非负弱下鞅的极大值不等式

冯德成，王晓艳，高玉峰

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州　730070)



非负弱下鞅的极大值不等式

冯德成，王晓艳，高玉峰

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070)

给出了两个初等不等式，并运用此不等式得到了非负弱下鞅的极大值不等式.

初等不等式；非负弱下鞅；极大值不等式

1　预备知识

定义1设{Sn,n≥1}是一列L1随机变量，如果对任意1≤i

其中g是任意分量不减的函数且使得上述期望有意义，那么称{Sn,n≥1}是一个弱鞅.进一步,若g是一个非负函数，则称{Sn,n≥1}是一个弱下鞅.

弱鞅的概念是由Newman和Wright[1]于1982年首先提出的.2000年，Christofides[2]将下鞅的Chow极大值不等式推广到弱下鞅的情形.2004年，Wang[3]给出了弱鞅的极大值不等式，推广并改进了Christofides的结果.2013年，Acciaio等[4]利用实数中的一些初等不等式给出了非负下鞅的Doob型Lp极大值不等式.2012年,Prakasa得到了下列非负弱下鞅的两个极大值不等式:

定理A设{Si,1≤i≤n}是一个非负弱下鞅，则对任意的n≥1，有

(1)

(2)

受文献[5]的启发，本文首先给出两个初等不等式，并运用此不等式得到非负弱下鞅的另一种形式的极大值不等式.

2　主要结论

下面给出两个初等不等式.

命题1设x1,x2,…是一列非负实数.

( i )令h(x)=-log+(x)，则

(3)

( ii )当1

(4)

证明(i)由引理1，有

由函数x|→xlog+(x)在x≥0处的凸性，有

整理上式，有

移项整理，既得(3)式.

(ii)对任意的1

对上式两端求和，并运用引理1就有

(4)式得证.】

定理1设{Sn,n≥1}是一个非负弱下鞅，则对任意的n≥1，有

(5)

(6)

证明对非负弱下鞅{Sn,n≥1}运用(3)式，可知

(7)

上式也可改写成

(8)

对(7)式两端同时求期望，可得

再结合(8)式，有

由此(5)式得证.

对非负弱下鞅{Sn,n≥1)}运用(4)式，得

将(7)式代入上述不等式，就有

(9)

(10)

对(9)式两端同时求期望，再结合(8)和(10)式，就有

(6)式得证.】

推论1设{Sn,n≥1}是一个非负弱下鞅，则对任意的n≥1，有

证明对于任意的x≥0，有

取x=e/c,c≥0，则

c-clog+c≤1.

对于非负弱下鞅{Sn,n≥1}中的S1运用上式，即有

S1-S1log+S1≤1a.s.

上式两端求期望，就有

(11)

将(11)式代入(5)式，就有

结论得证.】

[1]NEWMANCM，WRIGHTAL．Associatedrandomvariablesandmartingaleinequalities[J].Zeitschrift ür Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete，1982，59(3)：361．

[2]CHRISTOFIDESTC．Maximalinequalitiesfordemimartingalesandastronglawoflargenumbers[J].Statistics and Probability Letters，2000，50(4)：357．

[3]WANGJian-feng．Maximalinequalitiesforassociatedrandomvariablesanddemimartingales[J].Statistics and Probability Letters，2004，66(3)：347．

[4]ACCIAIOB，BEIGLBOCKM，PENKNERF，etal．AtrajectorialinterpretationofDoob’smartingaleinequalities[J].The Annals of Applied Probability，2013，23(4)：1494．

[5]PRAKASAR．Remarksonmaximalinequalitiesfornon-negativedemisubmartingales[J].Statistics and Probability Letters，2012，82(7)：1388．

(责任编辑马宇鸿)

Maximal inequalities for non-negative demisubmartingales

FENG De-cheng,WANG Xiao-yan,GAO Yu-feng

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The two elementary inequalities are given firstly,and the maximal inequalities for non-negative demisubmartingales is given by using these two elementary inequalities.

elementary inequality;non-negative demisubmartingale;maximal inequality

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.004

2015-10-30;修改稿收到日期:2016-04-01

国家自然科学基金资助项目(11461061)；西北师范大学青年教师科研能力提升计划项目(NWNU-LKQN-11-2)

冯德成(1972—)，男，甘肃武威人，副教授，博士.主要研究方向为随机分析和应用概率.

E-mail:fengdc@163.com

O 211.4

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0014-03