辐射开环绳系卫星编队自旋展开动力学与控制策略

苏飞，翟光＊，张景瑞，张尧

北京理工大学 宇航学院，北京 100081

辐射开环绳系卫星编队自旋展开动力学与控制策略

苏飞，翟光＊，张景瑞，张尧

北京理工大学 宇航学院，北京 100081

提出了圆轨道辐射开环绳系卫星编队的展开控制策略。首先采用拉格朗日方程建立了辐射开环绳系卫星编队的展开动力学模型，分析了主星姿态与绳长在展开过程的动力学耦合关系；随后以建立的动力学模型为基础，分别研究了编队在重力梯度力补偿和无补偿两种情况下的自旋展开控制策略，通过规划绳系释放速度、主星自旋角速度等变量，实现了绳系编队的有效展开；最后搭建了编队自旋展开的动力学模型，通过数值仿真对所提出的展开策略进行验证，仿真结果表明：在重力梯度力矩补偿和无补偿的情况下，所提出的展开控制策略能够保证编队稳定展开。

绳系卫星编队；主星姿态；重力梯度力；自旋展开；构型稳定

绳系卫星编队在空间发电、空间操作、空间大型结构构建等方面具有特殊优势［1－3］。绳系卫星编队的构型有多种类型，“辐射开环”是一种新型的编队构型。辐射开环绳系卫星编队由中心主星和用绳系连接到主星的多颗子星组成，主星通过执行机构产生自旋运动，利用自旋运动产生的离心力使绳系张紧带动编队以一定的角速度在空间自旋：这种由离心力维持构型的设计一方面能够减少燃料消耗，同时系统通过自旋又能获得较高的稳定性，另一方面系统的自旋运动和绳系的收放及控制都可由主星实现，控制方式简单、任务灵活。

国内外学者对多体绳系卫星编队的动力学与控制问题进行了广泛的研究，同时对部分研究成果进行了飞行验证。Kalantzis等［4－5］结合 BICEPS任务和OEDIPUS任务分析了绳系编队的旋转运动，并采用Lagrange方程推导得出编队动力学方程；Misra等［6－9］对多体绳系编队进行了分析，仿真验证了不同构型绳系卫星编队的旋转稳定性，并提出了平面三体编队的4个平衡构型，给出了多体编队中绳系的面内外摆动频率；文献［10－11］研究了辐射开环空间机器人编队动力学与控制问题，并通过绳系张力与自旋运动的控制，实现了编队系统自旋稳定；文献［12－15］研究了主星与子星连线和主星与地球连线的夹角随时间变化规律，提出多种反馈控制方法来抑制绳系展开阶段与稳定阶段的振动，并实现系统快速变轨；Williams［16］考虑了科里奥利力和重力梯度力对闭环绳系卫星编队旋转展开与回收控制的影响，提出了一种编队有效展开和回收的最优控制方法；文献［17－19］分析了二体绳系卫星编队展开过程姿态稳定的条件和范围，但未对多体编队的旋转展开及稳定性进行研究；Mattias和Gunnar［20－21］将柔性网结构简化为可变长度的多绳系结构，采用有限元法研究了空间柔性网自旋展开与控制。

然而，多数已有研究成果在研究绳系编队的动力学特性时，均将编队成员考虑为质点，使得其动力学模型无法反映成员姿态运动和系统构型之间的相互关系；而忽略重力梯度力则无法准确分析展开过程编队的稳定性及绳系的运动特性，因此其研究成果有明显的局限性。本文针对辐射开环绳系卫星编队自旋展开控制问题，首先在考虑编队平面自旋运动的条件下，建立了含主星姿态的系统动力学模型，分析了展开过程中主星自旋运动与绳长变化之间的耦合关系；在此基础上，提出了重力梯度力补偿条件下，主星匀速自旋、匀加速自旋时编队的展开控制策略，并引入开环、闭环控制抑制绳系振荡；同时针对重力梯度无补偿的情况，研究了主星角速度跟踪重力梯度周期性变化的展开控制策略，使编队稳定展开；最后，本文结合仿真验证了所提出展开方法的可行性和有效性。

1 编队自旋展开动力学建模

1．1 系统描述及建模假设

辐射开环绳系卫星编队由位于系统中心的主星和用绳系连接到主星的子星组成，理想的辐射开环绳系卫星编队中各子星相对主星对称分布，子星与主星用轻质绳系相连。编队通过自旋提供的离心力保持编队构型或控制编队展开。编队展开简化过程如图1所示。在建模过程中做如下假设：

图1 绳系卫星编队展开示意图Fig．1 Illustration of tethered satellite formation deployment

1）编队运行于圆形Kepler轨道，主星和子星的运动严格定义在轨道面内，忽略面外运动。2）主星视为具有转动半径的刚性轮毂，绳系与主星连接点位于主星边缘且呈对称分布，子星作为点质量假设。

3）连接主星与子星的绳系为质量均匀分布的线弹性体，忽略横向刚度和扭转刚度，自旋展开过程始终保持张紧状态。

4）重力场为理想中心力场，忽略大气阻力、太阳光压等摄动因素的影响、忽略系统内部摩擦。

1．2 坐标系定义

相关动力学建模参照坐标系如图2所示，其中OXYZ为地心惯性坐标系。oxoyozo为轨道坐标系，其原点o位于系统质心，xo轴由地心指向系统质心方向，yo轴指向编队运动方向，zo轴则由右手螺旋法则确定；obxbybzb为编队本体固连坐标系，原点ob与轨道坐标系原点重合，xb轴指向绳系li与主星连接点处，yb轴位于轨道面内并垂直于xb轴，zb轴由右手螺旋法则确定。

相关变量定义如下：主星自旋角θi定义为参考时间内本体系相对于轨道系转过的角度，子星i相对于主星的位置则由绳长li和绳系相对于主星的俯仰角αi表示，Ω为轨道角速度。

图2 建模参照坐标系Fig．2 Reference frame for dynamic modeling

1．3 旋转展开动力学模型

如图2所示系统运行于圆形Kepler轨道，则质量元（绳系微元或子星）相对于轨道坐标系原点o的位置矢量可表示为

式中：r为主星轮毂半径；λ为微元与主星边缘连接点的距离；ex和ey为轨道坐标系对应坐标轴的单位方向矢量。此时，主星、子星i及绳系的动能可表示为

式中：M、mi为主星和子星i的质量；n为子星个数；ρ为绳系的线密度、li为与子星i连接绳系的总长度和展开长度；vc为系统质心的速度。

编队系统主星、子星i及绳系的重力势能为

式中：μ为地球万有引力常数；Rc为地心到编队质心矢量。对式（6）的分母部分进行泰勒展开并忽略高阶项，则系统的重力势能为

系统的拉格朗日函数可表示为L＝T－V，根据拉格朗日定理对拉格朗日函数中的广义坐标求导

式中：Qj为广义外力。在实际的工程当中，由于绳系质量远远小于系统其他部分质量，因此可以忽略不计，即可认为ρ＝0，将系统的动能和势能代入式（5）则可导出系统展开的动力学方程为

式中：uθi、uαi和uli分别为相应广义坐标方向上的广义控制力；fdg为重力梯度引起的广义摄动力。广义摄动力可按式（9）～式（11）计算得到。

从动力学模型可以看出，辐射开环绳系卫星编队自旋展开过程的控制变量为θi、li和αi，前两者的控制可以通过主星实现，后者则必须由子星消耗能量进行控制。由于主星的几何尺寸较大，能够携带较多的燃料和能量发生装置来实现展开过程的控制，但子星几何尺寸较小且需要完成诸多任务，因此其能提供的控制量大小必然有限（仅限于提供补偿重力梯度摄动的控制力）。综合以上考虑，本文将主星的角速度和角加速度视为可以任意给定的量，绳系拉力也可以通过主星对绳长展开速度进行控制，而子星相对于主星的俯仰角控制则由前两者的规划实现，所以在设计展开控制律时主要考虑式（7）。为了减小因量级的巨大差异引起的仿真失真，对动力学式（7）进行归一化处理，令＝li／l＊、槇r＝r／l＊为无量纲长度，升交角距ν为无量纲时间，引入无量纲变化：

导出式（7）的无量纲方程：

sin（θi－αi）＋3cos（θi－αi）sin（θi－αi）（13）式中：上标点号·表示相对于无量纲时间ν的导数；珘uαi为αi相对应的广义力。

2 编队自旋展开控制

对于辐射开环绳系卫星编队，不同的空间任务要求编队有不同的绳长和自旋转速，即使同一空间任务也有可能要求绳长和自旋转速发生变化。所以理想的辐射开环构型自旋展开要求展开完成后绳系长度和自旋角速度满足要求，同时构型保持稳定，即绳系相对于主星的俯仰角速度为0，所以展开完成后系统的状态可以描述为

式中：tf为展开终端时刻；为主星期望自旋角速度；le为期望绳长。

2．1 重力梯度力矩补偿条件下的展开策略

子星重力梯度对系统自旋展开过程绳系相对于主星的俯仰角αi的摄动由式（10）表示，假设系统的状态量 ［liαiθi］T能够实时测量，将状态量代入上述表达式，即可得到广义的补偿控制力uαi＝－fdgα，事实上子星重力梯度补偿所需的控制由子星推力器输出得到，如果推力器能够输出连续推力，则展开过程推力器对子星的控制力距T可表示为此时动力学方程式（7）可简化为

1）主星匀速自旋展开策略

首先考察主星自旋角速度恒定时的展开过程，且在展开过程中保持αi不变，即有

方程为

此时绳长方程为

式中：l0为初始绳长。观察得绳系匀速展开，同时展开速度与绳系相对于主星的俯仰角的正弦值成正比（满足0°＜αi≤90°）。此时绳系张力和主星力矩的广义控制可以表示为

当编队展开完成后绳系相对于主星的俯仰角运动可以表示为

由式（21）可知绳系相对于主星的运动满足重力摆，如果初始摆角αi≠0，则αi必然周期性振荡，进而可能导致子星发生碰撞，为了避免展开结束时绳系摆角振荡，可进一步将绳系按分段模式展开。

一种分段模式采用闭环控制，即在绳系相对于主星的俯仰角运动过程中引入二阶阻尼项，此时展开规律为

式中：ts为匀速展开时间；k为与俯仰角阻尼运动相关的系数，将衰减阶段代入式（7）得绳系摆动过程可以表示为

式（23）表示二阶非线性系统，当αi为小量时可将其线性化并表示为

式（24）的特征值为

通过调整k的取值可以得到过阻尼、欠阻尼等系统，使绳系相对于主星的俯仰角最终收敛到0°。

另一种分段展开模式采用开环控制，即直接将绳系展开分为匀速展开阶段和减速展开阶段，使αi跟踪绳速逐渐收敛到0°，此时绳系展开方程可以表示为

将减速展开阶段代入式（7）得绳系摆动过程表示为

由式（28）可知，随着绳速减小，绳系相对于主星的俯仰角会跟踪绳速变化规律逐渐减小，最终收敛到0°。

2）主星匀加速展开策略

若主星匀加速时绳长为期望绳长，且αi保持不变，即＝A、li（t）＝le，代入式（16）可得

由式（30）得式（31）为一元二次方程，方程若有解则判别

式非负，即

式（32）必须在展开过程中都要满足，所以得到极限条件下的自旋加速度为

此时方程有解，其解为

根据式（30）可知，在绳长不变而主星加速到期望转速的过程中，绳系相对于主星的俯仰角是时变的，但当主星角加速度满足一定条件时，随着主星角速度增大，绳系相对于主星的俯仰角会收敛到0°。

式（36）为一阶线性非齐次方程，自变量为时间t，将其写为标准形式为

其中：

式中：

一阶线性非齐次方程的通解可以表示为

式中：C为常数且其数值与绳系初始长度有关，如果绳系初始长度为0，将式（38）代入式（39）中，可得绳长变化函数为

对式（40）求导可得绳长速度变化函数为

2．2 重力梯度力矩无补偿下的展开策略

与重力梯度补偿受控时相同，若展开过程中主星自旋角速度不变，且为了保证子星俯仰角不变，即有，可得

根据式（43）可知绳系的展开速度由于重力梯度的影响不能稳定在一个固定值，而是随着绳系展开长度的增大，速度振荡的幅值也增大。事实上为了保证绳系在重力梯度影响下能展开到期望绳长，编队展开完成时的自旋角速度和绳长必须满足以下约束：

观察式（43），可以看出由于绳系长度增大导致重力梯度对编队展开速度的影响增强，为了抑制重力梯度影响，令主星角速度变化符合子星重力梯度的变化规律，即主星角加速度为

将式（45）代入式（42）可得主星角速度周期性变化时，绳系展开速度可以表示为

从式（46）可知当主星角速度变化符合子星重力梯度的变化规律时，绳系展开速度不会因绳长增大而导致振荡的幅值也增大。

3 仿真校验与分析

根据上述理论建模与分析的结果，建立辐射开环绳系卫星编队自旋展开数值仿真模型。整个仿真模型只考虑绳系编队面内姿态而忽略面外姿态，在重力梯度补偿和无补偿条件下结合不同自旋展开策略验证了编队展开的可行性和有效性。主要仿真参数如表1所示。

表1 绳系卫星编队仿真参数Table1 Simulation parameters of tethered satellite formation

研究编队运行轨道为开普勒圆轨道，所以轨道角速度恒定为Ω＝1．1×10－3rad／s。事实上编队如果运行在椭圆轨道，系统动力学方程求导时质心速度的偏导数不再为零，轨道偏心率和半长轴将会被引入动力学模型，同时对于较大偏心率的椭圆轨道，需要确保编队自旋角速度在近地点能够克服重力梯度并有效展开。假设要求展开完成后编队的期望自旋角速度和期望绳长为

1）重力梯度补偿

在重力梯度补偿且主星角速度恒定时，根据绳系展开方程式（18），为了使展开速度最大选取初始俯仰角为α0＝90°，图3为绳长及绳系相对于主星俯仰角变化曲线，由图可以看出绳系展开完成后将相对于主星以初值为振幅振荡，编队构型不能保持。图4为展开过程主星控制力矩及绳系张力变化曲线，可以看出绳系内拉力在展开完成后随着绳系摆动而振荡，幅值近似为稳定值的3倍，导致绳系的可靠性降低、寿命减小。

图3 主星匀速自旋时绳系展开长度及俯仰角变化Fig．3 Deployment length and pitch angle of tether when central body has a uniform spinning speed

图4 主星匀速时绳系自旋展开控制力变化Fig．4 Control force of tether when central body has a uniform spinning speed

图5和图6为旋转展开末端引入二阶阻尼项的系统参数变化曲线，初始俯仰角为α0＝90°，k＝0．02，采用过阻尼可以使绳系相对于主星的俯仰角呈指数型收敛，得到期望构型，但是需要绳系有回收过程，且回收绳长很大，同时主星的控制力矩在回收段有较大幅值。

为了减小绳系回收长度，选择系数k＝0．000 2，图7和图8为引入一般阻尼后绳系参数变化曲线，可以看出虽然子星相对于主星的俯仰角收敛较慢，但是冗余展开绳长相对于过阻尼要小，综合效果得到的释放时间小于过阻尼的情况，同时绳系张力和主星控制力矩幅值减小。

图5 过阻尼自旋展开时绳系长度与俯仰角变化Fig．5 Length and pitch angle of tether with spinning deployment by overdamping

图6 过阻尼自旋展开时绳系控制力变化Fig．6 Control force of tether with spinning deployment by overdamping

图7 小阻尼自旋展开时绳系长度与俯仰角变化Fig．7 Length and pitch angle of tether with spinning deployment by small damping

图8 小阻尼自旋展开时绳系控制力变化Fig．8 Control force of tether with spinning deployment by small damping

图9为采用开环控制末端减速模式下绳系参数变化曲线，图中令ts＝0得极限形式下的减速因子u＝0．1Ω，与闭环控制相比开环控制不能保证绳系相对于主星俯仰角完全收敛于0°，但是绳系无回收阶段且拉力变化平滑，同时主星控制力矩幅值的量级较小，对执行机构要求降低。

图9 主星匀速绳系末端减速展开优化下绳系参数变化Fig．9 Parameters of tether with optimized deceleration deployment rate when central body has a uniform spinning speed

在重力梯度补偿且主星匀加速时，选择角加速度时有一定的约束（式（31）所示），仿真过程取最大角加速度A＝4．84×10－6rad／s2。图10和图11为恒定绳长主星匀加速到期望角速度过程参数变化，从图中可以看出由于编队期望自旋角速度不大，子星相对于主星的俯仰角αi未收敛到0°。若没有限定主星的最终自旋角速度，绳系定长而主星加速这种展开方式能够实现绳系相对于主星俯仰角收敛于0°，但需要较长的加速过程，如图12所示。

图10 绳长恒定主星匀加速下俯仰角变化曲线Fig．10 Pitch angle of tether with constant tether length when central body has a uniform acceleration

图11 绳长恒定主星匀加速下控制力输入变化Fig．11 Control force input for tether with constant tether length when central body has a uniform acceleration

图12 绳长恒定主星匀加速下系统参数变化Fig．12 Parameters of system with constant tether length when central body has a uniform acceleration

图13和图14为主星匀加速且绳系展开至期望绳长过程系统参数变化曲线，仿真过程α0＝9°，角加速度与恒定绳长主星匀加速算例相同为A＝4．84×10－6rad／s2。从图中可以看出这种展开方式能够保证绳系达到期望绳长的同时主星加速度到期望角速度，展开完成后绳系将以初始α0振荡。

图13 主星匀加速展开绳长及俯仰角变化Fig．13 Deployment length and pitch angle of tether when central body has a uniform acceleration

图14 主星匀加速展开绳系控制力变化Fig．14 Control force of tether when central body has a uniform acceleration

2）重力梯度无补偿

图15为重力梯度力无补偿且主星匀速时展开绳长及绳速变化曲线，仿真初始值α0＝90o，由于重力梯度力的影响，绳系展开速度不再恒定，而是周期性振荡且振幅增大，速度的振荡导致绳系内拉力变化较为剧烈，如图16所示，将使绳系的寿命减小、系统可靠性降低。

图15 重力梯度无补偿主星匀速时展开绳长及绳速变化Fig．15 Deployment rate and length of tether without equalizing disturbance of gravity gradient

图16 重力梯度无补偿主星匀速时绳拉力及俯仰角变化Fig．16 Force and pitch angle of tether without equalizing disturbance of gravity gradient

图17为主星角速度变化符合子星重力梯度变化规律时绳系参数的变化曲线，可以看出对主星角速度进行规划能够有效抑制绳长增大引起的重力梯度摄动增强，同时为了消除展开完成后绳系相对于主星的周期性摆动，可以在展开末段采用式（22）、式（26）所示的分段展开方式，得到与重力梯度力补偿类似的结果。

图17 主星角速度跟踪重力梯度旋转展开时绳系参数变化Fig．17 Parameters of tether when the angular velocity of central body tracking gravity gradient force

4 结 论

1）考虑新型的辐射开环绳系卫星编队，引入主星姿态及几何尺寸建立系统的动力学模型，分析了展开过程中主星自旋运动与绳长变化之间的耦合关系。

2）对于重力梯度力补偿的编队，设计了主星匀速、匀加速自旋两种展开控制策略。针对展开完成后绳系姿态的振荡，提出末端减速展开的开环优化振动抑制控制方法、姿态角反馈的闭环振动抑制控制方法，使系统展开完成后稳定运行。

3）对于重力梯度力无补偿的编队，首先研究了主星匀速自旋的展开控制策略。由于重力梯度力影响，绳系展开速度存在周期性幅值增大的振动，通过引入主星角速度跟踪重力梯度变化抑制绳速的振荡，提高展开过程的可靠性。

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Dynamics and control during spinning deployment for hub－and－spoke configured multi－tethered satellite formation

SU Fei，ZHAI Guang＊，ZHANG Jingrui，ZHANG Yao
School of Astronautics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China

The deployment strategies for“hub－and－spoke”configured tethered satellite formation are investigated in circular orbit．Firstly，the deployment dynamics model is established based on Lagrangian method under some reasonable assumptions．The dynamical coupling between the attitude of central body and the tether length is analyzed，and then the deployment strategies for the cases with and without gravity gradient compensation are developed．By planning the deployment rate and angular velocity of central body，the successful deployments are achieved．Finally，some mathematical simulations for the proposed strategies are implemented．The simulation results indicate that using the proposed deployment strategies，the configuration can be maintained effectively and steadily．

tethered satellite formation；attitude of central body；gravity gradient force；spinning deployment；configuration stability

2015－09－15；Revised：2015－11－04；Accepted：2016－01－15；Published online：2016－02－02 08：49

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160202．0849．002．html

s：National Natural Science Foundation of China（11102018）；National High－tech Research and Development Program of China（2013AA7042018）

V445．4

A

1000－6893（2016）09－2809－11

10．7527／S1000－6893．2016．0021

2015－09－15；退修日期：2015－11－04；录用日期：2016－01－15；网络出版时间：2016－02－02 08：49

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160202．0849．002．html

国家自然科学基金 （11102018）；国家“863”计划 （2013AA7042018）

＊通讯作者．Tel．：010－68918054 E－mail：gzhai＠bit．edu．cn

苏飞，翟光，张景瑞，等．辐射开环绳系卫星编队自旋展开动力学与控制策略［J］．航空学报，2016，37（9）：28092－819．SU F，ZHAI G，ZHANG J R，eta l．Dynamics and control durings pinning deployment forh uba－nds－poke configured multit－ethereds atellite formation［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2016，37（9）：28092－819．

苏飞 男，硕士研究生。主要研究方向：绳系卫星系统动力学与控制。

Tel：010－68918054

E－mail：sufeisophy＠163．com

翟光 男，博士，副教授，硕士生导师。主要研究方向：航天器制导、导航与控制技术。

Tel：010－68918054

E－mail：gzhai＠bit．edu．cn

＊Corresponding author．Tel．：010－68918054 E－mail：gzhai＠bit．edu．cn