透视2016中考题型，解读“圆”的学习策略

徐菊萍

透视2016中考题型，解读“圆”的学习策略

徐菊萍

圆是最常见、最完美的图形，是简单而又特殊的曲线，它有独特的对称性与旋转不变性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，垂径定理及推论体现了圆的轴对称性；圆是中心对称图形，弧、弦与圆心角之间的关系体现了圆的旋转对称性.

圆又与直线图形有着密切的关系，圆的一些性质可以利用直线知识证明，而圆的知识又为研究直线图形的性质提供了新的内容.圆与直线图形，成为平面几何研究的两个主要对象.圆贯穿于三角形、四边形、解直角三角形等基本几何图形性质的研究，也与其他知识点如代数函数、方程等相结合作为中考压轴题，既可以从“数”的一面对它进行研究，也可以从“形”的一面对它进行研究，有很强的综合性.下面我们结合2016中考题型，一起来深入解读“圆”的学习策略.

一、圆的基本概念和性质

对于圆的基本概念、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆心角之间的关系、垂径定理、圆周角、圆内接四边形等知识，多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面.

考点1圆心角和圆周角

A.40°B.30°C.20°D.15°

【解析】已知，在⊙O中，A（B=A（C，∠AOB= 40°，根据“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于所对圆心角的一半”可得故答案选C.

【点评】有关圆周角的计算，我们在解答时，应从圆周角与其所对应的弧、圆心角、弦等方面考虑，不要忘记“在同圆或等圆中”这个重要前提.

图1

图2

例2（2016·湖南娄底）如图2，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）.

A.20°B.40°C.50°D.70°

【解析】根据圆周角推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得∠B=∠D=40°，“直径所对的圆周角是直角”得∠ACB= 90°，所以∠CAB=180°-90°-40°=50°，故选C.

【点评】利用圆周角推论“直径所对的圆周角是直角”，常常需要添加辅助线，“连直径”或者“连弦”构成“直径所对的圆周角”，从而将问题转化到直角三角形中，为进行角、线段之间的相互转化开辟途径.

变式1如图3，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC.求证：AB=AC.

【解析】此题策略是连直径，得直角三角形.

图3

图4

如图4，连接BD，可得BD是直径，根据同角的余角相等的性质得∠ABF=∠D，根据同弧所对的圆周角相等得∠D=∠C，再根据∠ABF=∠ABC，可证得∠ABC=∠C，即可得AB=AC.

变式2（2016·江苏扬州）如图5，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为（）.

【解析】此题策略是连弦，得直角三角形.

图5

图6

如图6，连接CD，依据“弧、弦、圆心角的关系”定理：在同圆或等圆中，如果两条弧（劣弧、优弧）、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别（对应）相等，及圆周角定理和推论，由∠ABC=∠DAC可得得出AC=CD，又AD为直径，得∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理（或三角函数），可求得在Rt△ACD中，

【反思】这几题用“圆”糅合了三角形和圆的基本知识，以及利用辅助线转化的数学思想，分别从不同的角度考查对圆的对称性的理解情况，考查对图形的识别能力、观察分析能力以及综合运用知识的能力.

图7

考点2垂径定理

例3（2016·湖北黄石）如图7所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）.

A.5B.7C.9D.11

【解析】已知⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，由垂径定理可得AN= BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案选A.

【点评】垂径定理常常结合勾股定理，在做与半径和弦都有关的计算时，作辅助线的方法是“既作弦心距又连半径”，构造直角三角形，利用勾股定理来解决.

公式：半弦弦心距d2=半径r2（其中a为弦长，d为弦心距，r为半径）.

图8

变式3直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图8，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB的长是多少厘米？

【解析】此题策略是“既作弦心距又连半径”，得直角三角形.

∴AB=2AC=48（厘米）.

考点3圆内接四边形

例4（2016·湖南娄底）如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是________.

图9

【解析】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，由圆内接四边形的对角互补的性质可得∠A+∠C=180°，又因∠C=∠D，可得∠A+∠D=180°，所以AB∥CD.

【点评】四个顶点共圆，要学会联系“对角互补”和特殊四边形中的知识，对解决角度计算、线段的数量关系和位置关系有重要作用.

二、与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系涉及的知识点主要有：点到圆心的距离d与圆的半径之间的联系，圆心到直线的距离d与圆的半径之间的联系，两圆的圆心距d与两圆的半径之间的联系，圆的切线性质定理与判定定理等，一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要考查目标也常出现，这部分内容不仅以考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.

考点4点、线、圆与圆的位置关系

图10

例5（2016·湖南永州）如图10，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：

（1）当d=3时，m=________；

（2）当m=2时，d的取值范围是________.

【解析】（1）当d=3时，因为3＞2，即d＞r，直线与圆相离，则m=1；

（2）当d=3时，m=1；当d=1时，m=3；所以当1＜d＜3时，m=2，即d的取值范围是1＜d＜3.

【点评】与圆有关的位置关系，应了解点和圆、直线和圆、圆与圆共有几种位置关系，并要能灵活运用数形结合思想，恰当地运用数量关系来判断位置关系是解题的关键.

考点5切线的性质和判定

图11

例6（2016·广东广州）如图11，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P是切点，则劣弧AB的长为_______.（结果保留π）

【解析】因为AB是切线，P为切点，由切线性质“圆的切线垂直于过切点的半径”和“垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦”，可得AP=连接半径OA或OB，由勾股定理可得OB=12，再由垂径定理和圆心角定理，可得劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，再由弧长公式可得劣弧AB的长为8π.

图12

例7（2016·湖北黄石）如图12，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD.

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.

【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，再由勾股定理即可求得AC=4；

（2）连接过圆上的点C的半径，根据角平分线性质及等腰三角形的性质，∴∠DAC=∠OCA，即AD∥OC，又∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线.

【点评】重点知识：切线的识别与特征.

遇到有切线时，一般要引过切点的半径，以便利用切线的性质定理，得到垂直，进而得到直角三角形，从而使思考简化；或连接要证的切线与圆的交点，以便判定切线.

三、与圆有关的计算

与圆有关的计算涉及范围较广，主要有线段的长度、角度、弧长、阴影部分面积、扇形面积、圆柱侧面积、圆锥的侧面积计算，这里我们主要研究弧长、扇形面积、圆柱圆锥的侧面积和全面积.

考点6弧长、扇形面积

例8（2016·湖南长沙）如图13，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为________.（结果保留π）

【解析】已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，根据弧长公式可得扇形的弧长为=2π.

图13

图14

例9（2016·浙江宁波）如图14，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分面积为________.

【解析】已知CD∥AB，根据“同底等高的两个三角形的面积相等”可得S△ACD=S△COD，所以S阴影=

【点评】熟知计算公式是关键，还要学会通过作图、识图、阅读图形探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律，把不规则图形的问题转化为规则图形的问题（例题9是利用同底等高进行了转化）.本考点应注意：

（1）在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位；

（2）题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示；

（3）正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

图15

考点7圆柱、圆锥的侧面积和全面积

例10（2016·浙江宁波）如图15，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）.

A.30πcm2B.48πcm2

C.60πcm2D.80πcm2

【解析】根据勾股定理可求得圆锥的母线长为10cm，再由圆锥的侧面积公式得S=πRl= π×6×10=60π（cm2）.

【点评】正确区分圆锥侧面展开图中各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此类问题的关键.比如圆锥的侧面积就是其展开扇形的面积，所以应掌握扇形面积计算公式以及圆锥与扇形之间的联系.

分析近年“与圆有关的计算”的中考题，不难发现，“与圆有关的计算”离不开解直角三角形，特别是勾股定理，而解直角三角形离不开直角三角形，因而如何构造直角三角形是必须掌握的；另外在涉及弧长、扇形面积的计算时，要灵活运用相关的计算公式，要弄清楚圆锥的高、母线、底面的半径与圆锥的侧面展开图之间的内在联系.

“圆”是我们学习的第一个曲线图形，在图形认识上是一个飞跃.圆的复习应紧紧围绕基本概念、基本图形、重要定理及圆的有关计算进行，要在复杂图形中分解出基本图形，或通过添加适当辅助线，构造或分解基本图形，将复杂问题简单化.

另外，要体会圆中一些隐含条件的作用，如“同弧所对的圆周角相等”“半径都相等”等，培养挖掘隐含条件的意识和能力.

“万变不离其宗”，如何游刃有余地解决圆的问题，除了熟悉基本知识基本图形以外，还要注意渗透转化的思想、数形结合的思想、方程的思想、由特殊到一般的思想、分类讨论的思想方法以及运动变化、变中不变等观点.

相信大家定能利用“圆”进一步地把初中几何知识系统化，培养应用意识，拓展数学思维，丰富解决数学问题的方法与手段，提高综合运用能力、创新意识和实践的能力，对初中的几何知识有一个整体上的了解，把教材内容融会贯通，使数学能力实现一个“质”的飞跃！

（作者单位：江苏省南京师范大学附属苏州石湖中学）