由一道最值问题引发的思考

赵永

[摘 要] 数学思想方法是解决数学问题的指导思想和重要策略，是学生数学素养、数学学习的灵魂体现. 数学思想方法更是伴随在数学知识学习、数学思维活动之中的. 将数学思想方法、数学基本知识转化为学生的数学学习的能力是数学素养的核心体现.

[关键词] 模型；思维品质；转化；一题多变

我们来看一道和最值有关的题目：

已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

这道题的得分率很低，从题目的结构来看虽然感觉似曾相识，入口很宽，但又和平时训练题型有所差异. 笔者对做错的学生做了调查，很多学生对于题目中的条件根本不知道如何转化，还有一部分学生认为计算太烦琐，运算量大，导致直接放弃. 是什么原因导致学生在做题时会出现思维偏差呢？对于这类题型学生如何突破？实际上每次遇到这样类似的题型，学生总是摸不着头脑，找不到解决问题的方法. 那么如何能尽快地帮助学生完成对新知识的顺应？能够帮助学生通过联想、类比，找到解决问题的突破口呢？这就需要教师在平时教学中要多引导学生去探究，抓住题目的背景和本质，并能够做些适当变形，这样既能培养学生探索新知的兴趣，又能更好地培养他们的思维品质.

与已知题型相似之认知结构的偏差

1. 问题的回顾

在基本不等式这一节教学中，教师会设计以下题型：

（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y=1，求+的最小值；

（2）已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

我们所要求的目标“+的最小值”与下列题型的结构极其相似.

对于上面这道题目的思维起点最直接的就是利用基本不等式中“1”的代换，以（2）为例由已知条件可得=1，则+=+××（2x+y）=·3++≥，“=”当且仅当=时取得，即x=，y=3（-1）.

2. 题目的分析

由于题型极其相似，学生思维会出现偏差，具体如下：

+=+××（2x+y）=2+++x，感觉式子越来越复杂了，这也是很多学生对于这道题目做不出来的主要原因.

重视多元表征的训练

1. 抓住本质、适当变式

基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，≥（a≥0，b≥0），实际上运用基本不等式的实质就是“和”与“积”的矛盾关系，将“和”与“积”进行合理有效的转化. 基本不等式是高中内容中一个非常重要的知识点，在高考中是C级要求，题型具有灵活性、技巧性，也是学生学习的一个难点之一.对于用基本不等式求最值的解法是非常多的，在这里笔者列举几个比较典型的模型：

（1）a+≥2（a>0）；

（2）+≥2（ab>0）；

（3）a2+b2≥（a∈R，b∈R）.

重视模型、合理转化

形如+≥2（ab>0）或可转化为+≥2（ab>0）结构的题型的解法如下：

（1）利用“1”的代换转化为“+≥2（ab>0）”结构.

例1 （如引例）已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

解：+=+=++≥，“=”当且仅当=，

即“x=6-3，y=6-9”时取得.

评析：利用基本不等式中“1”的代换时，是直接对于所求的式子乘以“1”吗？这显然是学生死记硬背带来的后果，实际上可以利用“1”的代换转化为我们所要的结构模型，注意到目标式子“+”中已经有了“”，那么我们只要对“”进行变形转化为“”型即可，那么正好可以转化为+≥2（ab>0），从而可以应用基本不等式求出最值，而实际操作过程中，学生往往心中确实有“1”的代换的概念，但根本不知道代换的是什么，盲目地进行代换.

（2）利用换元法转化为“+≥2（ab>0）”结构.

例2 已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

解：令m=2x+1，n=y+2，则m>1，n>2，m+n=6，+=+=+×（m+n）=2++≥，等号当且仅当m=n时取得.

评析：注意到本题的条件是比较简单的，而目标式子是较复杂的，分母分别为“2x+1”和“y+2”，它们的“和”正好与已知式子有关，我们可以通过换元法将结构变得简单，进而容易转化为我们所熟知的结构模型.

例3 已知实数x，y满足x>y>0，且x+y≤2，则+的最小值为______.

解：设m=x+3y，n=x-y，那么题目等价转化为已知0

评析：本道题有2个难点，第一对于所给条件的合理转化，第二对于目标的转化. 对于题目中条件的不等关系如何处理呢？我们可以当成等式关系加以处理，以前对于等式关系的处理方式同样适用于这种不等关系式，所以我们对题目同样可以这样处理，利用“变量代换”实现“等价转化”. 这样的解决方法还是利用基本不等式的思想构造了“+（a>0，b>0）”模型，问题便化归为我们熟悉的题型.

（3）通过消元法转化为“+≥2（ab>0）”结构.

例4 x，y，z∈R*，x-2y+3z=0，的最小值为________.

解：由已知得y=，则==×++6≥×（6+6）=3，

当且仅当x=3z时取“=”.

评析：本题是多元变量问题，所给条件是三个变量的一个等式，变量间的线性关系决定了可以将一个变量用其他的量线性表示，而目标是是一个齐次式，故可以做消元处理，从所求的目标来看消掉y是最可行的方法，进而可以转化为+≥2（ab>0）结构模型.

形如“a+≥2（a>0）”或可转化为a+≥2（a>0）结构的题型解法如下：

（4）利用配凑法转化为a+≥2（a>0）结构.

例5 已知x<，求函数f（x）=4x-2+的最大值.

解：由题意5-4x>0，f（x）=4x-2+=-（5-4x）++3≤-2+3=1，“=”当且仅当5-4x=，即x=1时取得.

评析：注意到目标函数分母“4x-5”，可以作为一个整体，所以将“4x-2”配成“4x-5”，转化为熟悉的结构模型，直接利用基本不等式加以解决.

例6 已知x，y为正实数，且xy=2x+2，求+的最小值.

解：由题意x（y-2）=2，=，因为x>0，+=+≥2，等号当且仅当=，即x=2时取得，此时y=3.

评析：这类求最值问题，往往可以通过消元，转化为一个变量x，进而可以实现用基本不等式求出最值，当然本题也可以向另外一个模型转化，令x=m，y-2=n，则题目可以转化为m>0，n>0，mn=2，求+的最小值，那么问题也迎刃而解了.

形如“a2+b2≥（a∈R，b∈R）”结构的题型解法如下：

（5）利用凑定值或换元法转化为a2+b2≥（a∈R，b∈R）及a+b≤.

例7 已知实数x，y满足+=4，求x+y的最小值.

解法一： +≤=，

所以≥4，从而可得x+y≥2，等号当且仅当=时取得.

所以x+y的最小值为2.

解法二：令m=，n=，则m+n=4（m≥1，n≥1），

所以x+y=≥=2，等号当且仅当m=n，

即=时取得. 所以x+y的最小值为2.

评析：在使用基本不等式的过程中，经常会采用配或凑成定值的形式来解决问题，这种解法要求较高，对于学生而言也是个难点，当然对于某些结构题型如果可以换元，把变量的关系进行重组，那么会使得整个条件更加简单，所求目标更加清晰，学生也容易理解和掌握.

形如“≥（a≥0，b≥0）”结构题型解法如下：

（6）利用换元法凑定值转化为“≥（a≥0，b≥0）”结构.

例8 若实数a，b满足ab-4a-b+1=0（a>1），则（a+1）（b+2）的最小值为_____.

解：由ab-4a-b+1=0（a>1）可得（a-1）（b-4）=3，令m=a-1，n=b-4，则mn=3，

（a+1）（b+2）=（m+2）（n+6）=mn+6m+2n+12=6m+2n+15≥2+15=27，“=”当且仅当n=3m，即b=3a+1时取得.

评析：本题无论是条件还是所求目标对于学生而言都是畏惧的，在解决时容易偏离方向，本题的解法是通过换元法将条件简单化，从而所求目标也就清晰了，当然本题也可以从结论出发加以换元，也能水到渠成.

课堂的再演绎

我们教师在日常教学中不能只侧重于解题方法和解题技巧的传授，更要让学生重视题目内部的结构联系，把握问题的不同表征，要以思维训练为抓手，这样可以把数学知识板块有效地结合起来，在本案例进行了辨析之后教师可以给出以下题型：

（1）已知x，y∈（0，+∞），且+=1，求x+y的最小值；

（2）已知x>0，y>0，且+≤，求2x+y的最小值；

（3）设x，y是正实数，且x+y=1，求+的最小值；

（4）已知正实数x，y，z满足2xx++=yz，则x+x+的最小值为______；

（5）已知x，y∈（0，+∞），2x+3y+xy=8，求2x+5y的最小值；

（6）已知x+y=7，则2+的最大值是______.

以上设计涉及整体、等价转化、函数、消元、化归等等思想，能使得学生认识到同一问题在不同背景下的表征. 通过对问题的不同表征，抓住问题的本质，找到解决问题的准确的切入点，进而快速地解决问题.

两点思考

1. 重视学生的思维品质的培养

通过刚才几个例题的解法我们清楚地看到，在解题过程中运用了很多数学思想方法，数学思想方法它是解决数学问题的指导思想和重要策略，是体现学生数学素养、数学学习的灵魂. 对于数学课的教学不仅仅是要训练学生的解题能力，更应该从教学中不断地提高学生的思维品质. 数学教学是数学思维活动的教学，在教学中要以学生为主体，遵循认知规律，以学生现有的认知结构为基础，在教学的各个环节的处理中，重视学生思维过程的暴露与训练，进而提高思维训练的实效性. 教师要善于以知识和例题、习题为载体，向学生有机地渗透数学思想方法，逐步让学生亲身领悟到解题过程的思维乐趣，经过长期的训练能够形成一种思维能力，养成一种良好的思维品质.

解题是一种艺术，我们教师应该在课堂教学中注重学生思维品质的培养，往往很多学生题目做不出来，大部分原因是因为找不到解题的思维因素而造成的. 在解题过程中，为了实现条件向结论的转化，我们必须首先分析题目的结构特征，然后与所学知识进行联系，转化为自己熟悉的知识模型，这种思维活动重点在于对题目的再创造，这需要扎实的基础和创造性的思维. 数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换. 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的. 转化是解数学题的一种十分重要的思维方法. 那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题. 在解题时，观察题目的具体特征，联想与之相关的知识点，进而寻求转化关系，达到解题目的.

2. 重视学生一题多变的能力

所谓“一题多变”，就是通过题目的引申、变化、发散，揭示问题的本质，暴露问题间的逻辑关系. 对于学生而言，高中阶段的学习很枯燥，压力大，解题找不到突破口，主要是思考问题的思维方式出现了问题，经常性地进行变式的训练有助于拓宽他们的解题思路，培养他们的思维能力，增强他们学习数学的兴趣.长期的“一题多变”的训练，会将这种解决问题的能力转化为一种思维方式，使学生思维水平上升到一个新的台阶. 通过变式教学可以将所学知识有机地结合起来，起到举一反三、触类旁通的作用，对培养学生的思维品质是很有好处的.