姜香菊 刘二林
(兰州交通大学自动化学院1,甘肃 兰州 730070;兰州交通大学机电学院2,甘肃 兰州 730070)
旋转倒立摆的起摆与稳摆研究与实现
姜香菊1刘二林2
(兰州交通大学自动化学院1,甘肃 兰州730070;兰州交通大学机电学院2,甘肃 兰州730070)
针对倒立摆系统的起摆与稳摆问题,利用Lagrange方程建立了单摆与倒立摆的完整数学模型。采用正反馈控制算法进行单摆的起摆控制,采用双PID算法进行倒立摆的稳摆控制。设计了基于摆杆角度和角速度的两种能量控制切换模式,并进行了仿真验证和实物验证。仿真和实际运行结果表明,所设计的针对角速度的正反馈控制器起摆速度更快,所提出的两种切换模式可以使控制更稳定。
正反馈控制器双PID旋转倒立摆单摆起摆稳摆动力学分析Lagrange方程
倒立摆系统是一个不稳定、多变量、强耦合的欠驱动非线性机械系统,可以作为典型的控制对象进行研究。倒立摆的种类很多,有直线倒立摆、旋转倒立摆等。旋转倒立摆受力分析较其他倒立摆复杂,具有不稳定性及非线性,对控制算法有更高的要求[1-2]。
本文采用直流电机、减速机构、微控制器、电机驱动芯片和1 024线小型位置式编码器等,设计了一个一级旋转倒立摆;同时,利用Lagrange方程对系统进行了动力学分析,建立了单摆和倒立摆的数学模型,设计了起摆和稳摆控制器。将设计的控制器移植到微控芯片中进行实际测试,结果表明,设计的系统机械结构合理、响应速度快、鲁棒性好[3-14]。
倒立摆简化模型如图1所示[3-5]。
图1 倒立摆简化模型
旋转倒立摆主要由微控制器芯片、支撑机架、摆杆、旋臂、小型直流电机、减速器、1 024线位置式编码器和H桥电路(BT7960)组成。
旋转倒立摆的旋臂与减速器的旋转轴连接,直流电机驱动减速器输出动力,将高速低扭矩旋转转换为低速高扭矩旋转;位置式编码器1的齿轮与减速器输出轴的齿轮啮合,用来检测旋转臂转过的角度,为旋臂位置PID控制提供实时数据;位置式编码器2安装在旋转臂末端,并通过转轴与摆杆连接,为摆杆角度PID控制提供实时数据。
对于倒立摆系统,当倒立摆处于单摆状态时,系统为稳定系统;当系统处于倒立摆状态时,系统为不稳定系统。倒立摆系统的整个运行过程包括:①对稳定的单摆进行控制,使其脱离稳定状态,并尽快摆至最上方,且角速度接近于0,以达到倒立要求;②对不稳定的倒立摆进行控制,使其稳定直立。所以,整个系统模型应该包括单摆模型和倒立摆模型。
对于倒立摆系统,摆杆有一个自由度α、旋转臂有一个自由度θ,可分别令α和θ为广义坐标系。分析能量组成,可得:
T=T1+T2+T3+T4
(1)
(2)
(3)
(4)
对式(3)进行处理,得式(5):
(5)
对式(4)进行处理,得式(6):
(6)
将式(5)、式(6)联立得式(7),式(7)即为该系统的线性化状态方程。
(7)
式中:N1=-0.224 6;N2=2.969 7;N3=-0.008 7;N4=-0.679 5;N5=-95.454 5;N6=-0.278 3;N7=4.887 3;N8=4.363 6。
状态方程中各参数如表1所示。
表1 状态方程中各参数列表
(8)
3.1单摆的起摆控制
单摆的起摆问题是控制理论中的一个经典问题。文献[8]利用Bang-Bang控制使单摆摆起,但是由于在控制时没有考虑摆杆角速度的问题,会造成能量的损失,使起摆速度较慢。文献[9]对单摆的起摆问题进行了探讨,并利用能量反馈方法来完成倒立摆的起摆控制,效果良好。文献[9]的控制规律Vm=n×g×sign(a×cosα)是根据单摆基于能量模型得到的。
针对建立的单摆数学模型,可以利用针对角速度的正反馈比例控制算法,使其迅速震荡起来。
其控制规律为:
(9)
图2 单摆控制系统仿真曲线图
通过图2可以看出,摆杆在1.5 s时,摆起角度已经接近3.14 rad,即经过1.5 s,单摆就能达到摆起要求。由于模型中摆杆初始角度的存在,所以旋臂会朝着一个方向旋转。同时,由于仿真时输出限幅为-10~+10 V,所以再增大K,控制效果也无明显变化。
通过仿真可知,基于式(9)的起摆方法较Bang-Bang控制等传统方法效果更好[8]。
3.2倒立摆的稳定控制
为了实现控制目标,采用双PID控制。在控制器中,控制器1对倒立摆摆杆的角度α进行控制,控制器输出极性为正;控制器2对旋臂的角速度θ进行控制,控制器输出极性为负。
双PID控制仿真系统结构如图3所示。
图3 双PID控制仿真系统结构图
在仿真过程中,取Kp1=100、Kd1=0、Ki1=0、Kp2=2.2、Kd2=0.08、Ki2=0.01。
控制器2输出的电压值限幅范围为:-5~+5 V,控制器总体输出的电压值限幅范围为:-10~+10 V。
在控制切换时,倒立摆有以下两种模式:
①仅考虑摆杆角度,在|α|=0.175 rad时进行切换。在模型中,令α=-0.175 rad、a=0 rad/s,其仿真结果见图4(a)~图4(d)所示。
②考虑摆杆角度及角速度,在摆杆的动能和势能之和接近2m2gL时进行切换。在模型中,令α=-0.175 rad、a=1.728 rad/s,仿真结果见图4(e)~图4(h)。
通过对两种不同控制切换方式的仿真结果对比可以看出:当采用方式2对控制方式进行切换时,摆杆几乎没有超调,旋臂旋转幅度非常小[9-12]。
图4 控制切换模式仿真结果图
将控制算法移植到FreescaleXS128单片机中,通过上位机,对摆杆的角度及旋转转臂的角速度进行监控。倒立摆运行波形图如图5所示。
图5 倒立摆运行波形图
在倒立摆系统运行之初,系统角度为0;在起摆控制方式下,系统开始震荡;在震荡2次以后,系统角度达到倒立摆控制的要求,系统进入稳摆控制模式,倒立摆摆杆被稳定控制在直立位置。由于系统传动齿轮的啮合问题及传感器精度和安装问题,倒立摆稳摆后摆杆有些震荡。
在实际运行时,对两种不同的起摆、稳摆控制切换方式进行对比,在相同电压(8.2 V)下,基于能量原则的起摆切换方式需要的电流更小。
利用Lagrange方程,建立了单摆数学模型及倒立摆数学模型。采用针对角速度的正反馈比例控制算法,可以使稳定的单摆系统震荡,迅速达到倒立摆的起摆要求。该算法较Bang-Bang控制等算法起摆更迅速;使用双PID控制算法使倒立摆稳摆,并对两种不同的控制切换方法进行了对比。与常规切换方式相比,基于能量原则的控制切换方式可以使控制更稳定。
[1] 吴爱国,张小明,张钊.基于Lagrange方程建模的单级旋转倒立摆控制[J].中国工程科学,2005,7(10):11-15.
[2] AWTAR S,KING N,ALLEN T,et al.Inverted pendulum systems: rotary and arm-driven-a mechatronic system design case study[J].Mechatronics,2002,12(2):357-370.
[3] 张朝阳,魏晓赟,王少峰.基于52单片机的旋转倒立摆的研究和与设计[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2014,14(4):49-52.
[4] HUANG N C,GANG W,WANG Y,et al.The rotational inverted-pendulum based on DSP controller[C]//Proceeding of the 4th World Congress on Intelligent Control and Automation,China Shanghai,2002:3101-3105.
[5] 刘二林,姜香菊.单级旋转倒立摆运动控制研究[J].制造业自动化,2015,37(7):48-51.
[6] 张欣.单级旋转倒立摆的二次型最优控制研究[J].电脑开发与应用,2011,24(12):28-29,32.
[7] 刘二林,姜香菊.基于双PID的旋转倒立摆控制系统设计与实现[J].制造业自动化,2015,37(6):139-142.
[8] 姜倩,管凤旭.旋转式倒立摆的镇定和摆起控制的研究[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2007,23(3):232-234.
[9] 潘笑,肖书书,张俊,等.倒立摆摆起的能量控制算法研究及仿真[J].微计算机信息,2008,24(31):261-262.
[10]江晨,王富东.旋转式倒立摆系统的算法研究及仿真[J].工业控制计算机,2010,23(5):54-56.
[11]陈进,王冠凌,邢景虎.单级倒立摆的PID和模糊控制对比研究[J].自动化与仪器仪表,2009(2):17-18.
[12]曹敏,徐凌桦.单神经元PID算法在倒立摆控制系统中的应用[J].微计算机信息,2009,25(1):70-71.
[13]杨平,徐春梅,曾婧婧,等.PID控制在倒立摆实时控制系统中的应用[J].微计算机信息,2006,22(19):83-85.
[14]刘二林,姜香菊.倒立摆摆杆角度检测装置的设计与实现[J].测控技术,2015,37(12):9-12.
ResearchandImplementationoftheSwing-upandStabilizingOperationforRotationalInvertedPendulum
Inordertosolvetheswing-upandstabilizingissuesfortheinvertedpendulum,thecompletemathematicalmodelsforsimplependulumandinvertedpendulumarebuiltbasedonLagrangeequation.Thepositivefeedbackcontrolalgorithmisusedforcontrollingswing-upofthesimplependulum,andthedual-PIDalgorithmisusedtocontrolstabilizingoperationoftheinvertedpendulum.Theenergycontrolswitchingoverbasedonangleofswinglinksandangularvelocityisdesigned,andthesimulationverificationandphysicalverificationareconducted.Theresultsofemulatedandphysicaloperationshowthatthepositivefeedbackcontrollerdesignedforangularvelocitymakesfasterswing-up,Theproposedtwokindsofswitchingmodemakemorestablecontrol.
PositivefeedbackcontrollerDualPIDRotationalinvertedpendulumSimplependulumSwingupStabilizingpendulumDynamicsanalysisLagrangeequation
姜香菊(1979—),女,2003年毕业于兰州交通大学自动控制专业,获硕士学位,副教授;主要从事计算机控制及传感器技术等方向的研究。
TH-3;TP13
ADOI:10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201609002
甘肃省高等学校科研基金资助项目(编号:2014-A-041)。
修改稿收到日期:2016-02-17。