化归方法在高中数学教学中的运用

江苏省海门市能仁中学　马　丽

化归方法在高中数学教学中的运用

江苏省海门市能仁中学马丽

在解决高中数学问题时，可以采用某种方法将问题等价转换为新的简单化的问题，如函数y=x6+x3+k，可以等价转换为y=a2+a+k（a=x3），将六次函数简化为二次函数，这就是简单的化归的解题方法。通常化归方法解题是将陌生问题熟知化，繁杂问题简易化，抽象问题直观化。

一、数与数之间的化归

我们在高中数学中常用的换元法就是一种数与数之间的化归。换元法解题的关键在于问题有相同的数学结构特征（即方程式、不等式、函数式等中的代数式），将相同的数学结构特征适当变换为一个新的变量，这样就能够将原始问题化难为易、删繁就简，实现问题的化归。因此，解决这类问题需要培养学生注意分析问题的相同的数学结构特征，对已知函数中的代数式进行适当变形，洞察题目中的特殊数学结构，利用这些特殊数学结构进行代换。

求证：m1+m2+m3=m1m2m3。

【分析】学生往往采用求证的等式左边通分化简，右边乘积化简，然后让结果相同而达到证明。虽然这种计算化简在理论上是可行的，在实际计算中却是“工程浩大”。我们可以采用将已知条件进行变形，然后通过数与数之间的化归，走出一条捷径。

故等式成立。

数与数之间的化归最关键的地方在于将陌生问题化归为熟知，在应用我已有的知识或经验将代数式变形代换，转换为简易的算式进行运算，从而达到解题的目的。

二、形与形之间的化归

在几何中，解决立体几何问题要有较强的空间感，有灵活的抽象思维能力。而立体几何问题往往都是依靠平面几何的定理、定律来解决的。假如我们利用割形、补缺、折叠、铺展、作辅助线等方法处理几何图形，将一个复杂的立体问题化归为平面问题，这样来解决立体几何的问题就能化繁为易，事半功倍。

例2在下图中，已知正三棱锥P-ABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，有一只蜗牛从A点出发，走过侧面PAB和侧面PBC到达E点，求蜗牛走过的最短距离。

【分析】众所周知，平面上两点间的距离最短。解决三棱锥中两点间的侧面上最短距离时可以将图形铺展开来（如下图），这样，就可以将一个立体几何问题化归为一个平面问题。

将立体图形铺展开来就是将空间图形剪开摊平成一个平面图形，在数学中我们求圆锥、圆台的侧面积都使用过这类方法。但很多数学问题并不是这种“圆滑无棱”的空间几何体，需要培养学生的空间想象能力，能使某种在空间图形中不容易察觉的几何体元素的数学特征在平面图形中清楚易见。

三、数与形之间的化归

数与形之间的化归包括“数”构建“形”和“形”凸显“数”两个部分。主要应用在函数与其图象的关系、复数及其运算的几何意义以及解析几何中曲线与方程的概念等等方面。

1.“数”构建“形”。一些代数方面的问题通过仔细观察分析可发现它具有某种特定的几何含义，这种几何含义就是数与形之间的新关系，是将代数问题化归为几何问题的切入点。

例3x、y满足方程x2+y2-4x=1=0，求的两个最值。

【分析】首先根据函数x2+y2-4x=1=0，构建与解析几何的关系不难发现它就是一个圆的方程，将其化解为圆的标准方程（x-2）2+y2=3，可以发现实际上就是圆上的点（x，y）与原点连线的斜率，这样就可将代数问题化归为几何问题速战速决。

2.“形”凸显“数”。这是一种将几何问题代数化，以量化到达形化，从而使数学问题达到成功解决的方法。这里就不再狗尾续貂了。

总之，在应用化归方法解决数学问题时，没有什么固定的模式，需要培养学生具有灵活头脑和发散的思维。化归的实质就是等价转化，是对数学问题深入分析、对比联想等的思维过程。将问题相同或相似的部分用数学的手段进行等价变换，将原问题转化为一个熟知新问题，这其实是一种成功的秘诀。