基于“自主变式”引发“生本探究”

姜晓翔（浙江省湖州市南浔区教育教学研究和培训中心）

基于“自主变式”引发“生本探究”

姜晓翔（浙江省湖州市南浔区教育教学研究和培训中心）

教材中的例、习题不仅具有解题的示范性功能，更具问题的可拓展性功能，因此具备一定的研究价值.如能辅以适当的、能体现以学生为主体的教学方法，定能实现一种新型的探究形式——生本探究，即以学生为主进行的探究模式.教师引导、组织的“自主变式”环节而引发的“生本探究”过程，给教学带来一定启示.

自主变式；生本探究；精心预设；合理设计；提炼总结

一、引言

著名的数学教育家波利亚指出，拿一个有意义而又不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.教材中的一些例题或习题往往具有这样的功能.教师如果能对这些题目加以深入思考与研究，找到同类型题目之间的内在本质联系，并辅以合适的教学方法或手段，就能较好地发挥这些题目的真正价值，从而起到提升学生解题能力的效果.

当前的初中数学教学中，变式教学不失为一种有效的教学模式，然而常态的变式教学暴露出教师主动、学生被动，脱离本质、缺少提炼等缺点，从而导致教学效率的低下.一种新型的探究形式——基于“学生自主变式”的生本探究油然而生，即教师通过课前的精心设计，组织和引导学生在课堂上对题目的不同条件与结论进行重组的“自主变式”，进而引发的“生本探究”，并最终提炼出一些本质规律方面的新知，达到进一步完善解题经验的效果.当然，这类探究活动由于具有较强的自主性，不仅对学生的知识储备及能力要求较高，对教师的教学功底及临场应变能力也提出了更高的挑战，通常情况下，设置在课堂教学的中后段实施能发挥效率最大化.笔者通过一次公开课中教师启发学生的“生本探究”案例来进行阐述.

二、案例呈现

在本区组织的一次九年级数学教研活动中，有一节公开课内容为：浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（以下统称“教材”）“3.3垂径定理（1）”，授课教师在课堂教学中后段的设计给听课教师留下了深刻的印象及教学启示.

注：真实案例中，学生所编数据较为丰富，但为了叙述方便，笔者将数据均进行理想化处理，特此说明.

1．源于教材，立足基础

先解决教材中的例2.一条排水管的截面如图1所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC．

图1

师：如果把线段OC向两边延长，与圆相交，如图2，我们还能求图中的哪些线段？

图2

生：OE，OD就是半径10.

师：嗯，很好，同学们一下子就看出来了！

生1：CE=OE+OC=16.

师：很好，完全正确.

生2：CD=OD-OC=4.

师：太棒了.

生3：DE=20.

【评析】教师从教材例题出发，设计起点较低，立足基础，学生参与面就广.由此，所有学生的积极性都已被调动起来，为后续探究酝酿知识储备.

2．寻根究底，自主变式

师：同学们表现得太好了！这样一来，意味着图2中的所有线段都能求了，是吗？

生：是的！

师：那么，这张图中，是否有可能知道其中的两条线段（所有的半径或直径算一条），也能像我们刚才那样，求出其他所有线段呢？

师：接下来，就请同学们自己来尝试探究编题，编好后向全班同学展示并共同解答.

【评析】教师的引导为学生搭建思维脚手架的同时，启发学生进行自主变式——编题探究.学生在经历自主变式探究的过程中，逐步深入地探寻问题的本质.

3．展示成果，生本探究

在学生经历了课的前半段知识储备之后，根据教师提出的问题先进行独立自主变式，必要时也可进行合作式自主变式探究.在探究过程中，教师边巡视指导，边归类收集学生自主变式的成果——所编题目，以备进行全班展示.

师：好，接下来，请大家一起来欣赏同学们的成果吧！

题目1：已知：OC=3，OE=5，求其他所有线段.

生：由勾股定理先算出BC=AC=4，于是AB=8，CD=2，CE=8.

师：题编得很好，老师刚才还发现有些同学编的是这样的.

题目2：已知OC=3和OB=5，求其他所有线段.

师：同学们想一想，这两道题的本质一样吗？

生：一样.

师：对，其实，我们可以把这两道题归成一类.

教师板书：类型1：已知半径和弦心距，求其余线段.

师：那么，计算怎样完成呢？

生：利用Rt△OBC用勾股定理计算.

师：很好！这个三角形在圆里面很重要哦，它的三边分别是什么呢？

生：半径，弦心距，还有……

师：弦的一半，我们也可以简单地说成是“半弦”，我们把这个三角形叫做“双半Rt三角形”.在解题时，要学会利用这个“双半Rt三角形”的关系进行求解.

【评析】教师组织学生进行成果展示，并通过点评与追问等方式逐步引导学生及时对所编题目进行归类与解题方法的总结，理清题目之间的内在逻辑结构.

4．探究深入，归纳提炼

在展示了学生自主变式的初级成果之后，教师引导学生进一步地深入探究，数分钟后，学生继续展示.

题目3：已知OC=6，AC=8，求其他所有线段.

生：先根据垂径定理得出，BC=AC=8，再由勾股定理算出，OB=10，……

师：很好！和刚才一样，也有同学编了不同的题.

题目4：已知OC=6和BC=8，求其他所有线段.

题目5：已知OC=6和AB=16，求其他所有线段.

师：同学们思考一下，这三道题的已知条件虽然不完全一样，但本质相同吗？

生：相同，都是知道弦心距和弦的一半，或弦心距和弦，求其余线段.

师：非常好，同学们都可以自己总结归类了！

题目6：已知OE=5，AC=3，求其他所有线段.

题目7：已知DE=10，AB=6，求其他所有线段.

学生同样能快速得到答案.

师：这是否又是一种题型呢？

生：是的，知道半径和弦的一半，求其余线段.

师：非常好！那么刚才的例2呢？和这一组题型一样吗？

生：一样，“知道半径和弦的一半”跟“知道半径和弦”本质相同.

师：的确，本质完全一样！再来看看这位同学编的题.

题目8：已知OB=10，CD=4，求其他所有线段.

学生同样能轻松直接求出.

师：还有好几位同学编的题也都与此题类似，都是知道半径和CD，求其余所有线段.

【评析】通过有效“自主变式”的组织，学生编题成果丰富，教师能引导学生及时将所编之题进行归类分析、提炼总结，并揭示出不同问题间隐藏的共性或联系，以便能引导学生找到解题通法，进而在今后的学习中能够融会贯通.

5．思想渗透，思维升华

有了之前的自主变式探究做铺垫，教师发现已到将思维升华之时了.于是，继续让学生进行展示.

题目9：已知BC=4，CD=2，求其他所有线段.

此题一出，大部分学生有点无从下手.

师：对于图中的“双半Rt△OBC”，根据已知，我们知道几条边？

生：一条，只知道BC.

师：那如何用勾股定理求其他线段呢？“已知CD= 2”怎么用？

生：我们可以设半径为r，然后就可以用r表示出OB和OC了，这样利用勾股定理就可以建立方程求解了.

师：很好！在直接计算有困难的情况下，可以考虑设未知数，列方程求解的方法，这种思想方法叫做方程思想.

【评析】在生本探究的高潮环节，通过巧妙地渗透数学思想方法，让学生在掌握表层知识的同时，让思维进一步升华，从而产生质的飞跃.

在教师层层深入式的引导下，学生学会了这种最难的情况，并引导学生做出及时的归纳、总结.最后教师展示了近几年有关该基本模型的中考试题.

师：看了这些中考试题，同学们有没有发现，其实同类型的试题万变不离其宗，只要我们能抓住这一类题型题中线段之间的关系，就能通晓这一大片的问题.此乃“解一题，触一类，通一片”.

【评析】整个案例，通过教师课前的精心准备，设计了如此别具匠心的“自主变式”环节，从而引发了一次“生本探究”过程，不仅让学生弄清了此题图中各线段之间的本质联系，最终达到“通一片”的效果，而且以教材例2作为题根进行探究，教会了学生思考问题就应该从问题的本源出发，进一步深入挖掘本质通法，大大地提升了学生分析问题、提出问题和解决问题的能力.

三、案例启示

以上案例片断，给所有听课教师和笔者很大的触动，有感而发，总结以下几点，与同仁共勉.

1．挖掘素材，精心预设，孕育自主变式

教师的课前准备应充分挖掘具有潜在探究价值的教学素材，并通过精心预设，为孕育“自主变式”的“生本探究”环节提供可行性操作策略.案例中，授课教师已在课前深入地研究了例2，并充分挖掘了由例2提炼出的图2中各线段之间的内在联系，即知其二就能求其余各线段，并结合对近年来相关中考试题的搜索，设计了这样的“生本探究”环节.从整个教学过程来看，该探究环节的设置，不仅激发了学生的学习兴趣，提高了学生的参与程度，而且还充分体现了“以学生发展为本，一切为了学生，高度尊重学生，充分相信学生，全面依靠学生”的生本理念，从而提高了课堂效率.

2．合理设计，引导生成，引发生本探究

教师在课堂上设计的学生活动必须要为催生新知识、新方法、新技能所服务，同时期望能引导出生产性资源.这种活动的实质是知识的“逻辑链”和学生头脑中“思维链”的相互匹配.教师能否通过引导来掌控好这两根链条，实现它们的“珠联璧合”，是强化课堂思维活动的基本保证.遵循知识的“逻辑链”是“预设”之本，构建学生头脑中连贯有序的“思维链”是“预设”的着眼点和衡量“生成”的标志.案例中，“圆的垂径定理”构成了知识的“逻辑链”，而学生通过自主变式所编的题正是学生头脑中“思维链”与知识的“逻辑链”相互匹配的结果，充分发挥了教师的主导性和学生的主体性的完美结合，如此引发的生本探究，让学生对所学知识融会贯通.

3．提炼总结，运用生成，彰显生本价值

当学生通过学习活动得到了比较丰富的经验，且对经验有了自己独特的体验后，教师需要及时启发学生做好提炼总结.没有提炼总结，这些学习经验都只是一条一条的、成散乱状态存在的.而经过提炼总结，就可以将其融合、凝练，达成有序思维.案例中，学生通过“生本探究”环节之后，形成的学习经验（图2中各线段之间的内在联系）暂时比较丰富，但如果不加以提炼总结的话，这些只能是经验碎片，形成不了完整的思维体系，时间一久就渐渐淡忘了.而教师如能合理运用这些生成，并及时引导学生进行提炼总结，帮助学生归纳出每一种不同情形中线段之间的本质联系，相信学生无需跳入“题海”就能把这一类涉及垂径定理计算的问题吃透，并且学会把这种思维方式运用到其他的学习领域中，生本探究的价值才能得以真正体现.

［1］邹守文.拓展中感悟习题魅力考试时体现应用价值［J］.中国数学教育（初中版），2013（9）：30-35．

［2］苑建广.溯本穷源求灼见刨根问底悟真知［J］．中学数学（初中版），2013（9）：32-36.

2016—08—03

姜晓翔（1978—），男，中学高级教师，主要从事课堂教学、解题教学研究.