常数变易法求解常微分方程

李治远，朱桂玲



常数变易法求解常微分方程

李治远，朱桂玲

（云南大学 数学与统计学院，云南 昆明 650500）

深入探讨了常数变易法求解一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程，并将所探讨的结果进行系统地分析、比较、归纳和总结，给出了每种解法的特点和使用条件．

常微分方程；常数变易法；二阶非线性

常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，常数变易法在解决某些方程特解时简便易用[1-7]．本文主要分析了用常数变易法求解一阶和二阶非线性常微分方程，辅以典型的例题，指出了利用常数变易法求解这２类非线性常微分方程的条件，分析其中的原因并给出相应的解决方法．

1常数变易法求一阶非线性常微分方程

1.1基本类型I

一阶非线性常微分方程的一般形式为

表示，则由于式（2）是可分离变量的常微分方程，可以用常数变异法来求解，因而可求出方程（1）的解．

1.2基本类型II

设方程（4）的通解为

将式（6）代入式（5）即可得方程（4）的通解．

1.3基本类型III

这是伯努利方程．

基本类型IV

1.5基本类型V

2常数变易法求二阶非线性常微分方程

基本类型I

的一个不恒为零的解．

以下相应推论均可用此方法得到，不再一一证明．

2.2基本类型II

的通积分为

2.3基本类型III

的通积分为

2.4基本类型IV

的通积分为

基本类型V

的通积分为

[1] 徐澄波，张光天．微积分（下册）[M]．杭州：浙江大学出版社，1988

[2] 谭信民．一阶非线性常微分的三种可积类型[J]．韶关大学学报：自然科学版，1996，17（4）：13-19

[3] 汤光荣．常微分方程专题研究[M]．武汉：华中理工大学出版社，1994：103-115，157-198

[4] 陈肖石，汤光荣．利用首次积分求解几类二阶非线性常微分方程[J]．西江大学学报，2000（2）：12-15

[5] 李广民，于力．一类二阶非线性微分方程的求积问题[J]．纯粹数学与应用数学，1996，12（1）：73-77

[6] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1983

[7] 彭向阳．二阶二次微分方程的解[J]．长沙大学学报，1999，13（2）：18-20

The method of constant variation for solving ordinary differential equation

LI Zhi-yuan，ZHU Gui-ling

（School of Machematic and Statistics，Yunnan University，Kunming 650500，China）

Discusses deeply the method of constant variation for solving the first order nonlinear ordinary differential equation and the second-order nonlinear ordinary differential equation，explores the results by systematically analyze，compare and summary，and gives the characteristics and conditions of each method finally．

ordinary differential equation；method of constant variation；second-order nonlinear

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.002

2015-11-28

国家自然科学基金资助项目（11561075）

李治远（1992-），男，河南信阳人，在读硕士研究生，从事时间序列分析及其应用研究．E-mail：534838410@qq.com

1007-9831（2016）04-0005-06