问题峰回路转思维自由生长——“一次函数图像的应用”教学片段赏析与感悟

☉重庆市璧山区正则中学　李洪兵

☉重庆市璧山中学赵光洪

·重庆市璧山区中学数学段世彬名师工作室·

问题峰回路转思维自由生长——“一次函数图像的应用”教学片段赏析与感悟

☉重庆市璧山区正则中学李洪兵

☉重庆市璧山中学赵光洪

在区教委组织的深化课程改革现场会（初中数学分会）教研活动中，笔者听了本校郭老师的一堂“一次函数图像的应用”展示课，精彩纷呈的课堂给人留下了很深的印象，现从中撷取几个教学片段谈谈自己的一些认识和体会，与同行分享.

一、教学目标

（1）经历分析一次函数图像获取信息的过程，发展几何直观.

（2）利用一次函数图像解决简单实际问题，发展应用意识.

（3）进一步体会数形结合的思想.

二、教学片段赏析

1.初识图像，自然切入

情景一展示2016年重庆马拉松比赛，突出一名身在其中的参赛者，然后介绍：这是我校成功挑战重庆马拉松的卢老师（请卢老师起立，并向师生致意问好），图1是卢老师在训练中路程y（m）关于时间x（min）的函数图像，根据图像回答下列问题：

（1）10分钟时，卢老师跑了______米；

（2）卢老师跑4000米用了______分钟；

（3）17分钟时，卢老师大约跑了______米；

（4）当卢老师跑6000米时，用了______分钟.

师：图1中x轴表示什么？y轴表示什么？

生：x轴表示卢老师出发的时间，y轴表示卢老师跑的路程.

师：A、B两点的实际意义是什么？

生：点A表示卢老师在10分钟时跑了2000米，点B表示卢老师20分钟时跑了4000米.

师：怎样得到17分钟时卢老师大约跑了多少米？

生A：通过作图求得卢老师17分钟时大约跑了3500米.作法为：过17所表示的点作x轴的垂线，交AB于点C，过点C作y轴的垂线，垂足就是卢老师所跑的路程.

师：还有其他方法吗？

生B：已知A、B两点坐标，求出直线AB的解析式，当x=17时，代入解析式求得y=3400.

师：两位同学的方法各有什么优缺点？

学生进行方法比较、小结：法一优点：快；缺点：近似，有时误差会很大.法二优点：准确；缺点：慢.

情景二图2表示的是我班运动健将陈玲在训练中离起点距离y（m）关于时间x（min）的函数图像，根据图像回答下列问题：

图2

（1）该同学从______米处开始起跑；

（2）该同学10分钟跑了______米；

（3）卢老师与同学比谁的速度更快？

师：该图像x轴的意义是什么？y轴的意义是什么？

生：x轴表示学生训练时间，y轴表示学生离出发点的距离.

师：图像与y轴交点的意义是什么？

生：学生出发时距离出发点2000米.

师：和上一条直线比较，倾斜程度没有这么大，说明了什么？

生C：直线越陡，说明速度越快.

赏析：以学生身边的人和事为素材，充分抓住学生的兴奋点，拉近师生距离，快速找到切入点.引导学生看图，采集信息；谈图，处理信息；用图，解决问题.通过学生自己得出多角度处理问题并进行比较学习.教师的不停追问，引导学生进行方法比较、反思、提炼和小结，引导学生将图形还原成实际问题情景，从图像的比较来分析问题、研究问题、解决问题.比较图像的不同，直观地体现速度的快慢，使学生对一次函数图像的认知和应用更深一步认识.从基本问题入手，让问题活起来，树立学生信心，抓住学生继续学习的欲望和动力，为下一个研究函数图像活动做好了铺垫、准备和过渡，为函数图像与实际问题的关系播种萌芽.

2.再识图像，思维碰撞

情景三如图3，l1、l2分别是卢老师和陈玲同学在跑步训练中离起点距离y（m）关于时间x（min）的函数图像，终点距起点6000m，根据图像回答下列问题：

图3

（1）谁先到达终点？

（2）出发后多少分钟，卢老师追上陈玲同学？

（3）若要同时到达终点，其他条件不变，陈玲同学需从离起点多少米处起跑？

师：谁先到达终点？

生：卢老师.

师：为什么？

生D：因为30分钟时，卢老师已跑6000m，到达终点，而陈玲同学才跑5000米，还没有到达终点.

师：卢老师和陈玲同学同时出发，先到达终点，卢老师出发后多少分钟，追上陈玲同学？

生E：由前面知道l1、l2分别过两点，利用待定系数法可以分别求得l1、l2的函数解析式，再用解析式可准确地求出交点坐标，就能得到卢老师多少时间、距出发点多远追上陈玲同学.

生A：从图像上看，两直线交于点（20，4000），所以卢老师出发20分钟时追上陈玲同学.

师：很好，两位同学从数（解析式）、形（图像）两方面进行思考和解决.若要同时到达终点，其他条件不变，陈玲同学需从离起点多少米处起跑？请同学们先独立思考，再在小组中交流，形成小组意见.

师：很好！同学们还有不同的办法可以展示给大家吗？

小组6：直接在图像上平移，可得到在距出发点4000米处出发.（小组6的同学用三角板在黑板上展示，画出平行线示意图.小组2认为该组画平行线还有值得改进的地方，利用“平移法”画平行线更好、更准确，并上黑板展示画法）

小组9：看到达时，卢老师比陈玲同学多跑1000米，即卢老师跑1000米所用的时间学生需要跑2000米，故学生还要少跑2000米，所以学生要在距出发点4000米处出发.

师：不错，三个组的同学都提出了各自的见解和办法，说明同学们能从不同的角度去观察、思考、解决问题.很好！小组2特别认真，数学要求严谨，为我们准确、全面地解决问题树立了好榜样！

赏析：将情景一、二综合在一起，体现了教师的四点教学智慧：第一，通过情景一、二的铺垫和过渡，为情景三积累了学习经验，对问题提出、图像信息的收集与处理，以及实际问题的解决做好了充分的知识、经验和能力储备，将身边的事例用好、用透、用充分.第二，所提出的问题由易到难，既有认知水平较低的问题，也有要求学生能综合和灵活运用所学知识来回答问题，更有要求学生能以自己特有的方式创造性地回答问题，通过对问题的分层设计、层层深入，逐步引导学生的思维向纵深发展.第三，体现教学严谨，小组6的学生画出平行线后，小组2立即提出了更好的解决方式，对数学的准确性提出了更高的要求.第四，再次引导学生进行方法比较、反思、提炼和小结，利用学生的思维角度将图形还原成实际问题情景，利用图像的比较来发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.

3.三识图像，问题开放

情景四图4是卢老师和陈玲同学在跑步中离起点y（m）与时间x（min）的函数图像，终点距起点6000m.

图4

师：卢老师可以休息多长时间？

生：根据前面的图像我们知道，卢老师跑完全程需要30分钟，而陈玲同学需要40分钟，所以卢老师可以在中途休息10分钟的时间.

师：如果卢老师为了和陈玲同学同时到达终点，他还可以有哪些办法？卢老师的图像又该怎样画？请同学们先独立思考，再大家交流.

生F：由前面的问题可以知道卢老师跑完全程用时比同学少用10分钟，卢老师可以晚出发10分钟.画出的图像为以（10，0）、（40，6000）为端点的线段.

师：对出发时间进行调整，也是一种选择.

生B：卢老师可以减慢跑步速度，画出的图像为以（0，0）、（40，6000）为端点的线段.

师：刚才两位同学分别从时间、速度两个方面变化入手，还有其他办法吗？

生H：可以改匀速跑步为变速跑步，只要符合实际意义即可，所以图像也不一定是线段，也可以是曲线，但曲线的右端点一定为（40，6000），而左端点不一定是（0，0）.这更符合我们日常生活中的实际情况.（生H上黑板画出曲线，并解释图像的实际意义，如所跑的路是上坡、平路或下坡，口渴喝水，调整状态等）

赏析：郭老师在提出问题后，并没有就此罢休，而是进一步提出更开放的问题供学生思考、参与和解答.设法让学生敢于突破常规去寻求多种解决问题的策略和途径.郭老师的追问引导学生敢于挑战课本、挑战教师、挑战权威，提出新想法、新创意、新探索.事实证明郭老师是成功的！生活是创新的源泉，数学知识来源于生活实践，数学活动就是让学生运用数学的思维方式去观察、分析生活中的一些事例，去解决或解释生活实际中可能遇到的现象和问题，并在此过程中培养学生的创新能力.

三、感悟

郭老师这堂课与其他课相比，知识难度不高，但她能做到利用学生身边熟悉的一个生活实际问题贯穿整个教学活动过程，充分挖掘实际问题中的数学要素，环环相扣，根据课堂教学情况不断追问，引导学生多角度、多方法解决问题，并对各种方法、角度进行比较分析，进行反思、取舍和应用，为本堂课记下了精彩的一笔，既造就了学生的精彩也造就了教师的精彩.精彩之处体现在以下四点：

1.目标明确，着眼学生的核心素养

从目标可以看出，分析一次函数图像获取信息的过程，发展几何直观.本节课正是通过学生身边的事例，让学生认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决，增强应用意识，提高实践能力.［1］课堂中通过学生识图、辩图、用图、画图，就是将相对抽象的思考对象“图形化”，让实际问题“图形化”，把跑的路程与时间这一过程变得直观；通过对图像平移——让图形动起来，说明学生已逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的；［2］通过对一次函数图形的不断应用，去发现、描述、解决问题，从而有助于探索解决问题的思路，预测结果.同时，本节课中渗透模型思想，运用函数图像（不一定是一次函数图像，生H就是一个例子）帮助学生去发现、提出、分析、解决问题，培养了学生的创新意识.所以学生的应用意识、几何直观、模型思想等核心素养得到了一定的提升.

2.问题变式，着眼学生的发散思维

本节课应用身边事例，情景真实自然，通过问题变式，给人一种新鲜、生动的感觉，唤起了学生的求知欲和新鲜感，给学生注入主动参与学习的动力，保持参与教学活动的兴趣和热情，树立自信.课堂教学要交流、要互动、要以学生发展为本，让学生在课堂中真正的动脑筋.［3］通过这堂课可以看出，在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面、多角度、多渠道地思考问题，让学生多探讨、多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，能诱导学生猜测各种不同的条件、结论、思路，利于对学生的学习进行过程性评价.郭老师注重问题的变式教学，做到了“把学生思维激起来，学生动起来，老师静下来.”

3.授之以渔，着眼学生的探究能力

常言道：授之以鱼不如授之以渔.郭老师在教学活动中，注重对自主学习的引领，将学习方法指导渗透在课堂教学中，对自主、合作、探究等活动给足空间.独立思考与合作交流是相互关联的两种不同的学习方式，合作交流能让学生交流思想、弥补不足、共同进步且能培养交流表达能力，而独立思考是数学学习不可缺少的过程，只有经过独立思考才能知晓数学的本质、领悟数学的原理.独立思考是基础，创造机会让学生独立思考，当学生充分思考且思维出现差异时，方可进行合作交流，让不同的思考在交流中展现出思维碰撞的火花，促进思维能力和学习兴趣的提升，从而构建生动活泼的学习环境.［4］

4.开放探索，着眼学生的四基四能

本节课的教学活动中，无论是问题的开放性或探索性，都注重学生的兴趣和体验，注重学生的经验，注重对学生、老师提出的观点、方法进行反思，学生获得了数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.教学活动过程中渗透数学建模的思想，培养学生的“数学建模”能力，而建立数学模型对于提高学生解决实际问题的能力有着重要的作用，因此，学生经历了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题及问题反思，使学生的“四能”得到充分的展现.

四、值得商榷的几个地方

课堂是艺术的，是技术的，也是学术的，笔者认为本节课也有两个值得商榷的地方.

（1）在情景三中，用代数方法解决问题时，让学生写出详细的解答过程，起到示范引领作用，是否更好些.

（2）在情景四中，可否先不给出问题，让学生提问，再给出问题，或让学生以生活经验为基础自己去编题，更利于激发学生的创造性思维，也许还有更精彩的课堂表现.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.李洪兵，肖国琴.豁然自然盎然昂然——中考模拟试卷评讲的一种尝试［J］.中学数学（下），2013（11）.

4.朱国生.合理对话，层层深入，领悟数学之妙——以“反比例函数（第12课时）”教学为例［J］.中学数学（下），2016（4）.H