有关高考坐标系与参数方程常见题型和解法

张汉宇

坐标系与参数方程是解析几何初步，平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.它是代数与几何相结合的桥梁.《普通高等学校招生全国统一考试大纲（新课标版）》对坐标系与参数方程的要求：①理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；② 了解极坐标的基本概念，会在极坐标中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；③能在极坐标中给出简单图形表示的极坐标方程；④了解参数方程，了解参数的意义；⑤能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

坐标系与参数方程是近几年高考的选做题之一.主要以填空题，解答题的形式出现，有时也会以选择题的形式出现.笔者以研究高考试题来认识教学内容，把握重点和教学要求是一线教师提高教学水平的关键.本文对高考坐标系与参数方程的常见题型进行分类，并对各类试题的解法进行总结，为现行的高中数学教学提供参考.

题型1参数方程与直角坐标方程的转化

例1（2011年江苏）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφ，

y=3sinφ （φ为参数）的右焦点，且与直线x=4-2t，

y=3-t （t为参数）平行的直线的普通方程.

解析由题设知，椭圆的长半轴长a=5，短半轴长b=3，从而c=a2-b2=4，所以右焦点为（4，0）.将已知直线的参数方程化为普通方程：x-2y+2=0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y=12（x-4），即x-2y-4=0.

点评此题为独立的参数方程转化为直角坐标方程的试题，消去参数方程中的参数即可，但应注意直角坐标方程中变量x，y，t的取值范围应结合参数方程的特点来考虑.消去参数的方法有：①代入消去法，由其中一个方程解出t，代入另一个方程；②由两个方程相加减（平方加或减）或乘除消去参数t；③换元法，通过三角或代数换元消去t.

题型2极坐标方程与直角坐标方程的相互转化

例2（2011年北京）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是

A.（1，π2）B.（1，-π2）C.（1，0）D.（1，π）

解析把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2+2y=0，得圆心的直角坐标为（0，-1），故极坐标为（1，-π2）.

点评极坐标方程与直角坐标方程的互化，首先应掌握互化的条件：极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正方向重合；其次是掌握互化公式；最后，应该熟悉简单曲线的极坐标方程.

题型3动点轨迹的参数方程

例3（2013年课标全国Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线x=2cost，

y=2sint （t为参数）上，对应参数分别为t=α与t=2α（0<α<2π），M为PQ的中点.

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

解析（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）.M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α，

y=sinα+sin2α （α为参数，0<α<2π）.

（2）M点到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cosα （0<α<2π）.当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.

点评解决这类问题可以利用以下几种方法，方法一，按照动点轨迹的一般步骤建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理；若动点的运动规律满足某种曲线的定义，则可利用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；方法三，若动点M（x，y）依赖于已知曲线上的动点P而运动，则可将转化后的动点P的坐标代入已知曲线方程式满足的几何条件，进而求出动点P的轨迹方程.

题型4根据轨迹的参数方程求坐标

例4（2011年广东）已知两曲线参数方程分别为x=5cosθ，

y=sinθ （0≤θ<π）和x=54t2，

y=t （t∈R），它们的交点坐标为.

解析消去参数θ得曲线方程x25+y2=1 （0≤y≤1），表示椭圆的一部分.消去参数t得曲线方程y2=45x，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为（1，255）.

点评根据轨迹的参数方程求点的坐标问题，可以分为两种方法，方法一，将参数方程化为直角坐标方程，在直角坐标系下描绘图形，最终得到点的坐标；方法二，将轨迹的参数方程在极坐标系上表示出来，然后就能得到点的坐标.

题型5由极坐标方程或参数方程求两点的距离

例5（2013年北京）在极坐标系中，点（2，π6）到直线ρsinθ=2的距离等于.

解析由极坐标方程与直角坐标方程的互化关系可知，在极坐标系中，点（2，π6）对应的直角坐标为（3，1），直线ρsinθ=2对应的直角坐标方程为y=2，所以点到直线的距离为1.

点评此题的方法是将极坐标方程化为直角坐标方程，确定点的直角坐标后即可求两点间的距离.在极坐标方程中求两点间距离的方法，通常还采用余弦定理，相当于知道三角形两边的长度和其所夹的角，求第三边.

题型6求未知参数

例6（2013年湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x=t，

y=t-a （t为参数）过椭圆C：x=3cosφ，

y=2sinφ （t为参数）的

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