一类Cartan域直积构成底空间的Hartogs域度量比较定理

叶薇薇，王　雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

一类Cartan域直积构成底空间的Hartogs域度量比较定理

叶薇薇，王雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

研究由第二类Cartan域直积构成底空间的Hartogs域，通过计算这一类域上的全纯截曲率，对其进行估计得到其有负上界的结果，这样便可以得到该域上Einstein-Kähler度量和Kobayashi度量的比较定理。

Einstein-Kähler度量；Kobayashi度量；全纯截曲率；比较定理

丘成桐猜想是关于比较Bergman度量和Einstein-Kähler度量的等价问题。除Bergman度量和Einstein-Kähler度量以外，还有Caratheodary度量和Kobayashi度量，这四个就是我们所说的经典不变度量。一直以来它们之间的比较问题都是研究的热点，取得了一系列的成果。但是对于一般域上Einstein-Kähler度量与其他度量之间的比较还不是很多。刘克峰等人［1-3］通过研究经典度量在Teichmllüer空间和模空间上等价，从而证明了丘成桐猜想在这两类空间上是成立的。在文献［4-6］中研究了这四类度量在Cartan-Hartogs域上的比较情况，并给出了其上的Einstein-Kähler度量和Kobayashi度量的比较定理。文献［7-8］中，还给出了一类底空间是对称域乘积的Hartogs域上的Einstein-Kähler度量和Kobayashi度量的比较定理。

本文主要研究由第二类Cartan域直积构成底空间的Hartogs域，通过计算这一类域上的全纯截曲率，对其进行估计，得到其有负上界的结果，这样便可以得到该域上Einstein-Kähler度量和Ko-bayashi度量的比较定理。

1　准备知识

若Z∈IIp，则

其中，ZT表示Z的转置。如果将Z中的元素按一定的顺序排成行向量，并用z表示，则

由第二类Cartan域直积构成底空间的Hartogs域，形式如下：

这里的K＞0，L＞0，NII（z，z）表示第二类Cartan域上的一般模。

θ∈R，z0∈IIp，w0∈IIq，，定义：

证明 由引理1直接计算可得。

注1群不变函数X是实值函数，且X∈［］0，1，并且在全纯自同构变换下是不变的。

这里

其中

这里，

由引理1、引理2及引理3，可以得到

注释：本定理具体证明可参考作者《由第二类Cartan域直积构成底空间的Hartogs域的Einstein-Kähler度量》一文，待发表。

2　主要结果

那 么 在 完 备Einstein-Kähler度 量下的全纯截曲率为

在全纯自同构变换下全纯截曲率是不变的，又由于对 ∀（ξ，z，w）∈，有 F∈Aut（），使得F（ξ，z，w）=（ξ*，0，0），那么只需计算 ω（η，dη）在点（ξ*，0，0）的值。

分别计算出∂T，∂-∂T，T-1的表达式，代入公式（1），便可得当参数时，域在完备Einstein-Kähler度量下的全纯截曲率为

由文献［9］可知

［1］Liu K F，Sun X F，Yau S T.Canonical metrics on the moduli space of Riemann surfaces［J］.Science in China：seriesA，2005，48（supp）：97-122.

［2］ Liu K F，Sun X F，Yau S T.Canonical metrics on the moduli space of Riemann surfaces I［J］.Journal of Differential Geometry，2004，68（3）：571-637.

［3］ Liu K F，Sun X F，Yau S T.Canonical metrics on the moduli space of Riemann surfaces II［J］.Journal of Differential Geometry，2005，69（1）：163-216.

［4］ 殷慰萍，王安.Cartan-Hartogs域经典度量的等价［J］.中国科学A辑，2007，37（1）：113-128.

［5］ 林萍，殷慰萍.第四类Cartan-Hartogs域的比较定理［J］.数学进展，2003，32（6）：739-750.

［6］ Yin W P，Zhao X X.The comparison theorem on Cartan-Hartogs domains of the third type［J］.Complex Variables，2002，47（3）：183-201.

［7］ 王安，李志强.底空间为对称域乘积的Hartogs域的度量等价［J］.数学学报，2013，56（6）：871-888.

［8］ Hao Y H，Tang J L，Wang A.Einstein-Kähler metric and comparsion theoerm on a class of hartogs domain ［J］.Advances in Mathematics，2013，42（6）：823-836.

［9］Zhao X X，Zhang L Y，Yin W P.Einstein-Kahler metric on Cartan-Hartogs domain of the second type［J］. Progress in Natural Science，2004，14（3）：201-212.

［10］Hens M.On a class of conformal metrics［J］.Nagoya Math，1962，21：1-60.

Comparison theorem for a class of Hartogs domain whose base space is a product of Cartan domain

YE Wei-wei，WANG Xue

（School of Mathematics and Statistics，Fuyang Normal University，Fuyang Anhui 236037，China）

A class of Hartogs domain whose base space is a direct product of the second class of Cartan domain was discussed to obtain that the holomorphic sectional curvature have negative upper bound.Furthermore the comparison theorem between Einstein-Kähler metric and Kobayashi metric was gottenby calculating and estimating the holomorphic sectional curvature.

Einstein-Kählerm metric；Kobayashi metric；holomorphic sectional curvature；comparison theorem

O174.56

A

1004-4329（2016）02-004-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-004-03

2016-03-12

阜阳师范学院校级自然科学项目（2014FSKJ11）资助。

叶薇薇（1981－），女，硕士，讲师，研究方向：多复变函数论。