一类高维动力学系统的混沌预测同步实现方法研究

孙　涛 ， 秦卫阳

(西北工业大学 振动工程研究所，西安　710129)



一类高维动力学系统的混沌预测同步实现方法研究

孙涛1， 秦卫阳2

(西北工业大学 振动工程研究所，西安710129)

对于一类含有时间项的高维非线性动力学系统，提出了实现混沌预测同步的控制方法。在混沌同步的基础上，建立了派生系统及差别方程，从理论上证明了提出的方法能够实现对于原非线性系统的预测同步。对于耦合项进行了简化，为了实现长时间的预测，建立了多级同步系统来延长预测同步时间。对于Duffing系统，以及含反馈单摆系统在混沌状态下进行了仿真计算，证明了提出的方法是正确的与有效的。

混沌；预测同步；动力学系统

自从20世纪90年代Pecora等[1]提出混沌同步后，由于其独特的特性和广泛的存在性，该研究目前正在深化与细化。如混沌的广义同步[2]，各种网络内、网络之间的混沌同步[3]，近年来分数阶混沌系统的同步研究也出现了很多成果[4-6]。Lin等[7-8]研究了带有随机参数的不确定混沌系统的控制问题与同步问题，提出了自组织-自适应模糊神经控制方法与同步方法。Voss[9]提出了混沌预测同步的概念，即通过耦合，一个系统的混沌响应与另一个系统τ时刻后的混沌响应同步，这样相当于实现了对于混沌的预测，具有重要的意义，因此自提出以后引起了很多研究者的重视。Wei[10]利用混沌的预测同步来识别系统的未知参数。Yan[11]提出了广义预测同步的概念。对于原混沌系统，可以实现派生系统的k倍加速演化，这种预测同步具有全局性。Pyragas[12]为了实现长时间的混沌预测，对于耦合矩阵进行了研究，提出了最佳的耦合方式。Pyragiene[13]提出了一种新的耦合方式，派生系统包含两个方程，每个方程带有周期开关的参数，可以实现比较长时间的混沌预测。在预测同步的应用方面，Mayo[14]利用预测同步， 预先从派生系统中得到FitzHugh-Nagumo系统中不规则脉冲的发生，提前采取控制措施抑制它。结果表明控制的效果很好。

目前,对于含有时间项的一类高维动力学系统，实现混沌的预测同步，困难还比较大。本文在混沌同步的基础上，对于一般的动力学系统，提出实现混沌预测同步的新方法，对于这种方法，进行了相关的理论证明与仿真验证计算。

1　理论分析

实际中，含有非线性恢复力的一类高维动力学系统可以用如下方程表示：

(1)

式中：x∈Rn×1为系统动力学响应向量，f(x)为系统内部非线性力，g(t)为外激励。那么，采用线性耦合控制策略[1]，可以建立混沌同步派生系统：

(2)

式中：α∈Rn×n为耦合系数矩阵。假设通过耦合可以实现系统混沌的同步，那么式(1)～式(2)得到的差别方程为：

(3)

式中：δ=z-x。对函数项进行泰勒展开，保留一次项，有：

(4)

由于式(1)与式(2)同步，所以必然有：

(5)

在实现了混沌的同步后，为了进一步实现混沌的预测同步，对于动力学系统(1)，建立如下的预测同步派生系统：

α(y-x(t+τ))=g(t+τ)

(6)

而对于方程(1)，在t+τ时刻方程可以写为：

f(x(t+τ))=g(t+τ)

(7)

式(6)～式(7)有：

(8)

即：

(9)

可以看出，方程(9)与方程(4)具有相同的形式，则其平凡解具有相同的稳定性，即：

(10)

因此，通过方程(6)可以实现y(t)与x(t+τ)的同步。但是在方程(6)中，由于耦合项含有x(t+τ)项，实际中无法提前得到。为了解决这个问题，将x(t+τ)泰勒展开，取其前3项作为耦合项，即方程(6)变为：

(11)

则同样可以实现在t时刻附近的混沌预测同步。

为了进一步增加预测时间τ，可以采用建立多级耦合派生系统的方法，即：

g(t+τ1)

g(t+τ2)

⋮

g(t+τn)

(12)

2　仿真计算

以二个混沌系统作为对象，进行了仿真计算，以验证提出的同步方法。

(1) Duffing系统

考虑Duffing系统

(13)

在a=0.2，b=-1，c=1，f=0.28，ω=1.2 时，系统会出现混沌运动(图1)。按照上述的方法，建立同步派生系统

fcosω(t+τ)

(14)

图1　Duffing系统混沌相图Fig.1 Chaotic phase diagram of Duffing system

为了增加预测时间，建立了5级派生系统，最终的预测时间∑τ=1.45 s，计算的结果如图2、图3所示。图3显示的是y-x(t+∑τ)随时间的变化。可以看出，实现了派生系统对原混沌系统的预测同步。

图2　y与x的波形图Fig.2 Waveform diagram(y,x)

图3　y(t)-x(t+1.45)随时间的变化Fig.3 y(t)-x(t+1.45) change over time graph

(2) 带反馈控制的混沌单摆系统

带反馈控制的单摆方程为[8]：

(15)

式中：

f(t)=(β-ω2)a1cosωt-δωa1sinωt+

sin(a1cosωt+a0)+βa0

ω为角速度，β为反馈增益，δ为阻尼比，a1是轨迹的幅值。当β=0.5，a0=-3，a1=0.3，δ=0.12，ω=0.75时，系统响应出现混沌(图4)。按照上述分析，建立派生系统

(16)

图4　混沌摆的相图Fig.4 The phase diagram of chaotic pendulum

同样，为了增加预测时间，建立了5级耦合派生系统，最终的预测时间∑τ=1.9 s，计算的结果如图5、图6所示，由计算结果可以看出，此时实现了派生系统对于原系统的混沌预测同步。

图5　y与x的波形图Fig.5 Waveform diagram(y,x)

图6　y(t)-x(t+1.9)随时间的变化Fig.6 y(t)-x(t+1.9) change over time graph

3　结　论

对于非线性动力学系统，常常可以通过线性耦合实现混沌同步。本文在此基础上，提出了一种实现高维非线性动力学系统混沌预测同步的方法，即实现一个系统的轨迹与原混沌系统τ秒以后的轨迹相同。通过理论分析，证明了提出的方法可以实现混沌的预测同步。然后，通过建立多级耦合系统，增加混沌预测同步的预测时间。以Duffing系统，以及含反馈控制的单摆系统作为对象，进行了仿真计算，证明了方法是正确的和有效的。

[1] Pecora L M，Carroll T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Phys. Rev. Lett.，1990, 64(8): 821.

[2] 过榴晓，徐振源.关于非线性系统两类广义混沌同步存在性研究[J]. 物理学报，2008, 57(10): 6086.

GUO Liu-xiao, XU Zhen-yuan.The existence of two types of generalized synchronization of nonlinear systems[J]. Acta Phys. Sin. 2008, 57(10): 6086.

[3] 张檬，吕翎，吕娜, 等. 结构与参量不确定的网络与网络之间的混沌同步[J]. 物理学报，2012，61(22)：508.

ZHANG Meng, LÜ Ling, LÜ Na, et al. Chaos synchronization between complex networks with uncertain structures and unknown parameters[J]. Acta Phys. Sin,2012, 61(22): 508.

[4] Wang X, Song J. Synchronization of the fractional order hyperchaos Lorenz systems with activation feedback control[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2009,14:3351-3357.

[5] Wang X, Zhang X, Ma C. Modified projective synchronization of fractional-order chaotic systems via active sliding mode control[J]. Nonlinear Dyn, 2012, 69:511-517.

[6] 黄丽莲， 齐雪. 基于自适应滑模控制的不同维分数阶混沌系统的同步[J]. 物理学报，2013，62(8)：507.HUANG Li-lian, QI Xue. The synchronization of fractional order chaotic systems with diferente orders based on adaptive sliding mode control[J]. Acta Phys. Sin,2013, 62(8): 507.

[7] Lin D, Wang X, Nian F, et al. Dynamic fuzzy neural networks modeling and adaptive backstepping tracking control of uncertain chaotic systems[J]. Neurocomputing, 2010, 73: 2873-2881.

[8] Lin D, Wang X.Self-organizing adaptive fuzzy neural control for the synchronization of uncertain chaotic systems with random-varying parameters[J]. Neurocomputing, 2011, 74: 2241-2249.

[9] Voss H U. Anticipating chaotic synchronization[J].Phys. Rev. E. 2000,61:5115.

[10] Wei H, Li L. Estimating parameters by anticipating chaotic synchronization[J]. Chaos, 2010,20:023112.

[11] Yan H, Wei P, Xiao X. General anticipating response in coupled dynamical systems[J]. Chaos, 2009,19:023122.

[12] Pyragas K, Pyragienê T. Coupling design for a long-term anticipating synchronization of chaos[J]. Phys. Rev. E, 2008, 78:046217.

[13] Pyragiene T, Pyragas K. Anticipating synchronization in a chain of chaotic oscillators with switching parameters[J]. Physics Letters A, 2015, 379: 3084-3088.

[14] Mayo C, Mirasso C R, Tora R. Anticipated synchronization and the predict-prevent control method in the FitzHugh-Nagumo model system[J]. Phys. Rev. E, 2012, 85:056216.

Anticipated synchronization of chaos for a class of high dimensional dynamic systems

SUN Tao1, QIN Weiyang2

(Department of Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

For a class of high dimensional nonautonomous dynamic systems, the control method to realize anticipated synchronization of chaos was presented. Based on chaos synchronization, the derived system and difference equation for anticipated synchronization were built. It was proved that the control method can make the response of the derived system be identical with that of the original system within τ seconds theoretically. Furthermore, the coupling terms were simplified. To make the anticipation time longer, the multi-layer derived systems were built and they were coupled each other. A Duffing system and a pendulum with feedback were simulated to validate the correctness and effectiveness of the proposed method.

chaos; anticipated synchronization; dynamic system

国家自然科学基金(11172234)

2015-09-09修改稿收到日期：2016-01-24

孙涛 男，博士生，1983年3月生

秦卫阳 男，博士，教授，1967年4月生

O415.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.009