概率公式教学研究与应用探索

陈学慧，　朱　婧，　王荣明

(北京科技大学数理学院，北京100083)



概率公式教学研究与应用探索

陈学慧，朱婧，王荣明

(北京科技大学数理学院，北京100083)

采用研究型教学方法，结合实际生活案例——抽签问题和小客车指标摇号问题，对全概率公式进行生动讲解，让学生对全概率公式有全面深刻理解，并能用所学的知识去观察生活，通过建立简单的数学模型，解决生活中的实际问题.

全概率公式； 抽签问题； 小客车指标摇号问题； 研究型教学

1　引　　言

全概率公式是概率论与数理统计学科中的一个非常重要的公式，主要用于计算复杂事件中由因索果类问题的概率，它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用，可以将解题过程化繁为简，并具有深刻实际应用的价值，在医疗诊断、投资、保险等不确定问题中有着重要的应用.

概率论与数理统计是大学数学科目中与现实生活联系最密切的学科之一.在新型的研究型教学模式下，教师们投入大量的精力挖掘生活中有趣实用的案例[1-3]，以知识教育为依托，把学习、研究、实践有机的结合以引导学生的高度参与以及主动性的充分发挥，并且创造性地运用知识和能力.本文课程设计从抽签问题引出全概率公式，剖析全概率公式、进一步利用全概率公式探索研究小客车指标摇号问题，最后对公式提出进一步的拓展思考.在讲解过程中培养学生由浅入深的分析问题、解决问题的思维方式，培养学生发现问题、研究问题和创造性地解决问题的能力，同时养成科学研究的学习态度.

2　全概率公式的引入

引入是非常重要的环节，如果课程一开始直接介绍样本空间定义和抽象全概率公式，学生会感觉突兀难于接受.为使学生更好理解全概率公式，可选用趣味性的例题激发学生的学习兴趣.

引例小米的明星产品“LED灯”号称“停电不怕怕神灯”，老师手里有2个，而10个同学都想得到它，只好抽签解决.于是，10张同样的卡片只有2张上印有“神灯”，其余的什么也没写，将其洗匀，无放回依次抽取，问第二个人中签的概率是多少？

分析容易知道，第一个人中签的概率为2/10，提问学生第二人中签的概率如何计算，引导学生发现求解过程中遇到的困难，因为第二个人中签的概率受到第一个中签与不中签的影响，第一个人中签的情况下第二个人中签的概率是1/9，第一个人未中签的情况下第二个人中签的概率是2/9，该选择哪一个？或者第二个人中签的概率与1/9和2/9有什么关系？引导学生带着问题一起推导下面的公式.

设 A1————第 1 个人抽到“神灯”，A2——第 2 个人抽到“神灯”，则

(1)

3　全概率公式的提出

进而引出样本空间的划分的定义.在一组样本空间的划分下，才能推导出全概率公式.

定义[4]设 (i)S试验为E 的样本空间，A⊂S，

(ii)B1,B2,…,Bn是样本空间 S 的一个划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…n. ，

则

上式称为全概率公式.

4　全概率公式剖析

4.1公式的数学思想

全概率公式蕴涵着“化整为零，各个击破，积少成多”的思想，“化整为零”指的是借助于样本空间的划分，应用加法原理将一个复杂事件的概率拆成若干个子事件概率的和，即

P(A)=P(AB1)∪P(AB2)∪…∪P(ABn)，

“各个击破”指的是每一个子事件的概率应用乘法原理计算，即

“积少成多”指将n个子事件的概率求和，得到全概率公式，即

4.2概率树

图1　概率树

4.3公式运用的关键

运用公式的关键是寻找一组样本空间的划分，即“找划分”.如果“划分”选择不适当，则不利于求解.通常，若某事件的发生需要多个步骤，可根据完成前一步骤的所有可能结果对样本空间进行划分.例如，抽签问题中第k个人中签的概率受到前k-1个人中签结果的影响，那么前k-1个人中签的所有可能结果就是样本空间的一个划分.

5　应用探索—小客车指标摇号问题

5.1背景介绍

2011年，北京市政府为了缓解交通拥堵，提出限牌治堵，实行每月摇号一次，参与摇号者皆是等可能的中签率，这一政策连续执行了三年，仍有一大部分的人未摇中.2014年，为了帮助久摇不中的人中签，政府又出台新措施，设置“阶梯中签率”，每两月摇号一次.按照累计摇号次数将摇号人群分成三个阶段，24次以内的称为第一阶段，他的中签率为基准中签率，其它阶段按照每累加12次分成二三阶段，以此类推，他们的中签率也相应的变成基准中签率的倍数.在每一期摇号结束后，相关报道会给出本期基准中签率的数据，下面用一个例题来解读基准中签率的数据是如何得来的.

5.2例题求解

据数据调查，截止到2015年2月8日，北京市普通小客车指标申请人共有227.5万，将共同竞争1.84万个指标，第一、二、三阶段人数分别为170万, 40.3万和17.2万人，他们的中签率分别为r、2r和3r.求: 当期基准中签率r是多少？

画出概率树

解得r=0.0061.

注本题解得基准中签率与北京晨报网2015年2月26日发布的数据完全一致.

5.3拓展思考

(i) 北京市小客车指标摇号系统实际过程中,如何实现阶梯中签率的？

(ii) “阶梯中签率”确实能帮助久摇不中者中签吗？请画图比较.

(iii) 假设基准中签率基本不变的情况下，若某人以90%的概率中签，至少需要多少年？

(iv) 当充满样本空间的事件组B1,B2,…,Bn中不满足互不相容的条件，全概率公式还适用吗？可否找到一个广义的全概率公式求解复杂事件的概率，即

6　小　　结

灵活使用全概率公式对解决实际问题带来很大方便.北京小客车指标摇号问题是全概率公式的探索应用，教学过程中引导学生结合现实生活逐步发现问题，思考问题，激发学生探究新知识、新领域的兴趣，培养研究性的学习能力.

[1]李春娥. 贝叶斯公式及其应用的教学研究文章题目[J]. 大学数学,2015,31(2):119-121.

[2]李晓康. 案例式教学法在概率论与数理统计课程中的应用[J].价值工程,2011,30(25): 204-205.

[3]陈学慧，赵鲁涛，张志刚. 案例式中心极限定理教学研究[J]. 大学数学，2015, 31(2):114-118.

[4]范玉妹，王萍，汪飞星，李娜. 概率论与数理统计(第2版)[M].北京：机械工业出版社，2012.

The Study on Case-based Teaching Method of Total Probability Formula

CHENXue-hui，ZHUJing，WANGRong-ming

(School of Mathematics and Physics, University Of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Total probability formula is teached lively by case-based teaching method. Actual cases are chose in this paper, ie.Problems of drawing lots and the car license plate lottery.It will help students to deepen the comprehension on total probability formula, observe actual cases in the life by the knowledge learned and solve actual problems.

total probability formula; problems of drawing lots; the car license plate lottery; case- based teaching

2015-01-24；[修改日期]2016-03-18

北京高等学校教育教学改革立项项目(2015-ms028)；北京科技大学教育教学改革项目

陈学慧(1980-),女, 博士, 副教授，从事微分方程理论及应用的研究.Email:xuehuichen@ustb.edu.cn

O21

C

1672-1454(2016)03-0086-04