领悟“整式的加减”中的数学思想

江苏省海门市海南中学　黄　华

领悟“整式的加减”中的数学思想

江苏省海门市海南中学黄华

在学习中品味数学的思想，领悟数学的精华，让学习不只是服务于应试与升学，更服务于成长与成才。在人教版“整式的加减”的教学中，我们可以尝试通过多个方面来渗透数学思想，引领学生成长。

数学；思想；数形结合

整式的加减是初中数学的重要内容。它是学习整式的乘除、分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础。整式的加减，不仅要熟练运用整式的加减法则进行化简、求值，领悟其中蕴含的数学思想则更是重中之重。巧用各类数学思想对解决有关问题常有事半功倍的效果。

一、用字母表示数的思想

用字母表示数，是发展学生符号意识、进行量化刻画的基础，同时也是从常量研究到变量研究的基础，从具体到抽象的规律发现的重要过程，是算术跨越到代数的桥梁，是学生学习初等数学必须进行的思想方法、思维方式转变的第一关，对后续学习非常重要。

例1计算2015×20162016-2016×20152015。

分析：此题虽然可以直接计算，但过于烦琐。如果设x=2015，y=2016，用字母表示数，把数的运算转化为代数式的运算，则可使运算简便。

点评：正确理解用字母表示数，是学好数学知识的关键，通过本题我们发现，有时用字母表示数可以使问题简化。

二、整体思想

整体思想就是考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某几项某一类看成一个整体的数学思想方法。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简求值题中经常用到。

例2当x=-1时，整式ax3+bx+3的值为7，则当x=1时，其值为______。

分析：把x=-1代入整式，得到-a+b+3=7，即-（a+b）=4，虽无法求出a，b的值，但当x=1时，整式ax3+bx+3就可表示为a+b+3，整体代入即可。

解：当x=-1时，原式=-a+b+3=7，即-（a+b）=4。

所以，原式=a+b+3=-4+3=-1。

1）王家会站测验断面相对稳定，中高水水位流量关系相关性较好，中高水经单值化处理定线后，水位流量关系线系统误差的绝对值和随机不确定度均小于《水文巡测规范》（SL195-2015）4.5.2条基本站允许误差。

点评：解题时不要只着眼“局部”，还要着眼于“整体”，利用“整体代入”的方法会使一类整式的化简求值问题便于解决。

三、方程思想

方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，找出相关量之间的相等关系，列出方程或方程组，从而解决问题的一种思维方式。

例3若单项式axb+2y7与x5ya+3是同类项，求a-b的值。

分析：依据同类项的定义可知：两个项中x的指数相等，y的指数也相等。

解：因为单项式axb+2y7与x5ya+3是同类项，所以b+2=5，a+3=7，则有a=4，b=3，所以a-b=4-3=1。

点评：用方程思想分析解决问题，直观明了，便于理解，是今后解实际问题及解其他问题（如空间与图形问题）的重要方法。

四、归纳思想

从特殊（具体）的例子出发，经过猜想、探究、归纳出一般（抽象）的规律。这种特殊到一般、具体到抽象的方法渗透了我们数学中常用的归纳思想，对发展学生的思维非常重要。

例4用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是______。

答案：4n-1。

点评：这种“特殊（具体）→一般（抽象）”的思维方式，正是人类认识新事物、探索新规律常用的方法。由于此类命题切合培养创新意识的新课标要求，所以逐渐成为各类考核命题的热点。

五、分类讨论思想

我们在研究解决有关问题的时候，常常根据问题的特点和具体要求，按照一定的标准，把这个问题分为若干种互不重复的情形，然后加以处理的一种数学思想就称为分类讨论的思想。

例5试比较a2-3a+4与a2-4a+3的大小。

分析：比较大小的常规方法有很多种，本题最常用的是作差法。两个式子的大小可以通过它们的差来判断，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b。

解：（a2-3a+4）-（a2-4a+3）=a+1

分三种情况讨论：

当a＞-1时，a+1＞0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）＞0，∴a2-3a+4＞a2-4a+3；

当a=-1时，a+1=0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）=0，∴a2-3a+4=a2-4a+3；

当a＜-1时，a+1＜0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）＜0，∴a2-3a+4＜a2-4a+3。

点评：分类讨论思想的实质是把问题“分而治之，各个击破”。当题目中的条件不确定时，一般应采用分类讨论思想方法进行解答。用分类讨论思想解题时，关键是不重复不遗漏，尤其要注意分类标准的统一性。

六、数形结合思想

数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，使数与形相互启发、相互补充、相互转化。仔细观察图形，找出反映图形的数量关系，就能正确地解决问题。

例6已知在数轴上a、b、c的位置，如图所示，试化简

分析：对带有绝对值符号的式子进行化简，首先要考虑的是去掉绝对值符号，根据绝对值的性质确定去掉绝对值符号后取什么符号，最后再用整式的加减运算进行化简。

点评：数形结合是数学中一种非常重要的思想方法，它利用“数”与“形”各自的特点，互相补充，使数形相互依偎，为我们解决问题创造便利。

在解题时，有意识且熟练地运行各种数学思想，整式加减不仅会变得更容易，而且能大大提高答题的正确率。因此，在日常教学中，我们要不断将这种思想渗透进去，让学生熟练运用。