进位制教学中的一次尝试

吕国

进位制教学中的一次尝试

在一次“进位制”的课堂教学中，我布置了这样一道填空题：1111（2）=___（5）。

这道题并不难，一般做法是：先把1111（2）化成十进制数：1111（2）=23+22+21+1=15，再用“除5取余法”把15化成五进制数30（5）。做到这里，我突然想到当我们把1111（2）化成十进制数时还有一种算法：1111（2）=1111（2）+1-1=10000（2）-1=24-1=15。由此推广为：11…1（2）=11…1（2）+1-1=10…0（2）-1=2n-1，11…1（2）=2n-1+2n-2+…+1，所以1+2+…+2n-1=2n-1。

此时，如果再往前走一步，我们就可以把k进制中“逢k进1”的进位法则与等比数列求和联系起来。

例如，由

22…2（3）=22…2（3）+1-1=10…0（3）-1=3n-1，

22…2（3）=2×11…1（3）=2（3n-1+3n-2+…+1），

得2（1+3+…+3n-1）=3n-1，即

至此，我们有以下一般化的推导（因为目前只有正整数进位制，所以必须设q＞1，q∈，p=q-1）。因此，

从而对于一个首项为a1，公比为q（q≠1）的等比数列来说，有：n

当然，发现这一关系之后，我并没有在课堂上立即完成最后的推导，而是把它留给学生作为课后探究作业。题目是：用进位制原理推导等比数列求和公式。两天以后，有3个同学经过合作探究找到了这种方法。

最后值得说明的是，从方法论的角度来看，用这一方法求等比数列前n项和比错位相减法更繁杂，而且从进位制的角度来看，似乎只有当q＞1且q∈时才能用这一方法。但是这一方法很有创意，它找到了十进制数与非十进制数的某种联系。也许正是这种联系为我们以后解决其他问题增添了一种新的思维方式。更重要的是，尽管这只是雕虫小技，但是在日常教学中我们就是要善于捕捉这些思维的火花，为拓展学生的思路，培养创新型人才提供一点帮助。也许这就是基础教育阶段数学教育的核心价值。

（作者单位：株洲市四中）