具不同阶导数的中值问题的辅助函数构造方法分类

滕兴虎，陈桂东，毛自森，张燕



具不同阶导数的中值问题的辅助函数构造方法分类

滕兴虎，陈桂东，毛自森，张燕

（解放军理工大学 理学院，江苏 南京 211101）

针对中值问题中中值表达式含有函数不同阶导数的情形，基于函数求导的四则运算法则，对辅助函数的类型进行了分类与总结，并以实例做了具体的说明．

微分中值定理；积分中值定理；中值点；辅助函数

在高等数学中，介值定理、微分中值定理、泰勒公式、费马定理和积分中值定理等内容均涉及到中值点的存在性问题[1-3]．这些内容具有严密的逻辑推理，体现出数学思维的严谨性，既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点．特别是所需证明的中值表达式中含有函数不同阶导数的一类问题，在中值定理的应用中，具有更强的综合性，问题的难度更大[4-9]．针对中值问题中的此类问题，本文基于函数求导的四则运算法则，对辅助函数的类型进行了分类与总结，并以实例做了具体的说明．

1构造2个函数相乘型的辅助函数

1∶250 000比例尺图上面积大于2 mm2(实地面积125 000 m2)的水库依比例尺表示(按面采集)[2]。

2构造2个函数相除型的辅助函数

3构造不同函数项相加或相减型的辅助函数

将包含同阶或不同阶导数的函数项，进行相加或相减作为辅助函数，在一定约束条件下，可以得到含有不同阶的中值表达式．

[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：68-242

[2] 四川大学数学系．高等数学（第一册）[M]．北京：高等教育出版社，1978：113-122

[3] 徐森林，薛春华．数学分析（第一册）[M]．北京：清华大学出版社，2005：185-197

[4] 李心灿．大学生数学竞赛试题研究生入学数学考试难题解析选编[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：226-396

[5] 西北工业大学高等数学教研室．高等数学专题分类指导[M]．上海：同济大学出版社，1999：58-78

[6] 陈兆斗，郑连存，王辉，等．大学生数学竞赛习题精讲[M]．北京：清华大学出版社，2010：36-47

[7] 王戈平．数学分析选讲[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2002：107-118

[8] 徐利治．大学数学解题方法诠释[M]．合肥：安徽教育出版社，1999：55-70

[9] 胡适耕．大学解题艺术[M]．长沙：湖南大学出版社，1999：296-302

The classification of the method of the construction of the auxiliary function in the mean value problems with different order derivative

TENG Xing-hu，CHEN Gui-dong，MAO Zi-sen，ZHANG Yan

（School of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China）

In the discussion of mean value problems，some mean value expression has function with different order．To solve this kind of problems，the type of auxiliary function was classified and summarized base on the function derivation law．Also，some special examples was given．

differential mean value theorem；integral mean value theorem；mean value point；auxiliary function

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.005

2015-12-15

解放军理工大学校级课题（GJ1507037）

滕兴虎（1975-），男，江苏邳州人，硕士，讲师，从事数学教育与非线性动力学研究．E-mail：tengxh3121@163.corn

1007-9831（2016）04-0018-04