基于认知取向的切线长定理教学与思考

☉浙江省温州市南浦实验中学陈培培

基于认知取向的切线长定理教学与思考

☉浙江省温州市南浦实验中学陈培培

切线长定理是在九年级学习了直线与圆的位置关系以后的后续课，在此之前学生已经学习了切线的定义、判定和性质，并继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识，体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，它既是前面知识的延伸，也是后面学习的基础，又是今后证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例等的重要工具，因此，本课具有承前启后的重要地位.对于学生而言，本课始终存在很大的难度.因此，笔者试图通过认知取向理论来解决和突破这一难点.

一、认知学习理论的基本特征

1.认知学习理论的目标

认知学习理论认为，学习任何一门学科的根本目的是让学生主动地建构良好的认知结构.就本节课而言，通过对切线长定理的猜想和证明，有助于培养学生严密的演绎推理能力和逻辑思维能力，而深入剖析图形，体现了数形结合的数学思想，有助于发展学生的数学建模能力.

2.认知学习理论的实施

教学过程中，教师应当有效实施教学原则，提倡发现式教学.在学生学习经验的基础上，经历对数学问题进行观察、猜测、实验、归纳、验证等活动过程.同时在以前的数学学习中学生通过合作学习的过程，积累一定的合作学习的经验，自觉自主地进行探索与合作交流.

二、基于认知取向的教学过程

1.创设问题情境，作为认知生长点

欣赏五粮液酒厂东大门的图片（如图1）并提出问题.

问题1：照片中有哪些几何图形？

问题2：过圆外一点作已知圆的切线，可以作出几条？

图1

学生欣赏图片，思考、反馈，体会生活中的几何图形，并大胆说出自己的看法.从生活中的实例引入新课，体现数学源于生活，吸引学生的注意力，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，同时对过圆外一点可以画圆的两条切线形成初步的感性认识.

图2

2.合作学习，探究新知

活动1：画一画

问题3：如图2，在圆外任找一点P并画出⊙O的两条切线？

在实际应用中，我们根据需要，经常求点P与切点间的距离，因此，需要给出一个定义.

（1）切线长定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.

（2）切线与切线长的区别：切线是一条与圆相切的直线，不能度量.切线长是线段的长，可以度量.

学生通过亲自动手作图，不仅巩固了上节课学习的切线的画法，还身临其境地感受切线的定义，从而引出切线长的概念，并将切线与切线长两个定义加以区分，加深对切线长概念的理解，渗透了从具体到抽象的数学思想方法，为切线长定理的探究打下基础.

活动2：折一折

问题4：若将这个图形沿直线OP翻折，你能发现什么结论？猜想：PA____PB，∠APO_____∠BPO.

问题5：过圆外任意一点作圆的两条切线都有这样的结论吗？

利用几何画板分别变换点P的位置及圆的大小，观察线段PA与PB、∠APO与∠BPO是否相等？验证发现结论，引导学生归纳结论.

学生通过翻折，观察PA与PB、∠APO与∠BPO之间的关系，进而发现、猜想切线长定理，并用自己的语言表达出来.这样的设计渗透了从特殊到一般的数学思想，发挥了学生的主体作用，培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高；几何画板的使用让静止的图形运动起来，使问题变得更加生动形象.

问题6：同学们：试用文字语言叙述刚才的结论？

切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

剖析定理：（1）指出定理的题设和结论；

（2）结合图形，用符号语言表示定理：如图3，若PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，则PA=PB，∠APO=∠BPO.

此环节让学生熟练掌握定理的三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的表示及相互转化.

活动3：证一证

问题7：请证明你所发现的结论.

切线长定理证明的教学方式是学生自主探索与合作交流相结合，首先采取多种方式进行探索，等学生猜想出结论后，再明确告知学生，仅凭照片观察、作图度量、折叠展示、动态演示，并不足以说明结论的正确性，还需通过严格的证明来确保结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.

图3

问题8：证明命题的步骤有哪些？

第一步，分清命题的题设、结论.

第二步，画图.

第三步，结合图形，写出已知，求证.

已知：如图3，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.

求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB.

第四步，写出证明过程.

让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性及结论的确定性，使学生的直观操作与逻辑推理有机地整合到一起.可以看出，设置探究性的问题，可以引导学生理解已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的数学思想方法，培养学生把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的能力.

图4

3.应用环节，体验成功

已知：如图4，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.求：

（1）若OP=10，⊙O的半径为6，则PA=______，PB=______.

（2）若OA=4，OP=8，则∠APO=____，∠APB=____，∠CAB=___.

问题9：在图4中连接AB，不难发现∠APO=∠CAB，这个结论是否具有一般性？

在本段的教学中，教师注意突出性质的探究过程，重视学生主体地位的落实，让学生通过自主学习，合作探究，经历观察、猜想、分析、验证、交流等基本数学活动，探索切线长性质，从而品尝了发现所带来的快乐，培养学生思维的完整性和深刻性.

4.小结提炼，反思提升

课堂小结时，让学生畅所欲言，谈谈这节课的收获是什么.教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫.教师引导学生总结：

（1）知识价值：切线长定理；

（2）模型化思想：证明命题的基本步骤及数学建模能力（基本图形）；

（3）数学思维及思想方法：从具体到抽象，从直观、合情推理到严密逻辑推理的思维过程，使学生体会数学发展的过程及数形结合的数学思想，从特殊到一般、分类与整合等.

接下来可以通过反思和图示（如图5）来检验目标的达成程度：

图5

三、对于认知学习取向的再思考

1.认知学习取向的原则和定位

进行认知学习一定要注意原则和标准.在整节课中，学生对教师创设的问题很感兴趣，他们积极思考、主动探究，踊跃回答问题.通过分组讨论、上台展示、师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路.学生的表现超出了笔者的预期，整节课在轻松愉悦的环境下完成学习目标，这其实就是对认知学习取向的一种肯定.在活动中，教师抛出开放性问题后，学生通过自主探究、小组交流，发现了很多有用的结论，全班同学积极发言，都迫切希望上台展示，但是由于时间关系，以及本节课重点是探究、证明切线长定理，因此没能够让学生充分展示自己的结论，虽然有所遗憾，但能够让学生进一步思考也是一种极大的成功.

2.关于课堂的评价与思考

认知学习理论十分重视对课堂的评价.在教师评价时，首先，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基本知识的掌握情况，以及解决实际问题的意识和能力；其次，在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都应给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥学生的评价能力，培养学生的集体荣誉感.同时为学生提供生生评价的平台，让学生之间学会质疑，学会互相欣赏、学习和借鉴.从教学设计上看，笔者以生活中熟悉的几何图形——五粮液东大门为引入，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，激发学生的探究欲望.画一画、折一折、证一证等3个活动环环相扣，设置层层深入的问题把学生的思考逐步引向深入.通过“观察—猜想—探究—证明—应用”五步教学法的形式研究有规律性的这类数学问题的教学，较好地达成教学目标，同时也充分体现新课程的教学理念.在活动2、活动3的交流过程中，学生的思维展现得淋漓尽致，让学生充分体验到了学习的成功喜悦.教师采取不断追问的方式，激起学生思维的火花，潜移默化地培养学生严密的逻辑推理能力.与此同时，通过归纳小结和方法提炼环节，让学生进一步内化了本节课的知识和方法，从而进一步培养了学生的数学建模能力与动手操作能力，让学生体会数形结合的数学思想，尽而达到培养学生严密的演绎推理能力和思维能力的目标.H