“圆”中难点十一问

王云峰

在圆的章节学习中，我们会学到很多重要的知识和方法，也会提出一些很有分量的思考问题，下面的问题你会答吗？

1. 如何证明几个点在同一个圆上？

答：根据圆的定义“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，将问题转化为证明这几个点到同一个点（即圆心）的距离相等.如图1，两个直角三角形有相同的斜边，那么两个直角顶点以及斜边的两个端点在同一个圆上（圆心是斜边的中点）.

2. 长度相等的弧是等弧吗？

答：能够互相重合的弧叫做等弧，由定义可知等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定能互相重合，所以长度相等的弧不一定是等弧.

3. 垂径定理有哪些应用？

答：垂径定理是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等问题的重要依据，同时也为圆中的计算与作图提供了依据和方法.

在解决与弦有关的问题时，常构造出如图2所示的直角三角形，这是圆中常用的基本图形.

如图3，☉O中，半径OD⊥弦AB于点C，与弦有关的计算问题常化归到Rt△OAC中求解.若用r表示半径，a表示弦AB的长，d表示圆心O到弦AB的距离，h表示劣弧AB的最高点到弦AB的距离，则r、a、d、h之间满足r2=d2+

2及d+h=r，可知在r、a、d、h中，知道其中任意两个量，就可求出其余两个量，即“知二求二”.

4. 与圆有关的角有哪些？

答：圆心角与圆周角，定理“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”是“圆心角的度数”与“弧的度数”相互转化的重要依据；圆周角定理体现了圆周角与圆心角之间的关系，是“弧相等”与“角相等”相互转化的重要依据.

5. 一条弦所对的圆周角有什么关系？

答：由“同弧或等弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形的对角互补”知，一条弦所对的圆周角相等或互补.

6. 三角形的外心与内心有什么不同？

答：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等.锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；三角形的内心一定在三角形内部.

【说明】三边长分别为a、b、c（∠C=90°）的直角三角形的外接圆半径是，内切圆半径是.

7. 如何证明一条直线是圆的切线？

答：如果直线与圆有公共点，那么利用切线的判定定理即“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”进行证明；如果直线与圆不能确定公共点，那么利用“圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线”进行证明，即作出圆心到直线的垂线段，证明垂线段与圆的半径相等.

8. 如何求正多边形的面积？

答：如图4，正n边形的半径为R，边AB=a，圆心O到边AB的垂线段OM=d，则正多边形的面积为nS△AOB=2nS△AOM=nad，即将关于正n边形的计算转化到Rt△AOM中进行.

9. 弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式分别是什么？

答：n°的圆心角所对的弧长为l弧=；圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；弧长为l弧的扇形面积公式是S扇形=l弧R；母线长为l母，底面圆半径为r的圆锥侧面积是S侧=πrl母.

【说明】弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式很容易发生混淆，熟练掌握每个公式的推导过程是避免混淆的有效措施.如：l弧=×2πr；S扇形=×πr2；S侧=×2πr×l母.另外弧长公式与圆锥侧面积公式中都有字母l，两者表示的意义不相同，为防止混淆，运用公式时可用文字标注出其意义.

10. 如何求不规则图形的面积？

答：求不规则图形的面积，一般利用“割补法”将不规则图形割补成规则图形，于是不规则图形面积可用规则图形面积的和或差表示出来，进而再求面积.如果不规则图形中含有弧，一般要连接半径构造出弧所在的扇形再求解.

11. 圆中常用的辅助线有哪些？

答：（1） 连接半径（以便运用“同圆的半径相等”，即构造出等腰三角形）；（2） 过圆心作弦的垂线（以便运用垂径定理）；（3） “遇直径，连直角”（以便运用“直径所对的圆周角是直角”）；（4） “遇切点，连半径”（以便运用切线的性质定理）.

（作者单位：江苏省盐城市葛武初级中学）