激光双光栅法测物体微小位移方法的改进与应用

陈　思，曾　培，周惠君，王思慧

(南京大学 物理学系，江苏 南京　210093)



激光双光栅法测物体微小位移方法的改进与应用

陈思，曾培，周惠君，王思慧

(南京大学 物理学系，江苏 南京210093)

从激光双光栅测量微小位移实验的基本原理出发，提出一种利用计算机程序进行函数反解和适当变换得到完整位移-时间图像的方法，拓宽了双光栅实验方法的应用范围；随后以音叉的小振动实验验证了方法的可行性与合理性，再运用该方法对“高斯炮”的碰撞过程进行了探究，得到了其中磁铁运动的速度-时间图像.

双光栅;还原运动图像;音叉振动;高斯炮

激光双光栅法测量物体的微小位移是面向本科生的大学物理实验，其通过两个相邻光栅之间的相对位移产生光拍，通过记录光电流随时间变化图像中每半个周期内的波数来计算物体振动的振幅[1].然而，i-t图上的信息却远不止如此，其包含了物体在整个振动过程中的所有运动信息.因此，还原物体的小振幅运动完整过程是一个有趣并富于应用价值的课题.如通过物体振动的具体x-t关系来研究各种非线性、非周期的振动.

本文提出了一种利用计算机程序反解的方法，通过求解电流信号的反余弦函数值并作适当基于物理的变换来提取i-t图中的完整信息，成功地还原了物体的小振动图像.我们还应用该方法对“高斯炮”发射过程中磁铁的运动情况进行了研究.

1　基本原理与改进方法

一束激光垂直照射到沿Y方向运动的光栅上时，会发生频移.我们用v(t)表示光栅的运动速度，用x(t)表示位移量，设光栅衍射角为θ.Y方向的位移量相应于出射光波相位的变化量为ΔΦ(t)：

(1)

由光栅方程式得

(2)

不妨假设在光电流接收到原来的激光时，固有相位为Φ0=ω0t+φ，那么经过多普勒频移后光强为

(3)

本实验中，我们使两片完全相同的光栅尽可能地紧贴，使后面一块光栅运动，前面的光栅静止，那么由式(3)可知激光经过双光栅之后的光强：

光束1E1=E10cos(ω0t+φ)

我们考虑两束光的叠加.假设光电流的光电转换常数为ξ.由于ω0本身值非常大，光电池无法检测，最终只有两个光频的差值对应的光拍可以被检测到.最终光电流的形式为

(4)

通常实验[1]中在此舍弃了大多数信息，其通过对以上公式的简单应用，试图求出微弱振动的振幅：

式中F(t)为拍频，即单位时间内波的个数.通过半个周期内波数的测量，得到物体微小振动的振幅A.

事实上，可以通过直接反解式(4)来还原振动的x-t图像.将式(4)变形如下：

(5)

然而，这种方法只对特定形式的物体运动有效，以下将说明该方法存在的问题.

2　实验方法的初步验证与完善

我们先利用模拟仿真的方法进行一定的理论分析.

理想情况下，音叉的小幅度振动应当满足如下形式：

x(t)=Acos(ωt+θ)

代入式(5)，可得光电流信号的形式：

(6)

在式(6)中,我们将测到的光电流信号归一化，并且定义

理想情况下的光电流信号应当如图 1(上)，相应的实验图如图 1(中).可见实验图像与理论是一致的.

图1　理论上音叉受迫振动情况下光电流随时间变化i-t图像(上)与实验记录的i-t图像(中)对比；直接反解的相位时间图像(下)

我们将图 1(上)中的信号作为我们的“模拟信号”，用式(5)来进行计算，得到的相位时间图像如图 1(下).

结果在Ψ=±π处发生了转折，而这是不符合真实物理过程的.事实上，转折点出现的位置都是arccos函数的多值分叉点.arccos函数是多值函数，当物体振幅过大，使Ψ的变化范围超过[0,π)时，函数值就不再一一对应，见图 2.基于以上问题，通过考虑反三角函数的多值修正，可以获得真实的运动图像.

图2　直接反解图像与实际图像对比；arccos函数的多值修正(右上)

下面将以上修正应用于实验数据的处理.在原来的实验平台基础之上，我们将电流信号导入到电脑中，在采样率较高的情况下(1 MHz)，记录下音叉在502.8 Hz的振动频率下光电流随时间变化曲线如图 3(右上).

我们对其用arccos函数直接反解，得到的结果如图 3(右上).图中果然出现了许多拐点.考虑反三角函数的多值修正以后，得到的最终处理图如图 3(下).

图3　i-t图像与直接反解图像的结果(右上)；编程修正后的结果(下)

可见音叉的振动曲线符合正弦曲线的形状.我们对修正后的曲线进行拟合，得出其频率为503.2 Hz，实验与理论值的相对误差为0.08%，可见我们的计算方法是正确的.

3　“高斯炮”中的碰撞过程的应用

我们将以上的实验方法应用于研究一个碰撞模型——“高斯炮”.在一个非磁性轨道上，放置一块磁铁，磁铁一侧排好一列相同的钢球，磁铁另一侧也可以排列较少数量的钢球，一个钢球从钢球少的一端接近装置并发生碰撞，磁铁另一侧的最外边的钢球便会发射出去. 如图 4(左上)

我们搭建的实验平台如图 4(下). 我们在导轨上放置静光栅，在磁铁顶部粘附动光栅，并且调整两个光栅之间的距离和角度为适当值，在磁铁前侧放置一个钢球，后侧放置4个钢球，从前侧打入钢球进行实验.

图4　高斯炮原理示意图(左上)；高斯炮实验装置示意图(下)

最终得到的实验i-t图如图 5(上)，虚线方框圈出的部分反映了高斯炮发射过程中磁铁的运动，左边为该局域放大图.

图5　高斯炮发射过程中i-t图像以及局部数据(上)；高斯炮预处理后数据(下)

i-t图并非上下对称，并且出现了漂移.这时候的电流信号形式应修正为

其中，第二项直流项、第三项噪声误差项影响非常小.因此我们提取出交流信号并进行归一化，结果如图 5(下)所示.

应用上一节的算法处理信号，得到的x-t结果图如图 6. 可以看出，磁铁的运动基本沿着同一方向进行，只是在方框处出现了一个明显的先减速后加速的过程.

图6　高斯炮的处理结果(x-t图)

我们又在相同条件下重复了几次实验，为了将速度变化过程看得更清楚，我们对于处理后得到的x-t数据进行拟合，并进行微分，以得到相应的v-t图，结果如图 7所示.

图7　高斯炮重复实验的速度-时间图

可以看到，速度的变化趋势具有相同的规律，重复性非常高.这说明实验的结果是可信的.从图中也可以看出“高斯炮”实验过程中磁铁的运动规律：在高斯炮的运动过程中，存在一个磁铁小球相互吸引加速，碰撞减速，再反向加速的过程.对于高斯炮碰撞后的运动现象，仍然有待进一步的讨论.

4　总结

综上，我们通过理论推导和算法改进，建立起了还原到物体运动图像的方法.我们首先通过探究音叉的周期小振动验证了我们整套方案的可行性和正确性；然后将我们的方法应用到非周期运动中，比如“高斯炮”的碰撞过程，初步还原出了磁铁在整个高斯炮发射过程中的运动情况.

致谢：感谢南京大学物理基地人才培训项目(0204131631)支持

[1]苏为宁，王思慧，高文莉，等.大学物理实验(理科)第二册[M].南京:南京大学出版社,2014.

Improvement and application on method of measuring the tiny displacement with double-grating

CHEN Si, ZENG Pei, ZHOU Hui-jun, WANG Si-hui

(Department of Physics , Nanjing University, Nanjing, Jiangsu 210093, China)

Based on the double grating method of measuring tiny displacement, we have proposed a method to recover a complete picture of displacement versus time (x-tdiagram), and broadened the scope of its application. We verify our method with the measurement on the vibration of a tuning fork, and further extend this method to study the motion of the magnet during collision in Gaussian cannon.

double grating; recover diagram of motion; tuning fork vibration; Gaussian cannon

2014-09-12；

2015-08-02

南京大学物理基地人才培训项目(0204131631)资助

陈思(1994—)，男，湖南浏阳市人，南京大学物理学院2012级本科生.

周惠君，E-mail:zhouhuijun2000@163.com

O 434.19

A

1000- 0712(2016)01- 0053- 04