具有一个分担值集合和亏量的整函数的一个性质*1

王丽

（云南师范大学数学学院，云南 昆明 650500）

具有一个分担值集合和亏量的整函数的一个性质*1

王丽

（云南师范大学数学学院，云南 昆明 650500）

本文主要研究具有一个分担值集合和亏量的整函数的性质，获得的定理推广了前人的结果。

整函数；分担集合；亏值

具有公共分担值集的两个亚纯函数关系的问题是具有公共值的两个亚纯函数问题的推广.这类问题难度较大，对一般类型的公共值集，很难确定两个亚纯函数的关系.在文献［1］里，仪洪勋给出了两个亚纯函数具有一个CM公共分担值集含有两个元素和亏量的一个结果.本文从整函数出发，探讨了具有CM分担值集含有两个元素和亏量的两个整函数的关系，进一步推广了相关结果.

1.预备知识

定义1.3［2］记T（r，f）=m（r，f）+N（r，f）.称T（r，f）为f（z）的特征函数.

下面用S（r，f）表示满足o（T（r，f））（r→∞，r∉E，mesE＜+∞）的量.

定义1.4［1］设f为开平面上的非常数亚纯函数，a为任意复数，定义a对于f的亏值（或简称为亏量）为

容易看出0≤δ（a，f）≤1.

引理1.1［3］设f为非常数亚纯函数，k∈N+，f（k）（z）≠0，则

引理1.2［4］设f与g为非常数整函数，如果1为f与g的IM公共分担值，则

引理1.3［1］设f与g为非常数亚纯函数，1为f与g的CM公共分担值.如果

Θ（∞，f）=Θ（∞，g）=1，及δ（0，f）+δ（0，g）＞1，则f≡g或f·g≡1.

2.主要结论

证明令

又记

我们断言H≡0.事实上，若H≢0，如果z0为f和g的公共单1-值点，在z0附近用Taylor展开代入上式，可以看到，z0是H的零点，从而有

又知H的极点仅可能发生在F'与G'的零点和F与G没有相同级的重1-值点，故

由1为F与G的IM分担值，容易得到

结合（2.1）、（2.2）和（2.3），我们得到

而且，我们有

由（2.4）和（2.5）得

因为F与G为非常数整函数，故由Nevanlinna的第二基本定理得

结合（2.6）和（2.7）得

又因为

于是由上式和引理2.2得

同理可证

又由

其中η=6-3（δ（0，F）+δ（0，F））＜1，T（r）=max（T（r，F），T（r，G））.于是T（r）＜（η+ο（1））T（r），矛盾.

因此，H≡0，又知1为F与G的IM分担值，故1为F与G的CM分担值.

于是，由引理1.3，我们得到F≡G或F·G≡1.

由此即得定理2.1的结论.

3.小结

容易验证f（z）与g（z）以｛1，-1｝为IM分担值集，且δ（0，f）+δ（0，g）=，但f≢g，f+g≢0且 f·g≢±1；这说明定理2.1的结论可能可以减小，但最低也不能低于.

此外，在定理2.1中再添加条件δ（∞，f）=δ（∞，g）=1，则所得结果在亚纯函数上仍成立［1］.

［1］仪洪勋，杨重骏.亚纯函数的唯一性理论［M］.北京：科学出版社，1995：557—567.

［2］杨乐.值分布理论及其新的研究［M］.北京：科学出版社，1982.

［3］林秀清，仪洪勋.分担1IM公共值的整函数的唯一性定理 ［J］，数学进展，2011，40 （1）：79—86.

［4］王丽琴.分担一个集合的整函数的唯一性 ［J］.福建师范大学学报，2011，27（2）：15—20.

［5］Yi H.X..Uniqueness ofmeromorphic functions and a question of C.C.Yang complex Var.theory appl.，1990.14：169—176.

（责任编辑李艳梅）

A Property of Entire Functions Sharing One Value IM and Deficient Value

WANG Li
（School of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming，650500，Yunnan Province）

In this paper，we study the problem of entire functions sharing one value with ignoring the multiplicities and give a resultwhich extend some previous result.

entire function；shared-set；deficient value

O174.52

A

1671-7406（2016）03-0011-04

2016-01-12

王丽 （1993—），女，硕士研究生。