复数的概念教学的尝试

浙江省慈溪市技工学校（慈溪杭州湾等职业学校） 胡伟杰

复数的概念教学的尝试

浙江省慈溪市技工学校（慈溪杭州湾等职业学校） 胡伟杰

数学概念课一直以来比较难上，本文主要针对职高学生首次接触到复数的概念所存在的问题与困难加以研究，介绍了一种可以让职高学生更好地去接受、去认识复数的课堂教学方法，尽可能让学生不但能掌握复数的概念，为以后继续学习复数的其他知识打好扎实的基础，而且还能使他们真正理解人类历史上数是如何发展和扩充的，从而培养学生的求知欲和对数学学习的兴趣。

复数；概念；教学；尝试

一、现状分析

中等职业学校学生普遍存在着重视专业课、轻视文化课的现象。从某种意义上说，绝大部分学生之所以选择职校，也是由于本身文化课基础弱。特别是数学课，很大一部分学生基础较差，学起来确实有困难，原因在于有些学生从小学高年级开始就对数学不感兴趣，慢慢落在“大部队”后面，越学越没兴趣，越没兴趣越不想学，越不想学越学不进去，最后导致一窍不通；而另一些学生对数学虽然感兴趣，但一遇到困难就逃避，就想偷懒。他们共同的一点就是看不到数学的实用价值，因而学习起来提不起劲儿。

影响上述的原因是多方面的。中等职业学校的大部分学生数学基础欠扎实，思维、灵活性受基础欠佳等原因制约，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，反应速度相对较慢。面对这样一种局势，尤其摆在数学教师面前的是一种压力与挑战。能不能让学生把高度抽象、逻辑性强的数学转化为简单、形象的数学，是学生能否学好数学的关键。

笔者学校使用的数学教材是中等职业教育国家规划教材人民教育出版社职业教育中心教材《数学》职业模块理工类。在上完复数的概念这几节内容后，发现大多数学生对复数的有关概念掌握得特别差。普遍问题：学生对一些简单的复数概念了解得很茫然，不知道复数到底是怎么回事，所以做题目的时候大部分只会简单模仿，根本不理解，一旦碰到新的题目时，就不知所措。

为此，笔者又重新把数学课本、数学课教学大纲、数学参考书看了好几遍，再对照自己的教学方案与学生的错误题目，进行反复思考与揣摩。发现了问题之所在：学生在接受新的数学知识的时候最好知道它的本质，而且还要求在教学的过程中抓住几个重要的环与点。

二、教材分析

复数概念这节内容无论从职高的教材还是从普高的教材来看，其中的教学思想方法一般有以下两种模式：

1.先为了解决实数集上矛盾的方程x2+1=0，引入一个新数i，给出了它需要满足的两条性质：（1）它的平方等于-1，即i2=-1；（2）实数可以和它进行四则运算，进行四则运算时原有加（乘）法运算律仍然成立。在此基础上进一步来研究复数的其他的有关知识。

2.同样为解决方程x2+1=0，在实数范围内，是无解的问题。先以x2=2在有理数上无解，以及正方形对角线的扩充度量问题为例，人们把有理数扩充到了实数系，说明了数扩充的必要性，让学生继续思考能否把数从实数再次扩充，再从有理数扩充到了实数系这个过程中阐述数扩充所需要的条件。并在实数扩充到新数的过程中给出了复数的一般形式；最后，有了这个新数i后，进一步来研究复数的其他的有关知识。

笔者多次比较了这两种的教学思想模式，感觉它们各有所长。

对于前者模式，它的特点：简单明了，基于“够用、实用、适用”的原则，适合职业教育的特色。

而后者模式的特点在于：不但让学生理解数学的本原，“数学来自于生活，用之于生活”，而且还符合人的一般认知规律：从简单到复杂，从特殊到一般。

那么，能否把这两种教学的模式结合起来，创造一种更适合职业学校学生的认知与接受能力的教学方法呢？

笔者，原先一直在这一点上努力研究，结果陷入困惑之中，后来才发现，其实，要创造一种更适合职业学校学生的认知与接受能力的教学方法，主要还是取决于：联系学生的特点，了解学生的现状，符合这批学生所在这个时期内有特色的教学模式（包括教学手段、教学方法等多方面综合在一起）。因此，我觉得教学模式应该是灵活的、多样的，而不是拘泥于某种方法或某种手段，一成不变的。以下，是笔者个人对这节课的一点构想与尝试。

三、教学尝试

笔者首先把教学课时从1课时增加到2课时，主要是为了让学生有更多的时间去认识人类历史上是如何把数一步步地扩充下去的这种思想方法，让学生有种身临其境的感觉及参与造数的过程的欲望，培养学生的兴趣、激发学生的求知欲，以便更好地学习与掌握知识。

同时，我又把教材分解成以下几个部分，提炼出几个关键性问题：1.复数的导入要具有新颖性；2.复数形式的给出要具有易接受性；3.复数知识归类要与例题具有紧密性与针对性；4.后续工作布置要具有巩固性与延续性。

（一）复数的导入要具有新颖性

大家都知道“良好的开端是成功的一半”，所以一堂课的导入是至关重要的。

1.巧设悬念，设置问题

问题1：老师用巧妙的语言吸引学生，并在多媒体上演示出这样一个问题：请大家在实数集上，解x2+1=0这个方程。追问：如何来解决这个问题呢？

2.针对目标，简单类比

问题2：继续解方程：要求学生在有理数集上快速解x2=2这个方程。

3.联系历史，得到启示

联系历史，介绍数系的发展过程（展示多媒体）并再一次呈现我们的目标问题。

具体步骤：（1）从实际生产的需要：原始社会人类由于计数的需要，产生了自然数的概念，后来，进一步建立了自然数的概念；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。（2）从解方程的需要推进数的发展∶为了使方程x+5=3有解，就引进了负数；为了使方程3x=5有解，就要引进分数；为了使方程x2=2有解，就要引进无理数。那么为了使方程x2+1=0有解，应该引进什么数呢？注意数的扩充也需要遵循一些原则（从以上事例中暗示）。

4.指出原则，接近目标

把握数系扩充的原则及指出现在所面临的原则及问题。

5.动感演示，引出复数

结合多媒体把实数集如何扩充到一个新的集合的过程，形象而且有动感地一一演示出来。

把握数系扩充的原则及指出现在所的面临的原则及问题。

（二）复数形式的给出要具有易接受性

复数形式的给出恰当与否对于学生理解复数是相当重要的，所以复数形式的给出不但要自然，而且要使学生容易接受，容易理解。如果按照课本直接给出：如果a、b是实数，那么形如a+bi的数叫作复数。这样很难达到预期的目的。

在引入新数i后，方程x2+1=0在实数集无解的问题得以解决，但是这个实数集也相应地扩充了。给出问题：根据这种规定，数的范围扩充后，会出现什么形式的数呢？回答这个问题，就要从数系扩充的原则中一条实数可以和它进行四则运算，进行四则运算时原有加（乘）法运算律仍然成立。从这点上入手，并结合多媒体来给出复数形式。

第三步：把实数a与实数b和i相乘的结果相加，记作a+bi，如3+2i、。

再来分析以上这些数的各自特点：a+i可表示为a+1i；bi可表示为0+bi；实数a可表示为a+0i；i可表示为0+1i，发现这些数其实都可以用同一种表示，即为a+b（a、b为实数）形式；得到C=｛a+bi|a，b∈R｝复数集。它包括了所有的实数，符合了数系扩充的一般原则，圆满解决了问题。我们用这样一种方式来给出复数的形式，同时注意师生互动，可以得到事半功倍的效果。

（三）复数知识归类要与例题具有紧密性与针对性

在上完本堂内容后，我发现如果按照书本的顺序先把一些复数概念、分类等知识都讲给学生，而对知识并不做归类与例题的巩固，那么效果是相当差的。所以，笔者认为，对知识的归类与例题之间应具有紧密性与针对性。

1.正确理解复数的实部与虚部

例题：说出以下哪些是虚数？并指出它们的实部与虚部。

2.正确理解复数相等的概念

不能乱用复数相等的条件解题。用复数相等的条件要注意：①化为复数的标准形式z=a+bi（a，bR）；②实部、虚部中的字母为实数。结合以下例题让学生真正搞懂。

（1）（x-1）+2i=3+yi，（x+2y） -i=6x+（x-y）i；

（2）（x+2）+yi=0，（x+y+1）-（x-y+2）i=0.

3.正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。

根据上述原则，复数集的分类如下：

例1：实数m取什么值时，复数z=m+1+（m-1）i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

例2 ：实数m取什么值时，复数z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i=0是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

4.搞懂复数能否比较大小问题

教材最后指出：两个实可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小。如2+i和3-i；3和i之间无大小而言。

实际上，根据两个复数相等地定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么a+bi≠c+di。两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小。

（四）后续工作布置要具有巩固性与延续性

要真正学好数学，掌握数学的知识点，除了需要上课时认真听讲、认真跟着教师的节奏去接受新的知识，最重要的还在于学生自己课后重温课本重温知识点、并会归类知识，做到独立思考与独立完成习题。

课后布置以下任务：

1.重温课本。

2.归类知识。

（1）数系的扩充；（2）复数的概念；（3）复数相等及比较大小问题；（4）复数的分类。

3.常见的例题与解法。

4.完成一些相关的配套练习。

5.预习新知识。

四 、心得体会

《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”并且把过程性目标确定为“经历”“体验”和“探索”三个方面，要倡导积极主动、勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。

依照标准并结合职高学生的实际情况对教材的内容要加以适当的处理，特别是要使高度抽象、逻辑性强的数学转化为简单、形象的数学，而且对于一些学生很难、很混淆的知识要反复地进行教学、进行练习、进行归类、及时解决。

数学概念课的教学一直比较困惑，作为数学老师就应该在自己的教学中不断尝试，不断探索，不断寻找一种适合学生的教学。

［1］中等职业教育国家规划新教材人民教育出版社职业教育中心.数学（职业模块理工类）［M］北京：人民教育出版社，2010.

［2］人民教育出版社课程教材研究所.数学［M］北京：人民教育出版社2007.