小世界网络重联概率对螺旋波穿透缺陷的影响

王林娜,唐文忠,王衍洋,张明明

(北京航空航天大学 a.计算机学院;b.航空科学与工程学院,北京 100191)



小世界网络重联概率对螺旋波穿透缺陷的影响

王林娜a,唐文忠a,王衍洋b,张明明a

(北京航空航天大学 a.计算机学院;b.航空科学与工程学院,北京 100191)

基于改进的Greenberg-Hastings元胞自动机模型，构建了复杂网络模型，研究了两种经典小世界网络算法下的重联概率p对螺旋波穿透缺陷能力的影响。实验发现，当p小于等于某个定值pc时，随着重联概率p的增大，螺旋波穿透缺陷的能力显著增强；当p大于pc时，螺旋波穿透缺陷的能力不再随着p的增大而增强。

小世界网络；重联概率；螺旋波；神经网络；元胞自动机

0　引言

螺旋波是系统在远离平衡态时形成的一类时空斑图，在物理、化学和生物系统中都观察到了它的存在[1-7]。螺旋波的存在有积极作用也有消极作用，研究表明，大脑皮层的螺旋波可能对神经元之间的相互通信有积极作用[8-9]；心肌组织中的螺旋波的失稳将引起心颤，危及生物体的生命[5]。所以，螺旋波的动力学行为引起了研究人员的关注，并且在螺旋波详细动力学行为和鲁棒性方面的研究取得了很多成果[10-14]。研究表明，大脑皮层神经元的空间连接，不是规则网络也不是完全的随机网络，而是更接近于小世界网络结构[15-18]。针对网络的小世界特性，甘正宁等研究了螺旋波失稳与重联概率p之间的关系[19]，马军等研究了小世界连接网络在加性白噪声下螺旋波演化[20]。对于大脑皮层这个特殊的网络，其表面是非均匀的，也可能是有缺陷的，从该角度出发，宋宣玉等研究了不同缺陷对周期螺旋波的影响[21]，另外对缺陷对螺旋波动力学的影响也已经有了一定的研究成果[22-24]。但尚未有人研究小世界网络和网络缺陷对螺旋波动力学的联合影响。本文基于改进的Greenberg-Hastings(简记为G-H)元胞自动机模型对小世界网络下螺旋波穿透缺陷做了研究。其结论可能为诊断大脑皮层的疾病提供相关的理论依据。

1　模型和算法

G-H元胞自动机模型是由Greenberg和Hastings在1978年提出的模拟激发介质的简单模型，该模型算法简单、计算速度快。研究人员利用该模型进行研究取得了很多研究成果，如田昌海等利用此模型研究了有向小世界网络中重联概率p对螺旋波动力学的影响[24]，戴瑜利用此模型探讨了激发介质激发性降低的原因[25]。

在二维G-H模型中，元胞均匀分布在L×L的正方形网格上，元胞间距为1，邻域半径为R，状态总数为n，其中状态分为3类：静息态、激发态和不应态，网络边界采用无流边界条件。设位于格位r的元胞在t时刻的状态为s(r,t)，当s(r,t)=0时为静息态；当s(r,t)={1…E}时为激发态；当s(r,t)={E+1…n}时为不应态。演化规则如下：

1)如果s(r,t)=0，除非与之相连的K个元胞处于激发态，s(r,t)=1，否则s(r,t)=0。这里的K能够反映激发介质的可激发性。

2)如果s(r,t)=1或者s(r,t)={2,3,4,5}，s(r,t+1)=(s(r,t)+1)modn。

本文采用两种构造小世界网络的算法，即WS小世界模型构造算法和NW小世界模型构造算法。其中WS模型通过对规则网络的连接进行随机重连而得到，经过该算法调整之后的网络平均度数不变；NW模型则通过对规则网络进行随机加边得到，调整后的网络平均度数增加。

WS小世界模型构造算法：1)从规则网络开始：网络含有N个节点，每个节点都与它最相邻的R个节点连接，要求N≫R≫ln(N)≫1。2)随机化重连：以概率p随机重连每条边，即边的一个端点不变，另一个端点为网络中随机选择的一个节点。任意两个不同节点间至多只能有一条边，任意一个节点不能与自身相连。

NW小世界模型构造算法：1)从规则网络开始：网络含有N个节点，每个节点都与它最相邻的R个节点连接，要求N≫R≫ln(N)≫1。2)随机化重连：以概率p随机选择网络中两个节点，如果这两个节点间无边，则以这两个节点为端点加一条边。任意两个不同节点间至多只能有一条边，任意一个节点不能与自身相连。

当p足够小和N足够大时，NW小世界模型等同于WS小世界模型。p=0时，网络为规则网络；p=1时网络为完全随机网络。通过调节p的值可以实现从规则网络到完全随机网络的过渡。

本文中模型参数选取为K=3，R=4，L=500，E=1，n=5，N=250 000。其中N=L×L，表示网络的规模，不会影响实验结果；K=3表示当与某个处于静息态的节点连接的3个节点处于激发态时，该节点由静息态演化为激发态，R=4表示初始规则网络中每个节点与其邻域内4个节点相连，能一定程度上反映网络的连通性；E=1表示当节点状态s(r,t)=1时该节点处于激发态，n=5表示，节点一共有5个状态，当节点状态s(r,t)=0时该节点处于静息态，节点状态s(r,t)=1时处于激发态，节点状态s(r,t)={2,3,4,5}时处于不应态。K和R的取值会影响实验结果，在p为定值时，K越小R越大网络的连通性和可激发性越大，因为缺陷区域边缘及边缘外的神经元会以更大的概率与非缺陷区域的神经元连接，故缺陷区域对波的传播影响也越低。在本文中选择K=3和R=4以使得展示结果比较明显。图1展示了网络从时刻t1到时刻t1+1的演化，图中空心节点表示该节点状态，黑色表示节点状态，灰色表示节点状态。

2　实验结果分析

网络缺陷区域定义为F(xw,xs,yh,ys)，其中xw指缺陷在x轴方向的跨度，xs指缺陷在x轴方向的开始坐标，yh指缺陷在y轴方向的跨度，ys指缺陷在y轴方向的开始坐标。对网络施加缺陷的方法是在任意时刻都强制将网络缺陷区域中节点的状态置为静息态。对网络螺旋波的演化时间定义为Te。

在本文的数值模拟中，螺旋波对于网络缺陷的穿透能力以其穿透缺陷之后波纹形变程度来衡量，穿透之后形变大说明缺陷区域对于螺旋波的影响大，则认为该情况下螺旋波的穿透能力弱，反之则认为穿透缺陷能力强。首先在相同缺陷区域下，对网络按照不同的重联概率p进行小世界变换，观察螺旋波穿透缺陷的情况。然后，在重联概率p给定的情况下，增大yh，观察螺旋波穿透缺陷的情况。本文首先对根据WS算法所构造的网络进行了螺旋波对于缺陷的穿透能力的数值模拟分析，之后又对根据NW算法所构造的网络进行了同样的模拟分析。

2.1WS小世界模型构造算法下重联概率p对螺旋波穿透缺陷的影响

首先生成规则的二维神经网络，利用截断行波的方式在网络中诱导出稳定的螺旋波；当Te=10时螺旋波扩散到全网络中，此时根据WS算法以重联概率p对网络进行小世界变换；当Te=20时，经过小世界重连之后的网络中螺旋波已经重新进入稳定状态，此时对网络施加缺陷；当Te=40时，观察螺旋波的波纹在穿透缺陷前后的变化。其中缺陷：F(xw,xs,yh,ys)=(200,150,40,180)对应的不同重联概率p的实验模拟结果如图1所示，图中分别包括p=0，p=0.05，p=0.1，p=0.15，p=0.2，p=0.25，p=0.3，p=0.4，p=0.5，Te=40时螺旋波穿透缺陷后的状态图。

图2的数值模拟结果表明，对于规则的神经网络，螺旋波穿透缺陷后形变很大，其波纹会发生较大扭曲；当对网络进行p=0.05的小世界变换时，螺旋波穿透缺陷后，形变较大；随着小世界概率p的增大，螺旋波穿透缺陷后形变减小；当p≥0.3时，随着小世界概率p的增大，螺旋波穿透缺陷后其波纹没有发生明显变化。这表明小世界重联能够显著增强螺旋波对于缺陷的穿透能力。

2.2NW小世界模型构造算法下重联概率p对螺旋波穿透缺陷的影响

首先生成规则网络，然后对该规则网络按照NW算法进行小世界变换，待网络小世界调整完成后，施加缺陷F(xw,xs,yh,ys)=(200,150,40,180)。此时，不同的重联概率p对应的螺旋波状态如图3所示，图中分别包括p=0，p=0.05，p=0.1，p=0.15，p=0.2，p=0.25，p=0.3，p=0.4，p=0.5，Te=40时螺旋波穿透缺陷后的状态。

图3的数值模拟结果表明，NW小世界模型下小世界概率p对螺旋波穿越缺陷能力的影响与WS小世界模型下小世界概率p对螺旋波穿越缺陷能力的影响是相似的。当p≤0.25时，随着小世界变换概率p的增大，螺旋波穿透缺陷后形变变小。当p>0.25时，螺旋波穿透缺陷后形变大小不再随着p的增大而明显变化。

本文计算了缺陷区域影响到的区域中节点的激发比率，其中缺陷区域影响到的区域定义为D:

D={(x,y)|(x∈(125,150)∧y∈(170,275))∨(x∈(150,350)∧y∈(170,180))

∨(x∈(350,375)∧y∈(170,275))∨(x∈(150,350)∧y∈(220,275))}

激发比率是处于激发态的节点数占总节点数的比例。随着p的增大该区域的激发比率越接近网络平均激发比率，如图4，横坐标表示重联概率p，纵坐标表示D中节点的激发比率。图4a为对网络进行WS小世界变换后，区域D中节点的激发比率随p增大的变化，图4b为对网络进行NW小世界变换，区域D中节点的激发比率随p增大的变化。图4所示，随着p的增大，区域D内节点的激发比率逐渐趋于网络平均激发比率；对网络进行WS小世界变换后，当p约为0.3时，区域D内节点的激发比率为网络平均激发比率；对网络进行NW小世界变换，当p约为0.25时，区域D内节点的激发比率为网络平均激发比率，与观察到的结果相同。

基于两种小世界网络模型算法对网络进行小世界变换，发现两种算法下小世界变换概率对螺旋波穿越缺陷能力的影响是相似的。对网络进行WS小世界变换，当重联概率p>0.3时，螺旋波穿越缺陷的能力不再随着p的增大而增大；对网络进行NW小世界变换，当重联概率p>0.25时，螺旋波穿越缺陷的能力不再随着p的增大而增强。可知两个算法所构造的小世界网络对螺旋波穿透缺陷的能力不再影响的临界值是不同的，分析其原因如下：WS小世界变换算法采取的是随机重连的方式进行网络变换，这种做法只是使网络中的随机长程连接数变多，但网络的平均度数不变，即网络的平均连通性不变。NW小世界变换算法则采用增连的方式进行网络变换，变换之后的网络平均度数增大，因此其平均连通性更强。所以当网络初始平均度数相同时，NW小世界变换模型下，网络中随机长程连接的数目相对较多。这些随机长程连接使得与缺陷区域的神经元相关联的神经元以更大的可能性分散在非缺陷区域，从而使得螺旋波传播至缺陷区域时所受的实际影响较小，而这种关联在空间上越分散，缺陷区域对螺旋波的实际影响就会越小。重联概率p本质上即通过改变这种关联的分散程度来影响螺旋波对于缺陷的穿透能力。

3　结论

本文基于G-H元胞自动机模型，构建了具有小世界特性的神经网络，通过数值模拟分别研究了WS和NW两种小世界生成算法中的重联概率p对螺旋波穿透缺陷能力的影响。研究结果表明，当p小于等于某个值pc时，随着重联概率p的增大螺旋波穿透缺陷的能力增强；当p大于pc时，其穿透缺陷的能力不再受p增大的影响。该研究结果可能为研究脑皮层电信号变化模式提供理论依据。

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(责任编辑李进)

Reconnection Probability of Small World Networks Affects the Ability of Spiral Wave to Go Through Defect

WANG Linnaa, TANG Wenzhonga, WANG Yanyangb, ZHANG Mingminga

(a.School of Computer Science, Beihang University, Beijing 100191, China;b.School of Aeronautical Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

Based on improved Greenberg-Hastings cellular automaton model, this paper built a complex neural network model and studied the effects of reconnection probabilitypon the ability of penetrating defect of spiral wave under two kinds of classical small world network. It shows that whenpis less than or equals a fixed valuepc, the ability of penetrating defect of spiral waves will markedly enhance with the increase of reconnection probabilityp; Whenpis greater than thepc, the ability of penetrating defect of spiral waves will not enhance with the increase ofp.

small world network； reconnection probability； spiral wave； nral ntwork； cellular atomat

1672-3813(2016)03-0076-05;DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.03.010

2014-04-25；

2015-12-21

王林娜(1990-)，女，河南鹤壁人，硕士研究生，主要研究方向为复杂网络。

TP399

A