，△CDE即为所求（答案不唯一）．

图12

（2）如图12（2）所示，▱ABFE即为所求（答案不唯一）．

例6（2016年江西卷第17题）如图13，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹.

（1）在图13（1）中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；

图13

（2）在图13（2）中画出线段AB的垂直平分线.

答案：（1）如图14所示（画法有两种，正确画出其中一种即可）.

图14

（2）如图15所示（画法不唯一）.

图15

【评析】例5和例6都是以网格为背景的画图题，例5是传统的小正方形网格，有坐标系的功能，能起到度量的作用，往往能降低试题的难度，考查的重点是等积转化的思想，梯形转化为等积的三角形和平行四边形，如果没有网格做背景，就需要构造全等三角形来转化，大多数学生会很难找到切入点，添加网格以后，不同层次的学生可以选用不同的方法，优等生可依据几何直观就能顺利找到顶点，中等生可以通过等高等积计算，求出三角形或平行四边形的边长，找到顶点的位置，连线即可.例6考查角度有创新，以横纵交替放置的边长之比为2∶1的长方形为背景，画出以AB为一边的45°角，和线段AB的垂直平分线.这道题构思巧妙，仔细观察，长方形背景中若能把相应的边延长与边线相交，则会很快发现这其实就是正方形网格，那么在这个正方形网格中要画出45°角，则需要构造一个以AB为直角边的等腰直角三角形，这在正方形网格中不难做到；要画线段AB的垂直平分线，需要找到两点，一个是AB的中点，这个只要连接长方形另一条对角线即可，关键是找到另一个点，满足连线与AB垂直，这个难度比较大，需要在第（1）小题的基础上，继续连线画出一个以AB为一边的正方形，再连接正方形的对角线找到正方形的中心，再连线即可.由此，此题的构思环环相扣、步步为营、非常巧妙，不得不赞叹此题是道好题，美中不足的是对学生要求能力过高，学生必须具备联想到正方形网格模型的意识，转化为正方形网格背景答题，还要具备构造基本图形的能力，另外标准答案中第（1）小题没有保留作图痕迹，似乎考虑不够严谨，也会有不好的导向，如有学生直接用量角器和三角板画出满足条件的线段，是否也要给满分呢？这样就会使得该题失去应有的效度.

由上可知，以网格为背景的创新画图似乎打开了一个新的视野，那么还有没有其他的创新途径呢？当然有，同样还可以考虑基本图形，我们可以设置菱形的网格为背景.

变式：如图16，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个锐角为60°，已知点A，B都在格点上，试在图中仅用无刻度直尺画出一个以AB为边的直角三角形.

图16

同样的道理，还可以用正三角形网格为背景构思创新画图题，读者不妨尝试一番.

综上所述，江西省中考创新画图题经过不断的探索和实践，已经找到了三个不同的发展方向，无论哪个方向，都还有很大的空间，有待我们进一步的探索.

除了以上三种形式的画图，还有没有其他可能呢？根据尺规作图的规则，古希腊的学者们崇尚的作图方法是静止的，无论作图的过程中还是证明的过程中，都不考虑图形的运动，可能他们认为，图形的运动将导致逻辑上的不严谨，而《标准》中现在已经把图形的运动变换作为工具使用，是一种创新与发展.欧氏几何在证明两个三角形全等时用到了重合的概念，没有运动怎么能得到图形的重合呢？而分析图形的运动对于培养几何直观是非常重要的，现代数学的基本概念之一的变换，就是对图形运动的抽象，因此创新作图中还可以结合图形的变换、旋转、中心对称、轴对称等进行探索，在画图题中融入图形运动的因素，这些都有待我们进一步的实践探索.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］彭翕成，张景中.仁者无敌面积法［M］.上海：上海教育出版社，2011.

［3］史宁中.数学思想概论（第2辑）：图形与图形关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2009.

2016—08—01

陈莉红（1973—），女，中学高级教师，主要从事在职教师教学中的问题、教师培训及中考命题研究.