一类具有奇性p-Laplacian-Rayleigh方程的周期正解

陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州　521041）

一类具有奇性p-Laplacian-Rayleigh方程的周期正解

陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

利用重合度理论，研究一类具有奇性的p-Laplacian-Rayleigh方程，获得其周期正解存在性新的充分条件，推广和改进了已有文献中的相关结论.

p-Laplacian-Rayleigh方程；周期正解；奇性；重合度理论

1　引言及引理

在动力系统研究中，具有奇性的微分方程周期正解的存在问题已受到人们极大的关注［1-10］，例如起源于电子学理论中的电子束Brillouin聚焦问题可转化为研究微分方程

周期正解的存在性［1-2］.文［3］和［4］分别研究了微分方程

文［3］在下列条件（H1）-（H5）下证明了方程（2）存在一个正周期解：

（H1）存在常数0＜d1＜d2,s.t.如果x是方程（2）正的连续T周期解，且满足

周期正解的存在问题，完善、改进和推广了文［3］、［4］等的结果.文［6-7］分别研究了具有奇性的Rayleigh方程

周期正解的存在问题.本文将研究一类较广泛的既含有奇点又含有时滞的p-Laplacian-Rayleigh方程

对于周期边值问题

其中f*：［0, T］×R×R→R是Caratheodory函数.

引理1［8］（Manasevich-Mawhin）设是有界开集.若下列条件成立

（1）∀λ∈（0,1）,边值问题

在∂Ω无解；

（2）方程

在∂Ω⋂R无解.

（3）deg｛F,Ω⋂R,0｝≠0.

引理2［9］设

引理3［10］设x∈C1（R,R）,x（t+T）≡x（t）,且∃ξ∈［0, T］,|x（ξ）|≤d，则

2　主要结论

定理1设条件

（A1）存在常数0＜d1＜d2使得：.则是 Lp-Caratheodory函数，即g1对第一变元是可测的，对第二变元是连续的，且

被满足，则方程（7）存在一个正的T-周期解.

证明考虑（7）的同伦方程

我们断定

由（10）-（12）得

由（A1），x（t1-σ）≤d2,x（t2-σ）≥d1.从而易知

由引理2得

由方程（10）两边同乘以x（t），并在区间［0, T］上积分即得

当p=2时，由（A5）知

对此ε,∃gε∈Lp（0,T）,s.t.（8）成立.注意到x（t）＞0,t∈［0, T］,有

由（14）和（16）得

由（A5）、（15）、（17）和（18）知，不论p=2还是

再由引理2得

由于x（0）=x（T），知∃t0∈［0, T］,s.t.x'（t0）=0.于是

其中

将（10）积分可得

即

另一方面，由（10）得

上式两边同乘以x'（t）并注意到（A3）即得

设ξ∈［0,T］如同（13）中定义的.∀t∈［ξ, T］，对（26）两边在［ξ,t］取积分得

由（27）-（32）得

由（A4）知，∃M0＞0.s.t.x（t）≥M0.对于t∈［0, ξ］的情形，类似可证.

则Ω⊆X是有界开集.

显然∀λ∈（0, 1）,方程（10）在∂Ω无解.

其次，∀x∈∂Ω⋂R,x（t）=q1（orq2），由（A1）有

（7）有一个正T-周期解x（t）.

注记1本文的结果是全新的.在方程（7）中，令p=2,σ=0,h=0,e=0，则为文［3］所研究的方程；令 p=2,h=0,e=0就是文［4］所研究的方程，易知定理1包含和推广了文［4］的结果；令h=0,，则就是文［5］所研究的方程，可见本文定理1完善和发展了文［3-5］的结果；令p=2,f=0,e=0就是文［6］、［7］所研究的方程，易知本文定理1完善了文［6］的结果，包含和推广了文［7］的结果.

［1］丁同仁.关于周期性Brillouin电子束聚焦系统的一个边值问题［J］.北京大学学报，1965，1：31-38.

［2］叶彦谦，王现在.电子注聚焦理论中所出现的非线性微分方程［J］.应用数学学报，1978，1：13-41.

［3］ZHANG M.Periodic solutions of Liénard equations with singular forces of repulsive type［J］.J.Math.Anal.Appl.，1996，203：254-269.

［4］WANG Z.Periodic solutions of Liénard equation with a singularity and a deviating argument［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2014，16：227-234.

［5］陈仕洲.具有奇点和时滞的p-Laplacian方程的正周期解［J］.韩山师范学院学报，2015，36（3）：10-15.

［6］WANG Z，MA T.Periodic solutions of Rayleigh equations with singularities［J］.Boundary Value Problems，2015（1）：1-14.

［7］钟涛，鲁世平.具有奇性的时滞Rayleigh方程周期正解存在性［J］.郑州大学学报：理学版，2015（2）：7-12.

［8］MAN′ASEVICH R,MAWHIN J.Periodic solutions for nonlinear systems with-Laplacian-like operators［J］.J.Differential Equations，1998，145（2）：367-393.

［9］LI J W，WANG G Q.Sharp inequalities for periodic functions［J］.Applied Mathematics E-Notes，2005（5）：75-83.

［10］张志戎，鲁世平.一类具偏差变元高阶p-Laplace微分方程的周期解［J］.吉林大学学报：理学版，2011，49（1）：71-75.

Positive Periodic Solutions for a Kind ofp-Laplacian-Rayleigh Equation with Singularity

CHEN Shi-zhou
（School of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

By using the continuation theorem of coincidence degree，a kind of p-Laplacian-Rayleigh equation is studied with a singularity and a deviating argument.Some new sufficient conditions for the existence of positive periodic solutions are obtained.The results have extended and improved the related reports in the literatures.

p-Laplacian-Rayleigh equation；positive periodic solution；singularity；coincidence degree；

O 175.12

A

1007-6883（2016）03-0008-07

责任编辑朱本华

2016-04-06

广东省高等教育教学改革项目（项目编号：GDJG20142396）；韩山师范学院理科团队项目（项目编号：LT201202）.

陈仕洲（1959-），男，广东汕头人，韩山师范学院数学与统计学院副教授.