两个周期函数的和的周期性

刘长剑，　汤正谊

(苏州大学数学科学学院，苏州215006)



两个周期函数的和的周期性

刘长剑，汤正谊

(苏州大学数学科学学院，苏州215006)

显然如果两个周期函数的的周期之比为有理数，则它们的和仍然是周期函数.反之，如果已知两个周期函数的和是周期函数，则这两个周期函数周期之比是否一定是有理数？若这两个函数之一是连续函数，给予上述问题肯定的回答.

周期函数； 最小正周期； 连续

1　引　　言

假设f1(x),f2(x)都是定义在实数集上的周期函数，问F(x)=f1(x)+f2(x)是否也是周期函数？

关于这个问题，人们已经得到大量结果，这里只列举两个结果：在[1]中证明了若周期函数f1(x)和f2(x)连续，则F(x)为周期函数的充要条件是存在这两个函数的正周期使得这两个正周期之比为有理数.在[7]中构造了反例，说明当f1(x)和f2(x)都不连续时，即使f1(x)和f2(x)的周期之比不是有理数，F(x)仍然可能是周期函数.

在本文中，将考虑f1(x)和f2(x)之间至少一个连续的情形.具体而言，结果如下：

定理假设f1(x),f2(x)都是定义在实数集上的周期函数且f1(x)连续，则

F(x)=f1(x)+f2(x)

为周期函数的充要条件是f1(x)和f2(x)的周期之比为有理数.

2　定理的证明

首先介绍两个引理，其证明并不难，但为了读者方便，我们仍然给出证明.

引理1若f(x)是定义在实数集上的连续周期函数且f(x)不是常数函数，则f(x)必有最小正周期.

证反设f(x)没有最小正周期，下证f(x)恒等于f(0).

由于f(x)连续，所以任给ε>0,存在δ>0,使得只要|x′|<δ,就有|f(x′)-f(0)|<ε.由于f(x)没有最小正周期，可以找到f(x)的一个周期T<δ.对于任意的实数x,存在整数n,使得x=nT+τ,0≤τ

|f(x)-f(0)|=|f(τ)-f(0)|<ε.

由ε和x的任意性知，f(x)恒等于f(0).这与f(x)不是常数函数矛盾，故f(x)必有最小正周期.

引理2若f(x)是定义在实数集上的周期函数且有最小正周期T0，又T是f(x)的任一周期，则T必是T0的整数倍.

证如若不然，则存在整数n,使得T=nT0+T′，0

f(x)=f(x+T)=f(x+nT0+T′)=f(x+T′).

上式说明T′也是f(x)的一个周期.但0

最后，来证明定理.充分性是显然的，只需要证明必要性.

设f1(x),f2(x)和F(x)=f1(x)+f2(x)都是周期函数，分别取它们的周期为T1,T2,T3.则

0=F(x+T3)-F(x)=f1(x+T3)+f2(x+T3)-f1(x)-f2(x)，

于是

f1(x+T3)-f1(x)=f2(x)-f2(x+T3).

引入新函数G(x)=f1(x+T3)-f1(x)，则G(x)连续.另一方面，由

G(x+T1)=f1(x+T3+T1)-f1(x+T1)=f1(x+T3)-f1(x)=G(x),

G(x+T2)=f2(x+T2)-f2(x+T3+T2)=f2(x)-f2(x+T3)=G(x),

知T1,T2都是G(x)的周期.

情形2：G(x)是常数函数.设此常数为c，即f1(x+T3)-f1(x)=c.对于任意正整数n,在上式中令x=0,T3,2T3,…,(n-1)T3，相加得

f1(nT3)-f(0)=nc.

另一方面，f1(x)为连续周期函数，从而f1(x)有界.无妨设|f1(x)|的上界为M.于是，nc≤2M.由n的任意性，c=0.所以

f1(x+T3)-f1(x)=0,f2(x+T3)-f2(x)=0，

即T3是f1(x)和f2(x)的公共周期.在此情形，取f1(x)的周期T3和f2(x)的周期T3，其周期的比等于1，也是有理数，定理的结论依然成立.

最后，给出定理的一个应用：取f1(x)=sinx,f2(x)=[x], 由于f1(x)的最小正周期是2π，f2(x)的最小正周期是1，其比不是有理数，另外，f1(x)连续，由定理，和函数

F(x)=f1(x)+f2(x)

不是周期函数.由于f2(x)不连续，以前的结果不能直接得出此结果.

3　结　　论

在本文中，解决了当两个周期函数之一连续时，它们的和是否为周期函数的问题.我们这里考虑的函数都是定义在实数域上的，在理论与实践上，人们会遇到复数域上的函数，自然地，有下面的问题：

若f1(x),f2(x)都是定义在复数域上的连续复值周期函数，则F(x)=f1(x)+f2(x)为周期函数是否等价于f1(x)和f2(x)的周期之比为有理数？

我们的证明不能解决这个问题，主要困难是复数域上的周期函数可以有两个如1和i这样有理无关的周期，使得引理1和引理2没有意义.

[1]李继閔. 周期函数的和、差、积、商的周期性[J]. 数学通报，1965(5)：40-43.

[2]邓恒道. 关于周期函数的充要条件[J]. 工科数学，1993，9(3)：154-155.

[3]秦翠娥, 黄永强. 函数周期性的判定方法[J]. 工科数学，1994，10(2)：178-182.

[4]周大光，章合利. 周期函数和它的一个充要条件[J]. 工科数学，1994，10(3)：171-174.

[5]吴玫华. 周期函数Fourier级数展开式唯一性的简单证明与推广[J]. 大学数学，2006，22(4)：151-153.

[6]谭福锦，农吉夫. 复周期函数的若干性质[J]. 大学数学，2008，24(3)：148-151.

[7]Golomb S W. Periodic functions having incommensurable periods[J]. American Mathematical Monthly, 1957, 64: 598-599.

The Periodic Property of the Sum of Two Periodic Functions

LIU Chang-jian,TANG Zheng-yi

(School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou Jiangsu 215006, China)

Obviously if the ratio of two periods of two function is rational, then the sum of these two functions is also periodic. On the contrary, if the sum is periodic, then must the ratio of two periods be rational. In the present paper, we prove that if one of the two functions is continuous, then the problem is correct.

periodic functions; minimal positive period; continuous

2015-03-15；[修改日期]2016-06-13

国家自然科学基金面上项目(11371269); 江苏省“青蓝工程”青年骨干教师

刘长剑(1978-)，男，博士，教授，从事常微分方程定性理论研究.Email:liucj@suda.edu.cn

O178

C

1672-1454(2016)04-0082-03