对一道高考解析几何试题的探究

邱丽玉

福建省莆田第五中学　(351100)



对一道高考解析几何试题的探究

邱丽玉

福建省莆田第五中学(351100)

2015年全国高考四川卷(理)题20是：

图1

这道试题内涵丰富，值得探究，不应解完即止，可作为探究性学习的素材，引导学生深入探究，充分挖掘其丰富的内涵和潜能.

一、纵向探究：由特殊到一般的探究

由以上探究过程易知，当点P的纵坐标n满足-b

二、横向探究：由椭圆到双曲线、抛物线的探究

类似地，容易得到关于双曲线的类似性质：

(1)当k=0时，分别求C在点A和B处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点Q，使得当k变动时，总有∠OQA=∠OQB？说明理由.

三、逆向探究：由原命题到逆命题的探究

问题3结论1.1、2.1、3.1的逆命题是否成立？

易知P为定点(0,n)(0<|n|

类似地，容易得到结论2.1、3.1的逆命题：

以上引导学生从纵向、横向、逆向三个方面对上述高考试题进行探究，把隐藏在题目背后的问题本质进行挖掘与拓展，得到了一系列对学生来说是全新的结论.正如著名数学教育家G·波利亚所倡导的：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”.通过探究，学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，以及创造性思维能力得到了锻炼和提高，这正是素质教育所要追求的.