约束独立成分分析模型及其算法综述

陈莹，王忠勇，王法松

约束独立成分分析模型及其算法综述

陈莹，王忠勇，王法松

约束独立成分分析（Constrained Independent Component Analysis，CICA）是在独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）基础上，发展起来的一类信号分离（提取）技术。CICA充分利用源信号的先验信息，从而有效地解决ICA应用中出现的不确定性、计算量大和内存空间浪费等问题。首先，简述了CICA的基本模型以及源信号较普遍的先验信息：非负性、稀疏性和时间结构；然后，重点介绍了基于每一种先验信息的CICA算法，并总结了CICA模型的应用；最后，展望CICA模型的未来改进方向。

约束独立成分分析；非负性；稀疏性；时间结构

0　引言

经过几十年的发展，独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）作为一种高阶统计技术，其理论框架和相关算法已经比较完善。在诸多解决 BSS问题的方法中，ICA已经成为主要方法之一。但是，现有的ICA算法大多数以估计全部的源信号为目的，而实际应用中往往只需要分离或提取其中一个或多个期望信号。比如，在生物医学信号处理中，我们只需要抽取一部分有用的独立成分（Independent Component，IC），利用ICA算法就会涉及不必要的计算，需要较大的内存，同时降低恢复信号的质量，并且在处理高维或者超高维的数据时，收敛速度非常慢，甚至不能收敛[1]。另外，ICA没有充分利用源信号的先验信息，所以存在解的不确定性。因此，发展一种灵活的方法用于提取所需要的源信号至关重要。

实际上，在很多实际应用中，所要获得的源信号并不是完全盲的，也就是说，我们往往拥有一些关于源信号和混合信道的先验信息，比如，源信号的统计特性。Lu和Rajapakse在 2005年首次提出了约束独立成分分析（Constrained Independent Component Analysis，CICA）模型的整体框架结构[2]，指出如何将约束条件引入传统ICA模型中。因此，从最优化角度来说，CICA是利用源信号的先验信息作为附加约束，最小化目标函数的一个约束优化问题。James等人将CICA应用在脑电信号(Electroencephalogram， EEG)信号分析中[3]，从而消除EEG信号的伪影；Lee等人用CICA提取出胎儿心电信号（Fetal Electrocardiogram,FECG）[4]；Ahmed等人将CICA成功用于人脸图像搜索[5]等。

传统的 ICA算法具有分离信号顺序、符号、幅度的不确定性的本质特征，如果没有额外的假设和限制，不确定性不能消除[6]。例如FastICA算法，它仅定义了IC的方向，而IC的幅度和分离矩阵的范数仍然是可变的[7]。而CICA算法通过充分利用先验信息可以减少 ICA的不确定性。除此之外，CICA算法还有很多优点，比如，能避开问题的局部极小，从而提高算法性能；可以提取出感兴趣的某一个或某些源信号，而无需估计源信号的数目和提取所有的源信号，使得计算量大大减少，同时节省了存储空间；CICA特别适合于源信号数较多而感兴趣信号较少的情况（如机械系统）[8]。

此外，文献[2]还给出了CICA的两种应用——欠定ICA（Underdetermined ICA）和带参考向量的 ICA（ICA with reference，ICA-R），并且于2006年，在CICA框架下推导出ICA-R算法[9]，对于每个期望信号来说，该先验信息是参考信号（模板信号），并且用约束条件来表示恢复的源信号与相对应的参考信号之间的相关程度。随着盲源分离问题的研究热度不断提高，国内学者对 ICA-R的也做了深入的研究。黄等人[10]对 ICA-R算法的梯度做了改进，使得提取精度大大提高，并比较不同的接近度函数（提取信号和参考信号之间）对算法的影响；林等人[11]提出了一种通过预白化和归一化权重向量的快速 ICA-R算法，降低了复杂度；李等人[12]采用接近度函数作为目标函数，避免了阈值选取不当造成的不收敛问题。

本文基于CICA的数学模型，主要考虑了时间结构、稀疏性和非负性3种约束条件下的CICA算法，并归纳了CICA在生物医学及通信领域中的应用，最后总结和分析了CICA的发展趋势。

1　CICA的数学模型

该模型是线性瞬态混合模型[13]，其中，是相互独立的n维源信号，A是线性无记忆的m×n维混合系统，n(t)是源信号瞬态线性混合时可能掺杂的噪声，输出m维的观测信号。

通常情况下，噪声n(t)是零均值单位方差的信号。为了理论推导的方便，模型简化为公式（2）：

其中，t为时间或样本索引，可以省略，因此上式可简化为公式（3）：

CICA的一般流程图[8]如图1所示：

图1　约束独立成分分析的一般流程图

CICA是通过观测信号与源信号的先验信息构成的参考信号r，寻找分离矩阵W，使得输出信号y可近似等于期望信号，即公式（4）：

CICA因此，较之于传统的ICA模型，CICA的关键问题之一是构造约束条件，一般来说，这些约束条件包括非负约束，时间结构和稀疏性；另外还有幅值信息约束[14]、循环平稳特性约束[15]、空域约束[15]和模型拟合约束[16]等，也有一些文献考虑联合约束的情况来解决 BSS问题，比如稀疏性和NMF（非负矩阵分解）、非负性约束和模型拟合约束[16]等。本文重点讨论应用比较广泛的非负性约束、稀疏性约束和时间结构约束。

1）非负性约束

信号处理的问题中许多数据都具有非负性的特点，比如物质成分含量和图像的像素强度值等，Barber和Buvat等人分别在1980年和1993年提出了非负性约束[17][18]。另外由Lee等人提出的非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factor，NMF），通过NMF所得的两个矩阵均为非负矩阵，同时实现非线性的降维功能[19]。

2）稀疏约束

在许多实际应用中，大部分源信号都是稀疏信号（如果信号的大部分样本点为零，少部分为非零，则称该信号是稀疏的）。即使信号并非稀疏的，也可以通过如下变换，使其具有较好的稀疏性[20]。

若X=AS中已知X，要求估计A和S，一般情况下S是稀疏信号，若S非稀疏，可以表示成一组基函数的组合形式，即公式（5）、（6）：

其中，Q是由基函数组成的l×k矩阵，其行向量均为1×k的基矢量，C是n×l的稀疏矩阵[19][20]。

3）时间结构约束

很多信号存在时间结构特征[21]，该特征表现为其自相关函数具有极大值。比如胎儿心电信号是周期信号，其自相关函数具有等间隔的极大值，从母体身上无损测得的胎儿心电信号是检测胎儿的健康状况有效标准之一。因此，探寻源信号的时间结构特征也是一个重要手段。

2　约束ICA的主要算法

本部分将首先讨论观测信号的预处理方法，然后针对三种不同的约束条件，分析其对应的CICA算法。

首先需要进行白化预处理，以降低计算量。假设x是零均值的随机信号，设白化矩阵V使得z=Vx的各个分量是正交的，则有公式（7）：

在实际应用中，随机变量x的协方差矩阵Cx=E{zzT}是Hermitian矩阵，所以其特征值是正数，并存在以下形式的特征值分解如公式（8）：

其中∑是由Cx特征值构成的对角矩阵，U是与∑中特征值对应的特征向量组成的正交矩阵。

一个典型的白化矩阵形式如公式（9）：

此时，z=Vx，则E{zzT}=VE{xxT}VT=I。

2.1基于非负性约束

若源信号s满足下面两个性质[16]，则源信号s是非负。

（1）s的所有元素都大于零：P(s＜0)=0，（是P(·)概率密度函数）；

（2）s分布范围广：｛∀ε＞0P(s＜0)=0｝。

添加非负性约束后，期望信号的提取问题转化为一个约束优化问题，即公式（10）：

其中，ρ是正的常数，G（·）是非二次函数，y'是y在空间域内未经过白化处理和中心化处理的数据，y'（i）≥0意味着向量y'中的每个元素都是非负的。

其中，wk是解混向量，x是未经过白化和中心化处理的观测向量。

更新解混向量规则如公式（12）：

归一化解混向量如公式（13）：

正交化解混向量如公式（14）：

如果利用修正函数得到独立成分yk'，则得公式（15）：

其中，y+'k是用修正函数求得的独立成分，x+是x的伪逆。然后，归一正交化解混向量w'k，用于下次迭代。该方法的主要意义在于：J(y+k)对wk'可二次微分，而对wk不可微。

修改后的优化算法的更新规则为公式（16）：

2.2基于稀疏性约束

若源信号s的维数大于观测向量x，即n>m，则此问题欠定，存在无穷多个解。利用稀疏性条件下的CICA算法，可以找到一个最稀疏的解（非零元素最少的解）。

解决上述问题的普遍使用方法为两阶段法——先估计A，再利用s的稀疏性约束来估计期望信号。

添加稀疏约束后，可以得到如下形式[22]如公式（17）：

所求的解即为源信号，但是l0范数（非零元素的个数）不是凸函数，因此很难优化。李远清[23]等人用l1范数恢复源信号，实验证明解是唯一的。因此上式可转化为公式（18）：

（1）估计混合矩阵A

一般可通过聚类方法估计混合矩阵A，该方法的核心问题是找到聚类中心，此聚类中心就是混合向量组成的子空间。源信号s中非零元素的个数称为显著成分。当源信号只有一个成分非零，称为有单显著成分，则x=aisi，观测数据在基向量方向上聚集。若有两个显著成分，则数据聚集在两个基向量组成的平面上。若有k(k＞2)个显著成分，则聚集在k维子空间或k超平面上，k记为显著成分的个数。

k=1情况下，聚类中心就是基向量，如Bofil等人对二个观测信号做聚类，通过最大化目标函数来估计源信号个数和混合矩阵[24]。对k=2情况下，数据聚集在平面上，谢等人对m=3,n=4情况下，提出了平面聚类方法，通过平面的法线扫描正半空间，找到聚类平面[25]。k>2情况下，s的稀疏性更弱。Naini等提出的部分k子空间聚类方法，可以有效地估计A与m[26]。

（2）估计源信号

另外，还有最短路径法。由于源信号是稀疏的，因此可将（2.12）转化为公式（19）：

其中，ai是矢量的方向，si是其长度，矢量长度之和最小的解就是所求的解。

2.3基于时间结构约束

希望通过把先验信息与CICA算法结合，使得优化过程提取出期望信号[1]，因此这里只讨论ICA-R。ICA-R的关键问题就是设计参考信号，Zhang等人，提出粗略提取的源信号，并将之作为参考信号+。

（1）假设期望信号s1是非高斯的周期信号（周期为τ0）如公式（20）、（21）：

其中lp（p=1,,P）是正整数，p是延迟时间的个数。

实际上该问题是一个标准的约束优化问题，其形式如公式（22）、（23）：

通过转化该目标函数并利用 EIG（Eigenvalues and eigenvectors）函数可以粗略求得源信号，再将该源信号作为参考信号，利用Lu和Rajapakse推导出的CICA算法即可提取出所需要的IC。

（2）多个期望信号是非高斯的周期信号（周期为τ0）

由于VA是正交矩阵，则E｛zzT｝=VAE｛ssT｝ATVT，其中E｛ssT｝=I，因此得公式（24）：

同样地有公式（26）：

（3）若源信号是时间相关的非周期信号，则源信号满足公式（27）、（28）：

其中τ1，τ2，τp是时间延迟，这种情况类似于第一种情况。

目标函数为公式（29）、（30）：

非负性、稀疏性和时间结构性是大多数信号所普遍具有的性质。CICA充分利用信号的先验信息，并将其转化成相应的约束条件嵌入到目标函数中，从而将 BSS问题转化为一个约束优化问题。CICA不但提高了ICA的性能、拓宽了算法的应用范围和减少了不必要的计算量和 ICA算法的不确定性，因此，本文重点讨论三种约束条件下的CICA算法。此外，CICA也可以根据对比函数的不同进行分类，应用较广泛的是基于负熵的CICA算法和基于峭度的CICA算法。基于负熵和峭度的CICA算法的对比函数分别为公式（31）、（32）：

基于负熵的CICA算法与基于峭度的CICA算法的目标函数从物理意义方面来说是一致的，但是从数学角度分析是有区别的。与基于负熵的CICA算法相比，基于峭度的CICA不涉及二阶导数的问题，但是由于利用了高阶累计量而使得算法的鲁棒性不好。

3　CICA的应用

CICA算法普遍适用于生物医学和通信等诸多领域中，提取信号的平均信噪比均达到了20dB以上。这些信号与噪声之间一般是相互独立的，并且大部分信号是非高斯的信号，这些性质正好符合CICA算法的基本假设，此外都时分微弱，用传统的方法很难提取出来，而CICA算法能够用来解决此类问题，因此CICA在生物医学和通信等诸多领域应用较广泛。

3.1生物医学信号处理中的应用

CICA广泛应用于生物医学信号处理中，比如FECG提取、EEG提取、事件相关电位（Event Related Potentials，ERPs）提取和静息态功能磁共振图像（fMRI，Functional Magnetic Resonance Imaging）等。

FECG能够无损伤地检查胎儿发育情况，临床应用价值较高。无损伤地提取FECG方法很多，如：Jafari提出利用偏度值改进 BSE技术[29]与 BSS和小波去噪算法相结合[30]等，但是均存在一些缺陷，而利用时间结构信息提取FECG[31]，不但对时间延迟的估计误差具有较高的鲁棒性而且由于不涉及迭代步长，复杂度降低。另外也可利用稀疏信息提取FECG[32]，算法实现简单，提取效果很好。

对于诱发脑电信号提取，如ERPs，反应了认知工程中大脑神经的电位变化，被广泛应用于认知神经科学和临床医学的研究中。基于CICA的ERPs提取主要利用了ERP信号的时间特征，例如在ERP的P300信号的提取中，利用P300信号的时间特征[33][34]，可显著提升P300的识别准确率。

EEG是反映大脑生理活动的电信号，作为诊断和治疗脑疾病的重要依据。目前提取EEG的方法有：基于ICA的改进算法[35[36]等。实际上，早在2001年就提出了空间约束独立成分分析[37]对EEG中的伪迹进行校正。此外，还有基于时间结构的CICA[38]提取脑电信号。

fMRI是大脑处于静息态时，由神经元活动引起的血液动力改变进行脑功能成像的。目前提出了很多处理fMRI 数据的方法，一般可分为：数据驱动的方法，如常用的ICA[39]、PCA（主成分分析方法）和TCA（时间簇分析方法）[40]等；模型驱动的方法，如常用的 SPM（统计参数映射）。基于CICA的 fMRI利用了幅值信息[14]和空间约束[41]等。fMRI的研究仍然处于初级阶段，存在一些备受争议的问题，如被试选择的局限性、临床应用的局限性。

3.2通信信号处理中的应用

在通信领域中也用到CICA算法，比如，在扩频通信中，传统的扩频通信是以牺牲有限频谱资源或传输容量为代价的，其抗干扰能力难以提高，而基于 ICA-R的直接序列扩频抗干扰方法，利用接收端拥有源信号的伪码序列、符号周期等先验信息，可成功实现了业务信道信号与干扰信号的有效分离[42]。

基于ICA-R 的单通道盲分离算法充分利用了导频序列这一先验知识，将 ICA-R 的盲提取能力和FastICA 对高斯噪声的不敏感性有效地结合起来，仅仅利用一路接收混合信号有效分离出源信号[42]。

对于通信目标信号的提取，可利用循环平稳特性，通过ICA-R算法实现目标信号的提取，相比于ICA 算法，该算法估计性能有了较大提高[15]；也可利用通信信号空域信息构造约束条件，通过 ICA-R算法实现目标信号提取，相比于ICA 算法以及传统的最优波束形成算法，该算法估计性能有了较大提高，并且对角度误差和阵列误差有更强的适应能力[15]。

此外，约束独立成分分析在语音信号处理[43]、轴承故障诊断[44]、图像处理[45]和车辆震动与噪声检测[46]等诸多领域也被广泛的应用。

4　总结

CICA充分利用源信号的先验信息作为约束条件，减少ICA的不确定性。除此之外，CICA算法可以提取出感兴趣的某一个或多个源信号而无需估计源信号的数目和提取所有的源信号，使得计算量大大减少，同时节省了存储空间等。本文简要描述了CICA模型以及可能的约束，主要讨论了基于非负性、稀疏性、时间结构约束的CICA算法，并简要介绍了 CICA在生物医学以及通信领域诸多的应用，体现了CICA模型的一般性。

针对CICA算法存在的局限性，做了初步的展望。

CICA模型的拓展，比如系统含有噪声、源信号之间是相关的、线性瞬态混合模型向非线性瞬态混合模型拓展。

（2）CICA算法的性能提高方法，比如，如何有效的利用源信号的先验信息，如何设置合适的阈值，以及与源信号接近度较高的参考信号设计；

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Overview of Model and Algorithms of Constrained Independent Component Analysis

Chen Ying,Wang Zhongyong ,Wang Fasong,
(School of Information Engineering,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

Constrained independent component analysis (CICA) is a source separation and extraction method，which is based on the independent component analysis (ICA). Making full use of the prior information about the source,CICA can be more efficient to resolve the problems emerged in the ICA applications,such as the uncertainty,large calculation,the waste of memory space,and so forth. Firstly,the basic model of CICA and the universal prior information of source,namely nonnegativity,sparsity and temporal structure,are described. Then CICA algorithm is analyzed in detail corresponding each prior information,and the applications of CICA are summarized. Finally,some remarks on the future research of CICA are presented.

Constrained Independent Component Analysis(CICA); Nonnegativity; Sparsity; Temporal Structure

TN 911.72

A

1007-757X(2016)03-0009-06

国家自然科学基金：（61401401）博士后特别资助基金（2015T80779，2014M561998）

陈 莹（1991-），女，郑州大学，信息工程学院，硕士研究生，研究方向：盲信号处理及其在通信信号处理中的研究，郑州，45001王忠勇（1965-），男，郑州大学，信息工程学院，教授，博士生导师，研究方向：通信信号处理、迭代信号处理技术、稀疏信号估计、嵌入式系统设计、神经网络与混沌控制，郑州，45001

王法松（1979-），男，郑州大学，信息工程学院，副教授，博士，研究方向：盲信号处理、稀疏表示，郑州，45001

（2015.10.13）