选择合适的方法解一元二次方程

朱雪梅

选择合适的方法解一元二次方程

朱雪梅

干什么事都有诀窍，解一元二次方程也是如此.一元二次方程有四种基本解法：直接开平方法，配方法，求根公式法，因式分解法.在解一元二次方程时，我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选择适当的方法，力求解题过程简洁、明快.

一、适合用直接开平方法求解的方程

例1用直接开平方法解下列方程.

（1）x2-4=0；（2）（x+3）2-2=0；（3）4（x-2）2= 9（x+3）2.

【分析】（1）将方程化为x2=4，然后两边直接开平方；（2）将（x+3）2-2=0化为（x+3）2=2的形式，然后两边直接开平方；（3）把（x-2）和（x+3）分别作为一个整体，然后考虑使用直接开平方法.

解：（1）移项，得x2=4.

因为x是4的平方根，所以x=±2，

即x1=2，x2=-2.

（2）移项，得（x+3）2=2.

（3）根据平方的性质有：2（x-2）=3（x+3）或2（x-2）=-3（x+3），

即：x1=-13，x2=-1，

【点评】形如x2=b、（x-a）2=b、（x-a）2=（x-b）2的方程适合用直接开平方法来求解.

二、什么时候选用配方法解一元二次方程

例2（1）x2-4x=396；（2）3x2-2x-3=0.

【分析】利用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

（2）把二次项系数化为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，右边是常数；

（4）如果方程的右边是一个非负数，就用直接开平方法求出它的解；如果方程的右边是一个负数，那么这个方程无解.

解：（1）∵x2-4x=396，

∴x2-4x+4=400，

∴（x-2）2=400，

∴x-2=±20，

∴x1=-18，x2=22；

（2）把二次项系数化为1，得x2-x-1=0，

移项，得x2-x=1，

配方，得x2-即

【点评】对比这两个方程可以发现，第一个方程用配方法方便些，第二个方程较繁琐，对于具备形如完全平方式的雏形的方程用配方法比较方便.

三、因式分解解哪类一元二次方程更便捷

例3解方程：（1）（4x+2）2=x（2x+1）；

解：（1）∵（4x+2）2=x（2x+1），

【点评】这两个方程显然用因式分解法比较简便，为什么呢？因为这两个方程有一个共同的特征，能通过移项将方程右边化为0，而左边可通过因式分解化成乘积的形式.常见的适合因式分解法的方程的基本形式有x2-a2=0、x2+ bx=0、x2-（a+b）x+ab=0.

四、公式法是把“万能钥匙”，它对任何形式的一元二次方程都适用

【点评】运用公式法解一元二次方程的时候，只需找准方程的a、b、c的值，即先把方程化为一般形式.公式法可以求任何形式的一元二次方程的解，不过由于公式法的运算量较大，因此如果能使用其它方法，尽可能选用其它方法来解.但如果方程已经化成一般形式，则选用公式法较为简便.

那么选择合适的方法来解一元二次方程的考虑方式如何呢？

（1）如果题目适合使用直接开平方法解方程，那就直接使用开平方法解方程；

（2）能使用因式分解方法求解的一元二次方程，就不要使用公式法解决；

（3）不易使用因式分解法解的方程，且方程中的系数绝对值较大时，考虑使用配方法解方程；

（4）公式法是解决一元二次方程的通用方法，当其它方法都不易解决时，考虑使用公式法解题.

（作者单位：江苏省南通市越江中学）