2016年四川高考数学理科21题的解析

四川省内江师范学院数学与信息科学学院　(641100)　刘成龙　余小芬



2016年四川高考数学理科21题的解析

四川省内江师范学院数学与信息科学学院(641100)刘成龙余小芬

试题设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(Ⅰ) 略；

上述题目是2016年全国高考数学四川卷理科第21题(14分)，属于解答题中的压轴题．笔者认为该题很好的呈现了命题者的三大意图：能力立意、命题回归、有效区分.是一道优秀的高考试题．本文将从不同的视角给出试题第(Ⅱ)问的解析，希望对读者有所帮助．

方法一：分离参数法

目前我国的肉牛养殖行业得到迅速的发展，但是在进行肉牛饲养时，其饲料利用率还会受到遗传、年龄、日粮以及饲养管理水平等多种因素的影响，这就要求相关养殖人员能加强对该方面的研究力度，以不断优化现有的肉牛养殖模式，获得良好的养殖效益。

方法二：单调性+分类讨论

(Ⅱ)由方法1可知：当x>1时，g(x)>0.

(1)当a≤0，x>1时，f(x)=a(x2-1)-lnx<0，故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时，必有a>0.

方法三：函数极限的保号性

方法四：拉格朗日中值定理

方法五：主元法

点评：解答过程中通过变更主元、构造了关于a的一次函数，再利用g(a)单增，通过放缩消去a，把问题转化为：已知x>1，证明m(x)>0．

方法六：辅助切线法

点评：辅助切线法的基本程序为：找两个函数的公切线，并且说明两函数图像分别在公切线的上下方．辅助切线法的本质在于构建适当的放缩函数：即欲证f(x)>g(x)，可证f(x)>h(x)且h(x)>g(x)，于是f(x)>g(x)．证明中先找出m(x)、n(x)的公共切线y=-x+2，同时可以验证m(x)>-x+2，-x+2>n(x)，故得到m(x)>n(x)．

文中从不同的视角给出了6种解答，希望引起读者们的共鸣！