一类具有间断系数的周期Hilbert边值逆问题的研究

赵　爽

(绥化学院 农业与水利工程学院，黑龙江 绥化 152061)



一类具有间断系数的周期Hilbert边值逆问题的研究

赵爽

(绥化学院 农业与水利工程学院，黑龙江 绥化 152061)

文章给出了具有间断系数的周期Hilbert边值逆问题在单位圆周上的数学提法，应用周期延拓、保形变换等方法将问题转化为经典的Riemann边值问题，并据其理论，讨论了具有间断系数的周期Hilbert边值逆问题的可解性，给出了该类边值问题的可解条件及其在正则情况下的一般解。

Hilbert边值逆问题；周期；间断系数

解析函数边值问题在研究平面弹性和断裂力学等实际问题中发挥着重要的作用[1]。近年来，有关解析函数的各类边值问题得到了长期深入的研究及广泛的推广。翟小云等[2]研究了解析函数的周期复合边值问题的求解问题。笔者[3]研究了具有间断系数的周期复合边值问题的求解问题。王明华[4-5]教授对边值逆问题做了更深入的研究，给出了解析函数的一类Riemann-Hilbert边值逆问题的数学提法及其解法。本文在上述工作的基础上，结合笔者研究的单位圆周上周期Hilbert边值逆问题的方法[6]，把具有间断系数的周期问题与Hilbert边值逆问题结合在一起研究，并且得到这类问题在正则情况下的一般解。

1　提出问题

所求问题为：求函数对(Φ(z),Ψ(t))，这里Φ(z)是在D+内以απ为周期的分区全纯函数，Ψ(t)为Γk上H类实函数，也以απ为周期，满足下列条件:

(1)

其中已知函数λj(t)=aj(t)+ibj(t),aj(t),bj(t),sj(t),rj(t)(j=1,2)∈H(Γk)，均以απ为周期，且在Γk上存在有限个第一类间断点。

为方便，记

(2)

这里本文只讨论正则型问题的解，即λ(t)≠0,r(t)≠0时问题的解。

2　分析转化问题

此时已知实函数aj(t),bj(t),sj(t),rj(t)(j=1,2)在Γ0上仍存在着有限个第一类间断点，将这些间断点记为c1,c2,…,cn，于是所求问题转化为在h(c1,c2,…,cq)类中求解(Φ0(z),Ψ0(t))。

其次用变换

(3)

(4)

3　求解问题

设问题(4)的指标为κ，则它也为原问题(1)的指标。

将式(4)中的第一式两端乘以r2(τ)与第二式两端乘以r1(τ)后相减，则式(4)化为带间断系数的Hilbert边值问题：

(5)

其中

(6)

3.1齐次问题的解，即s1(t)=s2(t)=0时的解

由文献[6]知，当κ≥0时，齐次问题(5)的一般解

(7)

将其带回式(4)得

(8)

当κ<0时，齐次问题(5)只有零解，从而所求问题(1)只有零解。

3.2非齐次问题的解

根据非齐次方程通解的结构，这里只须求出问题(5)的一个特解即可。由文献[6]知，当κ≥0时，问题(5)有满足条件的特解

(9)

将其带回式(4)得

(10)

其中

(11)

当κ<0时，问题(5)可解的条件为

(12)

(13)

其中k=-κ-1时为实方程，即式(13)为-2κ-1个条件，在此条件下，问题(4)有唯一解。

4　结论

根据以上分析，可得下述定理。

最后用变换(3)的逆变换将等价问题(4)的一般解代回原问题(1)中，即可得到原问题(1)在正则性问题的一般解。

本文首先给出了带间断系数的的周期Hilbert边值逆问题在的数学提法，然后利用周期延拓和保形变换等方法把所求问题转化为求解一般的Hilbert边值逆问题，从而给出了一般解的表达方式及可解条件，最后得到了此类问题的一般解。

[1]路见可.解析函数边值问题(第二版)[M].武汉：武汉大学出版社，2004.

[2]翟小云，郑神州.解析函数的周期复合边值问题[J].北京交通大学学报，2005，29(3)：54-58.

[3]赵爽.具有间断系数的周期复合边值问题[J].高师理科学刊，2009，29(6)：28-31.

[4]Wang minghua. The inverse riemann boundary value problem for bianalytic functions[J]. 四川师范大学学报(自然科学版)，2003，26(2)：132-134.

[5]王明华.一类Riemann-Hilbert边值逆问题[J].纯粹数学与应用数学，2006，22(4)： 532-535.

[6]赵爽，张姮妤，丁慧，等. 单位圆周上的周期Hilbert边值逆问题的研究[J].绥化学院学报，2013，33(11)：156-160.

责任编辑王菊平

Research of a cycle Hilbert boundary value problem on the discontinuous coefficient inverse

ZHAO Shuang

(College of Agricultural and Hydraulic Engineering, Suihua University, Suihua 152061，Heilongjiang, China)

The mathematical definition of Hilbert boundary value inverse problem for the upper half plane with discontinuous coefficient was discussed in this paper. Methods of period and conformal transformation were applied to convert the problem into Riemann boundary value problem. Based on the theory, the solvability of the inverse Hilbert boundary value problem with discontinuous coefficients was discussed. The solvability conditions of the problem and its general solution in the case of regular were obtained.

Hilbert boundary value inverse problem；cycle；discontinuous coefficient

O174.5

A

1003-8078(2016)03-0001-03

2015-11-24

10.3969/j.issn.1003-8078.2016.03.01

赵爽，女，黑龙江兰西人，讲师，硕士，主要研究方向为函数论。

绥化学院杰出青年基金项目(SJ11005)。