拉普拉斯白噪声下的分组Turbo码

党小宇， 黄准， 朱鲁军， 虞湘宾， 陈小敏

南京航空航天大学 电子信息工程学院， 南京 210016

拉普拉斯白噪声下的分组Turbo码

党小宇*， 黄准， 朱鲁军， 虞湘宾， 陈小敏

南京航空航天大学 电子信息工程学院， 南京 210016

目前，传统航空测控通信所采用的纠错码大多是建立在高斯信道基础上的。然而，航空测控环境中不可避免存在着多种尖锐的噪声，测控通信纠错码的可靠性能在非高斯信道中尚未得到充分的研究。分析了一类国际航空遥测的分组Turbo码(BTC)在拉普拉斯白噪声信道下的译码和性能。将传统Chase迭代译码算法引入到拉普拉斯白噪声信道中，建立相应的数学模型,同时，基于该数学模型设计了3种不同的译码接收器下的BTC译码方案。仿真结果验证了该数学模型的正确性与可行性，在误码率为10-4时最佳译码方案相比于硬限幅接收机有3.7 dB的增益，相比原有的高斯信道下的接收机仅有0.6 dB的性能损失。

分组Turbo码； 拉普拉斯白噪声； 误码率(BER)； 码字可靠性； 迭代译码算法

近十几年来，拉普拉斯白噪声模型在信号处理、信号检测和通信领域等方面被广泛地关注和研究。它常常被用于各种环境中的脉冲噪声模型，比如室内[1]与室外无线电环境[2-3]和海底传输环境等[4]。一方面，在超宽带无线通信(Ultra-Wide Bandwidth, UWB)[5]中存在拉普拉斯噪声，这主要是因为在UWB系统中的多用户干扰(Multi-User Interference, MUI)概率分布与拉普拉斯分布的概率密度函数相似[6]。另一方面，文献[7-8]对拉普拉斯噪声中的信号进行估计与提取。实际上，在航空航天领域中也存在着拉普拉斯噪声，如航天飞船在多级分离中的各次点火瞬间就存在尖锐的脉冲噪声信号，可以被当作拉普拉斯噪声进行研究[9-10]。

分组Turbo码[11](Block Turbo Code, BTC)是与Turbo卷积码[12]不同的，通过行列交织形成的二维分组码。1993年，Berrou等[13]提出Turbo卷积码的译码算法，使信道编码领域有了新的突破。随后，基于分组Turbo码的特点，Pyndiah等[14]在1994年提出了分组Turbo码的软输入软输出迭代译码算法。自BTC软输入输出迭代译码算法提出后，其编译码过程被广泛采用，尤其是译码。BTC译码采用Chase译码算法[15]，它是基于软输入输出进行迭代译码的，在高码率下，它仍然具有较强的纠错能力。同时，Chase译码算法能使译码码字的错误机率达到最小，其性能接近最大似然译码。文献[16]针对BTC的译码算法提出了一种高效的混合式译码器。另外，BTC在信道编码领域得到广泛应用，例如航空遥测技术新版标准IRIG106-11采用了一类BTC码作为纠错编码方案[17]。

然而，在国内外文献中，将BTC与拉普拉斯噪声相结合进行研究尚未见报道。因此，本文旨在讨论给定航空遥测IRIG106-11标准中所采用的分组Turbo码条件下，拉普拉斯信道的最佳/匹配/硬限幅接收器结构，并分析其接收器性能。具体的，将传统Chase迭代译码算法引入到拉普拉斯噪声模型中，建立相应数学模型，重新推导判决码字的可靠性，然后得出软输出信息，最后进行迭代译码。相比于高斯白噪声条件下，BTC在拉普拉斯噪声中性能损失得到了数值上的评估，对航空器通信链路评估在非高斯噪声条件下的性能有着重要参考意义。

值得注意的是，适用于Turbo卷积码的最大后验概率(Maximum A Posteriori, MAP)、最大-对数-后验概率(MAX-Log-MAP)等算法并不适用于分组Turbo码。这是因为MAP算法采用前向和后向概率计算时，需要利用码字固有的栅格(Trellis)结构，而分组码的Trellis结构随着码长的增加会变得极其复杂，使得这类算法在分组Turbo码译码上难以应用。

本文内容安排如下：第1节介绍拉普拉斯白噪声信道下的3种BTC译码接收器，包括最佳接收器、硬限幅接收器以及匹配滤波接收器。第2节提出拉普拉斯白噪声信道中3种接收器下的BTC译码方法。第3节给出高斯白噪声和拉普拉斯白噪声信道下的仿真结果，并进行性能分析。第4节对本文进行总结分析。

1 基于拉普拉斯白噪声的译码接收器

在高斯白噪声信道中，译码接收器通过匹配滤波来得到输出信息[18]。然而，拉普拉斯分布的概率密度函数为

(1)

式中：u为拉普拉斯随机变量W的均值，方差为b2/2。u=0时为拉普拉斯白噪声。由于与高斯分布概率密度函数不同，在拉普拉斯白噪声信道下采用匹配滤波的接收器并不是最佳的接收器[19]。因此需要重新设计拉普拉斯白噪声信道下的BTC译码器，推导不同接收器下判决码字的可靠性。外信息由判决码字的可靠性推出，而外信息是影响整个BTC迭代译码性能的关键因素[20]，因此，判决码字的可靠性推导至关重要。

假设发送端二进制数据符号为d∈{+1,-1}，经过拉普拉斯白噪声信道后，接收端的信号表示为

xi=dsi+nii∈{1,2,…,N}

(2)

式中：xi为接收端的采样点；si为码元成形函数s(t)的采样点；ni为独立同分布的拉普拉斯白噪声的采样点。

那么，在接收端的采样点信号有以下两种表示

(3)

如果x=[x1x2…xN]，Li为译码最佳接收器(Optimal Detector)的对数似然比(Log-Likelihood Ratio)，那么Li可以表示为

(4)

式(4)也可写为

|xi·sgn(si)-|si||)

(5)

式中：sgn(·)为符号函数。定义非线性gi(t),i∈{1,2,…,N}为

gi(t)=|t+|si||-|t-|si||=

(6)

因此，输入到BTC译码器之前的信号可以表示为

(7)

式中：r对应于BTC码块中的一个码元。最佳接收器的结构图如图1(a)所示。

硬限幅接收器(Hard Limit Detector, HLD)中的非线性gi(t)与最佳接收器不同，如图1(b)所示。这里，非线性gi(t)取值为

(8)

式中：对于gi(t)，需要说明：当t=0时，gi(t)既可为+1，也可为-1，但发生这种情况的概率极低，不影响整个系统性能。因此，输入到BTC译码器之前的信号同样可以表示为

(9)

在译码匹配滤波接收器(Matched Filter, MF)中，没有非线性gi(t)，只有采样点相加模块，如图1(c)所示。输入到译码器之前的信号可以表示为

(10)

图1 拉普拉斯白噪声下的3种BTC译码接收器结构图Fig.1 Structures of three BTC decoding detectors in white Laplacian channel

在以上3种接收器中，译码最佳接收器最复杂，而匹配滤波接收器复杂度最小，只采用了相加模块。相比于译码最佳接收器，译码硬限幅接收器降低了接收器复杂度，即采用了较简单的非线性gi(t)。

2 基于拉普拉斯白噪声的BTC编译码原理

在高斯白噪声BTC译码中，最佳判决码字D的可靠性通过与译码器输入序列R之间的欧氏距离来求得。然而，在拉普拉斯白噪声的BTC译码中，无法通过码字的欧氏距离来求得判决码字的可靠性，而是与译码器输入信息的概率密度函数有关。因此，本节对拉普拉斯白噪声下的BTC编译码原理进行详细分析，并基于不同的译码接收器推导对应判决码字的可靠性。

2.1 BTC编码

BTC编码可以分为二维或三维，二维BTC编码由两个子码构成，其结构为块状，三维BTC编码由3个子码构成，其结构为立体状。BTC的子码一般由其他码构成，其常用的子码有线性分组码、循环码和BCH码等。

如图2所示，该图为BTC 的编码结构图，信息位为k1×k2矩阵。BTC码编码首先将k1×k2信息矩阵安排在如图2所示的右下角；然后将信息矩阵进行列编码，编码后得到一个k1×n2矩阵；最后将k1×n2矩阵进行行编码，编码后得到一个n1×n2矩阵。

图2 二维BTC编码块Fig.2 Two-dimensional coding block of BTC

2.2 基于Chase-Ⅱ的BTC译码步骤

设BTC译码器输入端序列为R=[r1r2…rn]，D=[d1d2…dn]为最佳判决码字。一次迭代译码过程为

2) 形成错误图样E，它是将第1步中的p个位置分别用0、1表示，其他位置置0，即共形成2p个序列。

3) 形成测试序列T=H⊕E，H为接收序列R进行硬判决后得到的序列，其中⊕为模2相加。

4) 对所有测试序列进行代数译码，产生候选码字集合C。

5) 将C与R相对比，从集合C中选出码字可靠性最高的码字作为最佳判决码字D。在高斯白噪声BTC译码中，按照式(11)找到最佳判决码字D：

∀i,j∈{1,2，…,2p},j≠i

(11)

(12)

如果要进行下一次迭代译码，Chase译码器产生最佳判决码字D和次佳判决码字作为竞争码字B，通过计算得出软输出信息和外信息，进而产生新的软输入信息作为下一次迭代的输入信息[21]。

然而，由于输入信息的概率分布函数不同，拉普拉斯白噪声下的BTC译码并不能使用式(11)找到最佳判决码字D，并据此得到下一次迭代的软输入信息。因此本文将在2.3节对拉普拉斯白噪声信道下的判决码字可靠性进行详细分析和推导。

2.3 判决码字的可靠性分析

为了提高译码的性能，必须采用迭代的方式，因而需要保证判决码字D的可靠性，并据此得到外信息作为下一轮的迭代输入。判决码字D中的元素的可靠性用传输码字X=[x1x2…xn]的对数似然比来表示：

(13)

式中：

(14)

根据贝叶斯准则，有

(15)

(16)

2.3.1 采用最佳接收器的判决码字可靠性

假设发送数据sk=1、采样点数N=1。在经过最佳接收器之后，得到的新的软限幅拉普拉斯分布rk的概率密度函数为

fop(rk|sk=1)=

(17)

当sk=-1时，rk的概率密度函数与sk=1时的概率密度函数关于Y轴对称，即

fop(rk|sk=1)=fop(-rk|sk=-1)

(18)

根据式(17)及式(18)又有式(19)成立：

(19)

即可推得

(20)

则采用最佳接收器条件下的判决码字D的可靠性表示为

(21)

将式(21)归一化，可得

(22)

2.3.2 采用硬限幅接收器的判决码字可靠性

假设发送数据sk=1、采样点数N=1。经过硬限幅接收器后的输出rk的条件概率分布为

(23)

当sk=-1时，rk的概率密度函数与sk=1时的概率密度函数关于Y轴对称，即

fHL(rk|sk=1)=fHL(-rk|sk=-1)

(24)

那么由式(23)及式(18)得到采用硬限幅接收器条件下的判决码字D的可靠性为

(25)

将其归一化之后，得到软输出信息和外信息分别为

(26)

2.3.3 采用匹配滤波接收器的判决码字可靠性

当采样点数N=1时，匹配滤波器的输出信息服从拉普拉斯分布。此时匹配滤波接收器输出信息序列R的条件概率为

(27)

由此得到其判决码字D的可靠性为

(28)

式(28)可以表示为

(29)

式中：

(30)

将式(29)归一化，可得

(31)

2.4 外信息的计算

根据上文给出的拉普拉斯白噪声信道下的3种不同接收器的判决码字可靠性的归一化表达式，可以得到对应的外信息从而进行迭代译码。具体分如下两种情况讨论。

1) 当bj≠dj时，最佳译码接收器和硬限幅译码接收器的外信息为

(32)

而匹配滤波接收器的外信息为

(33)

2) 当bj=dj时，对于以上3种接收器的外信息均为

wj=βdj

(34)

式中：调节因子β为经验值。

3 仿真分析

为了验证本文建立的数学模型，本节在不同译码接收器、不同采样点个数和不同子码下进行仿真分析。仿真条件：BTC子码采用BCH码，迭代次数为4次，行列不可靠位分别为p1=4、p2=4，采样速率为N=1，调制方式为BPSK，随机脉冲波形为矩形脉冲。

仿真1不同译码接收器的仿真分析

仿真2不同子码的仿真分析

图3 拉普拉斯白噪声中不同BTC接收器下的误码率曲线Fig.3 BER in white Laplacian channel with different BTC detectors

图4 高斯拉普拉斯白噪声下不同子码的误码率曲线 Fig.4 BER curves with different subcodes in Gaussian and white Laplacian channel

4 结 论

本文研究拉普拉斯白噪声条件下航空测控BTC码的性能，得到如下结论：

1) 拉普拉斯白噪声条件下BTC的译码可由最佳、匹配、硬限幅3种接收器实现。

2) 拉普拉斯白噪声条件下最佳接收器的BTC译码性能最佳，接近高斯白噪声条件下的BTC译码性能，在误码率为10-4时仅相差约0.6 dB。

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党小宇男， 博士， 教授， 硕士生导师。主要研究方向： 卫星导航、 信道编码理论、 深空通信、 航空航天测控。

Tel.: 025-84892402

E-mail: dang@nuaa.edu.cn

黄准男， 硕士研究生。主要研究方向： 信道编码理论、 调制解调技术。

E-mail: 2702121416@qq.com

朱鲁军男， 硕士研究生。主要研究方向： 调制解调技术、 计算机网络。

E-mail: zhulujuna@163.com

*Correspondingauthor.Tel.：025-84892402E-mail:dang@nuaa.edu.cn

BlockTurbocodeinwhiteLaplaciannoise

DANGXiaoyu*,HUANGZhun,ZHULujun,YUXiangbin,CHENXiaomin

CollegeofElectronicandInformationEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China

Recently,mosterrorcorrectingcodesusedinaeronauticaltelemetryandcontrolcommunicationarebasedonwhiteGaussianchannel.However,thereareunavoidablymultiplekindsofsharpnoisesinaeronauticalmeasurementandcontrolcommunication,andreliabilityoferrorcorrectingcodeswithnon-Gaussianchannelhasnotbeenfullystudied.Inthispaper,thedecodingandperformanceoftheblockTurbocodeinwhiteLaplacianchannelisanalyzed.ThemathematicalmodelisestablishedbyintroducingconventionalChaseiterativedecodingalgorithmtowhiteLaplacianchannel.Atthesametime,threekindsofBTCdecodingschemeswithdifferentdetectorsareproposed.Simulationresultsverifytheavailabilityofthemodel.Itisfoundthatwhenthebiterrorrateis10-4,theoptimaldetectorprovides3.7dBofgaincomparedwiththehardlimitdetectorinwhiteLaplacianchannel,andonly0.6dBofperformancelossincontrastwiththetraditionaldetectorinwhiteGaussianchannel.

blockTurbocode;whiteLaplaciannoise;biterrorrate(BER);codereliability;iterativedecodingalgorithm

2015-11-26；Revised2015-12-14；Accepted2016-02-21；Publishedonline2016-03-021429

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160302.1429.002.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61172078,61571224,61571225)；FundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(NS2014038)；FoundationofGraduateInnovationCenterinNUAA(kfjj20150404)；ScientificResearchFoundationforthe

OverseasChineseScholarsofMinistryofEducationofChina;SixTalentPeaksProjectinJiangsu

2015-11-26；退修日期2015-12-14；录用日期2016-02-21； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-03-021429

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160302.1429.002.html

国家自然科学基金 (61172078、61571224、61571225)； 中央高校基本科研业务费 (NS2014038)； 南京航空航天大学研究生创新基地(实验室)开放基金 (kfjj20150404)； 教育部留学回国人员科研启动基金; 江苏省六大人才高峰项目

*

.Tel.：025-84892402E-maildang@nuaa.edu.cn

党小宇， 黄准， 朱鲁军， 等. 拉普拉斯白噪声下的分组Turbo码J． 航空学报,2016,37(11):3494-3501.DANGXY,HUANGZ,ZHULJ,etal.BlockturbocodeinwhiteLaplaciannoiseJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3494-3501．

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0050

V243.5; TN911.22

A

1000-6893(2016)11-3494-08