破解直线与圆中“定”的问题

安徽省太和中学　岳　峻　韩长峰

破解直线与圆中“定”的问题

安徽省太和中学岳峻韩长峰

直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中，同学们常常找不到解题的切入点。为此，我们需弄清此类问题的实质，切实掌握其解决方法。

一、定点问题

我们对于过定点的直线系并不陌生，如y=kx是过定点O（0，0）的直线系，y=kx+b（b是常数）是过定点（0，b）的直线系，y=k（x-a）+b（a、b是常数）是过定点（a，b）的直线系，等等，那么，如何才能快速地找到直线所过的定点呢？

例1平面直角坐标系xOy中，直线（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0恒过一定点P，而直线mx+y-6=0也过点P，则m=_______。

解法1直线（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0，

整理得k（4x+3y-12）+（x-2y-3）=0，

代入直线mx+y-6=0，得m=2。

所以直线（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0必过直线y=0与直线x=3的交点（3，0），显然P（3，0），代入直线mx+y-6=0，得m=2。

点评含有参数的直线Ax+By+C=0过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，把求定点问题转化为求两直线的交点问题。

变式1设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）。

答案B

例2已知圆C：x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k≠-1），则圆C过定点 _______。

解法1圆C的方程可变形为（x2+y2+10y+20）+k（2x+4y+10）=0，所以圆C必过x2+y2+10y+20=0与2x+4y+10=0的交点。

答案为（1，-3）。

圆C所过的定点必是曲线x2+y2+10y+20=0与x2+y2-5x-5=0的交点。

点评解决直线与圆的定点问题，要善于从运动中寻求不变的特性，挖掘出曲线方程与哪些参数取值无关。常见的方法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，取特殊值求出定点，再证这个定点与参数取值无关。

变式2若圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离最大，则a=（）。

答案A

二、定直线问题

定直线往往指的是动点所在的定直线、动圆的定切线。这类问题参数多，几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立，应用待定系数法来处理。

例3在平面直角坐标系xOy中，已知半径为r的⊙M的圆心M在直线y=2x+3上，且在y轴右侧，⊙M在y轴上的弦长为。

（1）求⊙M的方程。

（2）当r变化时，是否存在定直线l与⊙M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由。

解析 （1）设M（a，2a+3）（a＞0），则⊙M的方程为（x-a）2+（y-2a-3）2=r2，

（2）假设存在定直线l，当r变化时与⊙M均相切，若定直线l的斜率不存在，显然不合题意。

所以存在两条定直线y=3和4x+3y-9=0与动圆⊙M相切。

点评本题中动圆的圆心与半径都在变化，其几何特征不明显，故直接论证dM-l=r恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立问题时，必须紧扣等式的成立与r的取值无关这一条件。

变式3已知圆C1：（x+2）2+（y-3m-2）2=4m2（m≠0），直线l：y=x+m+2，圆C1关于直线l对称的圆为C2。

（1）证明：当m变化时，C2的圆心在一条定直线上。

（2）求C2所表示的一系列圆的公切线方程。

答案 （1）证明略，圆心所在的直线为x-2y=0（2）3x+4y=0或x=0

三、定圆问题

动直线与定圆相切，则d弦心距=r恒成立，或者联立方程组消元后得到的一元二次方程Δ=0恒成立，再按参数整理，得到方程组，最后解方程组求出圆心与半径。

整理得（t2-1）a-4t2=r（t2+1），或4t2-（t2-1）a=r（t2+1），

所以（a-r-4）t2-a-r=0，或（a+r-4）t2-a+r=0恒成立，

因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的圆M相切，圆M的方程为（x-2）2+y2=4。

点评解答题解题步骤是：设圆的方程→化简d弦心距=r或Δ=0恒成立→变量分离→求圆心与半径→写出定圆方程。如果是客观题，则用特例法比较方便。

变式4已知直线l：2mx+（1-m2）y-4m-4=0总与一个定圆相切，则该定圆方程为_______。

答案 （x-2）2+（y-2）2=4

综上，破解直线与圆中的“定”，关键是抓住“定”中蕴含着的与参数取值无关的恒成立思想，另外也可以取特殊的参数值，巧妙地避开参数的干扰。