一类超越亚纯函数的差分多项式的值分布

石宁生， 金 瑾

(1.贵州工程应用技术学院 师范学院， 贵州 毕节 551700；2.贵州工程应用技术学院 数学系， 贵州 毕节 551700)



一类超越亚纯函数的差分多项式的值分布

石宁生1， 金 瑾2*

(1.贵州工程应用技术学院 师范学院， 贵州 毕节 551700；2.贵州工程应用技术学院 数学系， 贵州 毕节 551700)

利用Nevanlinna的亚纯函数的值分布理论，研究了超越亚纯函数微分多项式的值分布理论， 讨论了差分多项式的特征函数和零点，取得了一个结果.并且对差分多项式零点的一些经典结果建立了差分模拟．

超越亚纯函数； 差分多项式;值分布； Nevanlinna理论

1 引言与主要结果

1959年，Hayman证明了下面的著名定理．

定理A[1]设f(z)为超越亚纯函数，n为正整数，如果n≥3，则fn(z)f′(z)取每一个非零有穷复数无穷多次．

1969年，L.R.Sons证明了

其中n0，n1，n2，…，nk是非负整数，并且k≥1，n0≥1，如果

那么δ(a，ψ)<1，其中a≠0，∞．

b) f(z)是超越亚纯函数，

若nk≥1，n0≥2，且

那么δ(a，ψ)<1，其中a≠0，∞．

1981年，N.Steinmetz进一步减弱了上述定理b)中条件，证明了

2002年，李伟和吴天毅对微分单项式进行了研究，给出了

2007年，江秀海和高凌云得到如下结论．

定理E[5]设f(z)为平面内的超越亚纯函数， a为任意非零复数，对任意的正整数m，i0，i1，…，in，λ=i0+i1+…+in，Δ=i1+2i2+…+nin，则当m≥λ+Δ+2时，

可取无穷多个零点．

2012年，张然然和陈宗煊研究了亚纯函数f(z)的差分多项式

(1.1)

得到

定理G[7]设f(z)是有限级亚纯函数，满足N(r，f)=S(r，f)，设H(z，f)形若(1.1)的差分多项式，其中系数是为f(z)的小函数.且H(z，f)中仅有一个单项式具有最高次数degfH，则

H(z，f)=(degfH)T(z，f)+S(z，f)．

在本文中，令

f(z+ck)ik

(1.2)

其中,k≥1为整数，c1，c2，…，ck为相互不同的复常数，i1，i2，…，ik为非负整数，ai(z)为f(z)的小函数.记max{i1+i2+…+ik}=n=degfF(z)，则有

λ(G)=σ(G)=σ(f)

和

2 引理及其证明

对文献[8]中的推论2.2做变形得到引理2.1．

引理2.1设f(z)是非常数有限级亚纯函数，η1，η2是任意复常数，则

将引理2.1应用到[9，定理2.3]，可以得到如下引理2.2．

引理2.2设f(z)是方程U(z，f)P(z，f)=Q(z，f)的有限级超越亚纯函数解，其中U(z，f)，P(z，f)，Q(z，f)都是f(z)的差分多项式，系数都是f(z)的小函数，且degfU=n，degfQ≤n，又设U(z，f)中仅有一个单项式具有最高次数，则m(r，P(z，f))=S(r，f)．

注 仔细考察引理2.2的证明过程可知，当P(z，f)，Q(z，f)是关于f(z)的微差分多项式且它们的系数aλ(z)满足m(r，aλ)=S(r，f)时(此时不一定满足T(r，aλ)=S(r，f)).任然可以得到引理2.2的结论.这里，我们称V(z，f)为f(z)的微差分多项式，如果V(z，f)是关于f(z)，f(z)的导数， f(z)的位移以及f(z)位移导数的多项式，且系数为亚纯函数．

应用到[10，定理2.1]，可以得到如下引理2.3．

引理2.3设f(z)是非常数有限级亚纯函数，c≠0是任意复常数，则

文献[11，p66]得到:设f(z)是亚纯函数，则对任意的c≠0，当r→∞时，不等式

成立.由上述不等关系的证明过程知，上述不等关系对密指量也成立.由此及引理2.3容易得到下面引理2.4．

引理2.4设f(z)是非常数有限级亚纯函数，c≠0是任意复常数，则

T(r，f(z+c))=T(r，f)+S(r，f)，

N(r，f(z+c))=N(r，f)+S(r，f)，

N(r，1/f(z+c))=N(r，1/f)+S(r，f)．

3 定理的证明

F(z)H1(z，f)=-H2(z，f)．

由于max{i1+i2+…+ik}=n=degfF(z)，即有degfH2(z，f)

m(r，H1)=S(r，f)和m(r，fH1)=S(r，f)，

(3.1)

由引理2.4及假设条件N(r，f)=S(r，f)，得到

N(r，H1)=S(r，f)和N(r，fH1)=S(r，f)，

(3.2)

所以由(3.1)和(3.2)有

T(r，H1)=S(r，f)和T(r，fH1)=S(r，f)，

(3.3)

微分

G(z)=F(z)H1(z，f)+H2(z，f)，

(3.4)

得到

G′(z)=F′(z)H1(z，f)+

F(z)H′1(z，f)+H′2(z，f)，

(3.5)

F′(z)H1(z，f)+F(z)H′1(z，f)-

(3.6)

G(z)=CH2(z，f)，

(3.7)

其中，C是非零常数，将(3.7)式带入(3.4)式得到

F(z)H1(z，f)=(C-1)H2(z，f)，

(3.8)

-H′2(z，f)+G′(z)G(z)H2(z，f)≡0

(3.9)

将

f(z+c2)i2…f(z+ck)ik

和

代入(3.6)式，整理得到

f(z+c1)i1-1f(z+c2)i2-1…f(z+ck)ik-1E(z)=

(3.10)

其中

f(z+ck)H′1(z，f)-

(3.11)

再由(3.10)式和

得到

(3.12)

下面估计(3.12)中各项:

由于G(z)=F(z)H1(z，f)+H2(z，f)和degfH2(z，f)

degfG(z)

记degfH1=d1，degfH2=d2.类似于[9，定理2]的方法，将H1(z，f)和H2(z，f)改写为

(3.13)

(3.14)

其中

(3.15)

(3.16)

由于H1(z，f)和H2(z，f)的系数dλ(z)和gλ(z)都是f(z)的小函数，故有

m(r，aλ)≤T(r，aλ)=S(r，f)，

m(r，gλ′)≤T(r，gλ′)=S(r，f)．

因此，由引理2.1知，对i=1，2，…，d1和k=1，2，…，d2有

m(r，bi(z))=S(r，f)

和

m(r，ck(z))=S(r，f)，

(3.17)

若degfH1=d1=1和degfH2=d2=1时有

H1(z，f)=b1(z)f(z)+b0(z)

和

H2(z，f)=c1(z)f(z)+c0(z)，

所以有

m(r，H1)≤m(r，f)+m(r，b1)+

m(r，b0)+O(1)=m(r，f)+S(r，f)，

m(r，H2)≤m(r，f)+m(r，c1)+

m(r，c0)+O(1)=m(r，f)+S(r，f)．

若degfH1=d1>1和degfH2=d2>1时，则(3.13)和(3.14)改写为

H1(z，f)= f(z)(bd1(z)fd1-1(z)+…+

b1(z))+b0(z)，

H2(z，f)= f(z)(cd2(z)fd2-1(z)+…+

c1(z))+c0(z)．

所以有

m(r，H1)≤m(r，f)+m(r，(bd1(z)fd1-1(z)+

…+b1(z))+b0(z))+S(r，f)，

(3.18)

m(r，H2)≤m(r，f)+m(r，(cd2(z)fd2-1(z)+

…+c1(z))+c0(z))+S(r，f).

(3.19)

由(3.18)和(3.19)以及归纳法知

m(r，H1)≤d1m(r，f)+S(r，f)，

(3.20)

m(r，H2)≤d2m(r，f)+S(r，f).

(3.21)

因此由上述(3.13)-(3.21)可得到

m(r，G)≤(n+degfH1)m(r，f)+S(r，f)，

(3.22)

m(r，G)≤(n+degfH2)m(r，f)+S(r，f)，

(3.23)

由已知N(r，f)=S(r，f)得到N(r，G)=S(r，f)和N(r，H2)=S(r，f)，所以

T(r，G)≤(n+degfH1)T(r，f)+S(r，f)，

(3.24)

T(r，H2)≤(degfH2)T(r，f)+S(r，f).

(3.25)

由以上两式可得S(r，G)=S(r，f)和S(r，H2)=S(r，f).所以由

可得

(3.26)

m(r，E)=S(r，f)．

由(3.11)和N(r，f)=S(r，f)，得到

故

由上式和第一基本定理得到

(3.27)

由定理G知

T(r，f(z+c1)i1-1f(z+c2)i2-1…f(z+ck)ik-1)≤

(n-k-1)T(r，f)+S(r，f)，

又由N(r，f)=S(r，f)得

N(r，f(z+c1)i1-1f(z+c2)i2-1…f(z+ck)ik-1)=S(r，f)．

所以

m(r，f(z+c1)i1-1f(z+c2)i2-1…f(z+ck)ik-1)=(n-k-1)T(r，f)+S(r，f).

(3.28)

由(3.12)，(3.13)以及(3.26)-(3.28)得到

(n-k-1)T(r，f)+S(r，f)≤

由上式及假设条件n-k-1>degfH2得到

(3.29)

所以，G(z)有无穷多个零点，由(3.24)和(3.29)得到λ(G)=σ(G)=σ(f)和

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Value distribution of difference polynomials of transcendental meromorphic functions

SHI Ningsheng1, JIN Jin2

(1.Normal College, Guizhou University of Engineering Science, Bijie, Guizhou 551700;2.Department of Mathematics, Guizhou University of Engineering Science, Bijie, Guizhou 551700)

In this paper, the value distribution of differential polynomials on meromorphic function was studied by using Nevanlinna value distribution theory on meromorphic function. The results of differential polynomials were obtained, and difference analogues are established on some classical results of the zeros from differential polynomials.

transcendental meromorphic function；difference polynomial；value distribution；Nevanlinna theory

2016-02-19.

贵州省科学技术基金项目(2010GZ43286)； 贵州省科学技术基金项目(2012GZ10526).

1000-1190(2016)04-0481-05

O174.52

A

*E-mail: jinjin62530@163.com.