傅里叶变换基本性质的物理诠释

唐荣安　洪学仁　徐红萍　高吉明　豆福全（西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070）

傅里叶变换基本性质的物理诠释

唐荣安洪学仁徐红萍高吉明豆福全
（西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070）

数学物理方法是物理学专业基础课，其中的积分变换部分也是工程技术专业的基本教学内容.在该课程中，傅里叶变换往往是积分变换法教学的首要内容，而傅里叶变换的基本性质则是该部分的重点，也是其产生广泛应用的关键原因.本文从振动的合成与分解、物理学量纲分析等角度对傅里叶变换的线性定理、延迟定理、位移定理、标度变换定理、微分定理及卷积定理共6条基本性质进行了物理学诠释.对学生深刻理解和灵活运用傅里叶变换法解决物理问题、进行信号频谱分析大有裨益；对学生学习后续的量子力学、信号与系统等课程亦有帮助.

傅里叶变换；物理诠释；数学物理方法

作为物理学专业必备的数学物理方法之一和工程类的重要分析手段，傅里叶变换不仅在求解数学物理方程和信号分析中发挥着极为重要的作用［1-7］，而且与量子力学中的表象变换有一定的关联性［1，2，8］，对后续的量子力学、信号与系统等课程教学有较大影响.在教学过程中，傅里叶变换往往是积分变换法部分的教学切入点.傅里叶变换拥有良好的基本性质，这是决定其重要性和广泛应用的关键因素之一.因此傅里叶变换的基本性质是教学中的重点内容.当前的教材在介绍傅里叶变换的基本性质时，都是基于基本的数学证明，而缺乏深入的物理剖析.如果站在数学物理学科方法论的角度考虑［1］，笔者觉得非常有必要进行这方面的教学研究，同时这对于学生掌握并灵活应用傅里叶变换、学好物理学也非常有益.为此，笔者结合学生的知识结构（学生学习这门课一般在第三学期，具备了一些基本的力学基础知识和方法，而量子力学和更高深的理论物理还没有接触到），利用物理学中振动的合成分解原理、量纲分析等对傅里叶变换的线性定理、延迟定理、位移定理、标度变换定理、微分定理及卷积定理共6条基本性质进行了诠释.

1　傅里叶变换的数学形式及物理对应

在进行性质的诠释之前有必要给出傅里叶积分及傅里叶变换，傅里叶积分表述为

其中

式（2）就是通常所说的傅里叶变换，即

上述表达式及下文中傅里叶变换基本性质的数学叙述均摘自杨孔庆老师编写的《数学物理方法》教材［1］.

为了便于分析，这里从振动的角度出发，首先给出上述表达式的物理对应.如果把式（1）中的变量x和k分别视为时间和频率的话，则f（x）可以视为振动信号，而傅里叶积分式（1）代表振动的分解，即将复杂运动分解为简谐振动的线性叠加［5］，而傅里叶变换式（2）代表分解式（1）中各简谐振动前的系数，称为频谱［4］.这里需要注意3点：（1）将f（x）视为振动信号并不意味着f（x）一定是周期的，f（x）亦可以是非周期信号；（2）这里的简谐振动采用复数形式的运动方程eikx；（3）这里的分解系数即频谱具有类似于权重的意义，但其取值则在复数范围内，并不局限于正实数.由于这里侧重于对傅里叶变换基本性质的物理理解而非严格的数学证明，为了能从振动的角度更容易理解问题，将分解系数（频谱）称为“权数”，从而傅里叶变换式（2）代表分解式（1）中各简谐振动的权数.同时为了方便，在下文中我们将分解式（1）中的各简谐振动称为f（x）的各分振动.

下面基于以上物理对应对傅里叶变换的6个基本性质进行物理诠释.

2　傅里叶变换基本性质的物理诠释

2.1线性定理

性质叙述：设α1，α2为任意常数，有

物理学诠释：基于1节中的物理对应，线性定理式（3）变得易于理解：α1f1（x）+α2f2（x）代表振动的线性组合，考虑到振动分解式（1）的思想，α1f1（x）+α2f2（x）所对应的分振动权数F［α1f1（x）+α2f2（x）］必是f1（x）和f2（x）分振动权数F［f1（x）］和F［f2（x）］的线性组合α1F［f1（x）］+ α2F［f2（x）］，从而式（3）成立.

2.2延迟定理

性质叙述：

物理学诠释：采用1节中的物理对应，x0的出现，即x-x0表征了计时起点的改变，对一振动信号而言，表征相位的移动.对基本的简谐振动，相位的移动量是-kx0，引起运动方程的改变量为e-ikx0.根据振动的分解原理，f（x-x0）分解成各简谐振动时，各简谐振动均会产生e-ikx0（亦可由式（1）直接看出），即f（x-x0）的分解权数F［f（x-x0）］等于f（x-x0）的分解权数F［f（x）］乘以e-ikx0，从而延迟定理式（4）成立.

2.3位移定理

性质叙述：

物理学诠释：采用1节中的物理对应，当给f（x）乘以eik0x时，引起相位的增加，即f（x）eik0x各简谐分振动的相位较之f（x）多出了k0x，从而引起f（x）eik0x的权数分布F［f（x）eik0x］较之f（x）的权数分布F［f（x）］=C（k）发生了平移（若频率k0＞0则蓝移，若频率k0＜0则红移），平移的频率量为k0，即有F［f（x）eik0x］=C（k-k0），式（5）成立.

2.4标度变换定理

性质叙述：当变量x→x′=ax，a≠0时，则有

2.5微分定理

性质叙述：若|x|→∞时，有f（x）→0，f（n-1）（x）→0（其中n=0，1，2，…）则

物理学诠释：采用1节中的物理对应，傅里叶积分式（1）代表振动的分解，即将复杂运动分解为简谐振动的线性叠加，当给f（x）求导时，各分振动均会因此而出现i k，从而分振动权数变为i k倍，即有F［f′（x）］=i k F［f（x）］，式（7）成立.式（7′）的理解类似.该性质亦可与量子力学中的动量算符建立一定的关联［7］，因此该性质的物理诠释对学生理解后续量子力学课程中的动量算符很有好处.

2.6卷积定理

性质叙述：

其中

称为函数f1（x）和f2（x）的卷积，它是x的函数.

物理学诠释：首先将卷积式（9）中的f1（x-ξ）和f2（ξ）进行振动分解，有

其中，C1（k1）=F［f1（x）］，C2（k2）=F［f2（x）］，式（10）中e-ik1ξ的出现是由于ξ引起的相移而导致，即延迟定理1.2.

其次利用式（10）和式（11）可给出由基本简谐振动合成的卷积

由此可见C1（k1）C2（k1）就是卷积f1（x）*f2（x）振动分解时各简谐振动的权数，即F［f1（x）*f2（x）］= F［f1（x）］F［f2（x）］.

该基于物理思想结合运算给出的卷积定理的论述亦可单独作为卷积定理的数学证明，而该证明完全不同于目前的教材［1，2，4，6］.

3　结语

综上所述，傅里叶变换具有线性定理是因为振动的分解、简谐振动的线性叠加原理，延迟和位移定理则是由于时间或坐标的平移引起简谐振动的相位变换，从而出现e-ikx0或eik0x，通过量纲分析可以看到因为时间的单位变换而引起频率及分振动权数的单位变换，从而有标度变换定理，微分运算作用在每一个分简谐运动上会产生i k导致了微分定理，而卷积定理则可利用振动的分解及位移定理进行分析.这些性质也可从其他角度出发来尝试理解，比如Hilbert空间、量子力学的表象变换等，但本文的分析较符合学生已有的知识结构.

在教学中进行傅里叶变换的物理诠释不仅能加深学生对以前所学振动、量纲分析等物理知识和方法的理解，提高学生灵活运用积分变换法处理物理问题的能力，而且对后续量子力学、信号与系统等课程的学习很有帮助.

［1］ 杨孔庆.数学物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］ 姚端正，梁家宝.数学物理方法［M］.2版.武汉：武汉大学出版社，1997.

［3］ 刘秉正，彭建华.非线性动力学［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［4］ 张元林.积分变换［M］.4版.北京：高等教育出版社，2003.

［5］ 漆安慎，杜婵英.力学［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

［6］ 梁昆淼.数学物理方法［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010.

［7］ 吴崇试.数学物理方法［M］.北京：北京大学出版社，1999.

［8］ 周世勋.量子力学教程［M］.北京：高等教育出版社，1979.

PHYSICAL EXPLANATION FOR THE BASIC PROPERTIES OF FOURIER TRANSFORM

Tang Rong'an Hong Xueren Xu Hongping Gao Jiming Dou Fuquan
（College of Physics and Electric Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou，Gansu 730070）

Methods of mathematical physics is a basic professional course in physics，In which the integral transform is the basic teaching content in the field of engineers technology.In the course，Fourier transform is always arranged as the primary content in the chapter of integral transforms.Basic properties of Fourier transform are the key points in this part and the critical reason for its wide range of applications.By using the synthesis and decomposition of vibration and the physics dimension analysis，this paper presents the physical interpretation of six basic properties of Fourier transform consisting of linearity theorem，shifting theorem，translation theorem，scaling theorem，derivative theorem and convolution theorem.The discussion and results can not only help the students easily use Fourier transform in physics and signal analysis，but also help them understand the subsequent contents learned in the quantum mechanics，signals and systems，and other physical theories.

Fourier transform；physical explanation；methods of mathematical physics

2015-10-04

国家自然基金项目（11365020，2014.1-2017.12）；甘肃省高等学校基本科研业务费项目（极端条件下电子、离子及原子动力学特性研究，2013.1-2015.12）；西北师范大学教学研究重点项目（物理学专业“云亭班”教学计划实施效果跟踪，2013.7-2015. 7）；西北师范大学教学研究项目（少数民族学生“数学物理方法”多元模式教学探究，2013）

唐荣安，男，副教授，主要从事数学物理方法和力学等课程的教学及研究工作.tangra79@163.com