让学生“发现”和“经历”

施乐旺

数学家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”可见，课堂教学其实就是一次发现之旅。而要真正使学生发现知识、收获智慧，教师应让学生去实实在在地经历探究过程。或许我们可以在特级教师吴正宪老师执教的“商不变的性质”一课中获得启发。

【片段一】说故事

师：花果山风景秀丽，气候宜人，山里住着一群猴子。有一天，猴王给小猴子分桃子。猴王说：“给你6个桃子，平均分给你们3只小猴子。”小猴子听了，连连摇头说：“太少了，太少了。”猴王又说：“好吧，给你60个桃子，平均分给你们30只小猴，怎么样？”小猴子挠挠头皮，得寸进尺地试探着说：“大王，再多给点行不行啊？”猴王一拍桌子，显示出慷慨大度的样子：“那好吧，给你600个桃子，平均分给你们300只小猴，你总该满意了吧？”小猴子开心地笑了，猴王也笑了。谁是聪明的一笑？为什么呢？

生1：猴王才是聪明的一笑。

生2：因为猴王拿出6个桃子平均分给3只小猴子，6÷3=2，每只小猴分得2个桃子；后来60个桃子平均分给30只小猴，60÷30=2，每只小猴还是分得2个桃子；600个桃子平均分给300只小猴，600÷300=2，每只小猴也还是只分得2个桃子。

生3：猴王太狡猾了，它给的桃子虽然增加了，但分的猴子数量也增加了。

（教师即时板书算式：6÷3=2，60÷30=2，600÷300=2。）

师：哈哈，原来小猴子被猴王忽悠了。你们发现什么没有变？

生4：每只小猴分到的桃子数量没变。

生5：商没变。

师：商为什么不变？

生6：因为被除数变大了，除数也变大了。

师：有点道理。那要想研究商为什么不变，光这一组算式够不够？老师给你们提供一幅图，你们看懂了什么？

生7：有2、4、6、8支，10、20、30、40元。

师：能看着它说个故事吗？

生8：小明去买钢笔，买了2支钢笔花了10元钱，买4支只要20元……

生9：一位阿姨去买牙膏，老板说：2支牙膏10元钱，4支牙膏20元……

【赏析】这个教学环节中吴老师导入时讲了“猴王分桃”的故事，不仅调节了师生初次见面的紧张气氛，更让学生发现了“平均分”的知识和“商不变”的问题。这个过程需要学生收集故事中的信息，才能发现猴王的秘密，这个“发现”是学生借助已有知识经验进行数据分析的产物。其次，引导学生观察三组算式，发现“商不变”而产生“为什么”的追问，从而拉开探究新知的序幕。

商不变的性质渗透的是函数思想，但如果由教师直接告诉学生或提出“函数思想”这个概念，对于小学生来说是晦涩难懂的。《数学课程标准》的定位是“渗透”，那么该如何渗透呢？吴老师给出了统计图，以学生为主体说故事。有的人可能会觉得这时让学生编故事只是在重复“猴王分桃”，其实不然。第一层面，在脱离具体情境学生看到这幅图，感知是模糊的、抽象的，课堂上就有学生说“只看到了2、4、6、8支，10、20、30、40元”，所以要将这些数字“添枝加叶”，学生才能生动地理解知识，而现在这个过程由学生自己完成，学生经历了由抽象到具体的过程，这是学生应用数学的表现。第二层面，学生在一定的程度上是模仿老师在编故事，但模仿只是学习的开始，因为在模仿的过程中，学生要消化理解故事的原型，结合自身的生活体验，进行重组创造，这一经历有助于学生学习经验的形成和积累，同样重要且不可或缺。第三层面，把表示“数量”和“总价”关系的点连成线，让学生继续联想时，结合手势等肢体语言表示出“数量增加，总价也跟着增加”这一正比例函数变化，正是学生对函数思想的体验和感悟。

【片段二】写发现

（在经过多组算式的研究，学生触摸到了“商不变的性质”，但不知道该怎么描述，吴老师放手让学生自己去总结。）

生1：我发现一生也写不完。

师：我们1号同学说了句大实话，这么多的算式，他一生都写不完。所以我们得找个方法概括一下，来看看2号同学说的。

生2：被除数和除数都乘10，商不变。

师：1号同学你别走啊，来和2号同学比较一下。你们更欣赏哪个？

生：喜欢2号同学的。因为1号同学什么知识点都没说，2号同学写出了刚才除法算式的规律。

师：是啊。1号同学是站在窗户外面，叹息“我一生也写不完”，2号同学却打开了一扇窗，把其中的“风景”写了出来。再来看看3号同学总结的。

生3：被除数和除数同时乘以一个相同的数，商不变。

师：2号同学此时此刻想说什么？

生2：我总结得有点小了，他总结得比较大。

师：（让学生比较、评价2号同学和3号同学的表述后）看来1号同学得进去，2号同学“帽子”得大点。再来看看4号同学的总结。

生4：x÷y=z

bx÷by=z

cx÷cy=z

师：谁来评价一下4号同学的总结？

生：她用最少的字讲出了最多的道理。

师：（在学生理解字母表达式后）没错，3号帽子是合适的，用的是一长串的文字，4号同学用几个简单的字母就表达清楚了，更简洁明了。

【赏析】这节课的重点就是让学生通过举例、归纳、推理，总结表征出“商不变的性质”。为了让学生清楚地发现这一处美妙的“风景”，吴老师并不直接指明，而是大胆放手，充分尊重学生的体验，充分信任学生的能力，让学生自己去摸索。就算发现了“最佳总结”（3号同学和4号同学），教师也没有去一锤定音。而是让学生自己去比较，去争辩，去评价，随着学生的自主交流和理性选择的推进，终于发现“一生也写不完”的可以用文字或字母来表述。这一过程不但使学生达成了对知识的理解，更展现了学生真实的学习过程和学习状态，学生真切地经历着从模糊感知到抽象概括质的飞跃和成长。

这个教学活动也体现了《数学课程标准》所指出的教师不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。当前，许多专家和教师都在思考核心素养的内涵和培养，这节课探究知识过程中学生所经历的敢于尝试，思考自由，学会推理概括，学会理性辨析，学会接纳欣赏，必是教学素养的组成部分，这种数学活动经验的累积和求知态度的熏陶将是学生一笔非常宝贵的财富。

【片段三】回头看

师：同学们，回头看看，我们是怎么获得这个规律的？

生：我们从猴王分桃的故事，发现了商不变的性质，然后通过举例，写出了许多类似的除法算式进行验证，一步步地从“一生也写不完”到总结出“被除数和除数同时乘以相同的数，商不变”的性质，根据这个商不变的性质我们又可以讲出许多“猴王分桃”之类的数学故事。

【赏析】回首来路，总结经验和方法，这好像是教师自己在对课堂教学进行反思时才出现的工作。吴老师却领着学生们跳出知识，回首这节课一路的学习历程，去发现学习规律，去总结研究方法。我们一直强调教师要反思课堂教学，殊不知，学生对知识的梳理和反思能力也是需要的，义务教育阶段的数学课程的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。吴老师的“回头看”就是让学生经历并发现梳理知识、总结经验和反思学习的方法，培养学生自主学习的能力，从而实现“教是为了不教”。

【片段四】留疑问

师：同学们，这节课我们已经发现了“被除数和除数同时乘相同的数，商不变”，你们还有问题吗？

生1：那被除数和除数同时除以相同的数，商是不是也不变？

生2：被除数和除数同时加相同的数，商是不是也不变？

……

师：大家可以带着这些问题，用今天课堂上学到的方法回去琢磨琢磨。

【赏析】因为时间的关系，课堂上教师和学生的交往学习的时间是有限的，如何延展课堂的长度？最常见的方法是留下问题。实际上很多学生只会停留在教师提出的问题上，而没有在课后真正展开探究，原因可能是这两方面：一不是自己提出来的问题，有好奇心但责任感不强；二是想研究却不知道方法，不知从何入手。这节课的课后问题是学生自己发现、自主提出的，他们就会有一探究竟的兴趣，而且研究方法完全可以从探究“被除数和除数同时乘相同的数”的经历中迁移，给课堂的继续学习留下无限可能。

（作者单位：江西省上饶市广丰区商城小学）

责任编辑 周瑜芽

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