用功能原理分析秋千的摆动与旋转

于凤军

(安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳　455000)



用功能原理分析秋千的摆动与旋转

于凤军

(安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳455000)

采用非惯性系处理内力做功问题，应用功能原理分析秋千的摆动与旋转现象.

秋千；振动；旋转；功能原理；内力做功

秋千振荡是一种有趣的共振现象，对此不少文献[1-6]都做过研究. 研究方法大体分两种：一种是求解参数振动的微分方程[2-5]，另一种是从人在最低位置时突然升高过程中的角动量守恒出发[5,6](以下简称“角动量守恒法”)导出人体的动能增加，并解释秋千的振幅越来越大的现象[5].除这两种方法外，还可以先把上述动能的增加推断为内力做功的一部分，再加上另一部分(人抵抗重力做功部分)计算出内力总功，最后由功能原理解释机械能增大现象[6]. 本文不使用角动量守恒定律，直接从功能原理出发(以下简称“功能原理法”)分析这一现象. 对于秋千的旋转运动，在相关文献中尚未见到介绍，本文也讨论之.

1　秋千的摆动

设秋千的悬点O通过一个支架与地面固结，在O处装有光滑铰链，秋千踏板通过一个刚性杆与该铰链相连，人的脚底固结在秋千踏板上. 取人体、地球 (把秋千设备包含在地球内)为研究系统. 这时系统无外力作用，内力包括：人体与地球之间的引力(重力)、人脚与秋千踏板之间的压力、秋千设备与地球之间在点O处的约束力、人体内部各组织之间的相互作用力. 在荡秋千过程中，因重力是保守力，如果取机械能中包括重力势能，就不能考虑重力做功；人脚与秋千踏板之间无相对位移以及铰链是光滑的，故相应的内力不做功；人体内部各组织之间有相对位移，因此人体内力做功. 在忽略空气等阻力因素的前提下，人体内力做功是系统机械能变化的唯一因素.

如图1，假设人体质心的最低位置为A，t=0时刻人体质心处在最低点A，以速度v0沿水平方向向左运动. 显然，秋千在每一个运动周期中，人体通过点A时要站起2次，该质心有两次闭合循环运动，其一为左侧循环：A→B→C→D→A，我们把该循环定义作第n次(n取奇数)循环，设该循环对应的最大摆角φn=∠AOD，循环结束瞬间质心在点A的速度为 vn(方向朝右，因结束前质心从D向A运动)；其二为右侧循环：A→B→N→M→A，我们把此循环叫做第n+1次循环，设此循环对应的最大摆角φn+1=∠AOM，循环结束瞬间人体质心在点A的速度为 vn+1(方向朝左，因结束前质心从M向A运动). 需要说明二点：vn既是第n次循环结束瞬间人体质心在点A的速度，也是第n+1次循环开始瞬间人体质心在点A的速度；图1中vn+1和vn是质心在同一点A不同时刻的速度.

图1

(1)

(2)

(3)

式(3)是一个递推公式，利用恒等式x=eln x和级数展开ln(1+y)≈y(y<<1)，式(3)变为

(4)

即系统机械能随人体的站起次数n作指数增加. 另外，DA过程中的机械能也是守恒的，即

(5)

由式(4)和式(5)得

(6)

上式中正负号分别对应n为偶数和奇数，φn为负时，表示摆动到左侧，φn为正时，表示摆动到右侧. 以上推导中，除对ε<<1(或h<

取v0=1 m/s，R=5 m，ε=0.02，g=9.8 m/s2，由式(6)作秋千摆幅φn随n变化的关系如图2. 由图2可知，随人体站起次数增加，秋千摆幅愈来愈大，这与实际情况定性相符.

图2

2　秋千的旋转

图3

(7)

由功能原理得相邻两周的系统机械能增量为

(8)

即机械能之差为常数，机械能随人体站起次数按算术级数增加，而秋千摆动时人体相邻两次经过A点的机械能之比为常数(见式(3))，机械能随人体站起次数按几何级数增加.

(9)

(10)

小结：从文献[5]、文献[6]和本文的讨论过程上看，“角动量守恒法”可以使学生加深对角动量守恒定律的理解，直观地理解秋千振幅增大的机理；“功能原理法”可以使学生加深对功能原理的理解，直观地理解荡秋千过程中的能量转化问题，两种方法在物理上各有特色. 在处理秋千旋转问题时，应用“功能原理法”并且采用非惯性系处理人体内力做功问题，推导过程会更加简便. 当忽略摩擦阻尼时，荡秋千摆动时系统的机械能随人体的站起次数按几何级数增加，而秋千旋转时它按算术级数增加，这是秋千的旋转和摆动的主要区别之一.

[1]漆安慎，杜婵英. 普通物理学教程：力学[M]. 北京：高等教育出版社，1997:292.

[2]刘世清. 秋千非线性参变共振的分析[J] . 大学物理,2001, 20(10) : 15-17.

[3]刘世清. 秋千非线性参变共振解的简单推导[J] . 大学物理,2004, 23(4) : 30-31.

[4]付茂林, 邹喜洋, 刘世清. 一个新的秋千参激振动的数学模型 [J] . 大学物理,2004, 23(7) : 13-15.

[5]佘守宪. 秋千——力学模型，初等分析与参数共振微扰解析解 [J] . 大学物理,2005, 24(5) : 5-12.

[6]贺承绪, 张可，等. 关于荡秋千的能量分析[J] . 物理与工程,2005, 15(1) : 25-26.

An analysis of oscillation and rotation of swing with the principle of work and energy

YU Feng-jun

(College of Physics and Electrical Engineering, Anyang Normal University, Anyang, Henan 455000, China)

:By using internal force doing work in non-inertial frame, the oscillation and rotation of swing are analyzed based on the principle of work and energy.

swing；oscillation；rotation；principle of work and energy；internal force doing work

2015-03-30；

2015-07-26

于凤军(1959—)，男，河南安阳人，安阳师范学院物理与电气工程学院教授，主要从事理论物理、天体力学研究和教学工作.

教学讨论

O 313.1

A

1000- 0712(2016)02- 0014- 03