三点共线定理的推论及妙用

陈玉兰　吴志鹏

(福建省德化第一中学，362500)



三点共线定理的推论及妙用

陈玉兰吴志鹏

(福建省德化第一中学，362500)

证明t=0时，结论显然成立.

t≠0时，证明过程如下：

因为C,A,B三点共线,所以

即m+n=t.

连结OP交直线AB于点C,则由三点共线定理可知

综上，得证.

该结论作为三点共线定理的推广，可妙解诸多与向量相关的问题.现在举例如下：

一、妙解系数和问题

例1如图1，已知四边形ABCD中,AB∥CD，AB=2CD,M,N分别是CD,BC的中点,若

解延长AB交MN的延长线于E点,此时M,N,E三点共线.

因为AB∥CD,N是BC的中点，易知∆NCM≌∆NBE,所以MC=BE.

因为M是CD的中点，且AB=2CD,所以

连结EC交AD于点O,此时E,O,C三点共线.过点A作AF∥EC,并交BC于F，由于A为BE的中点，则F为BC的中点.

因为BC=3CD,所以

二、妙解向量问题

解如图3，连结OC交AB于D点.因为OC为∠AOB的平分线,故可令

三、妙解线段比问题

过点M作MN∥OA，交OB于点N.

在Rt∆OMB中,

四、妙解面积比问题

解延长CP交AB于点D.

故选D．

(A)3(B)4(C)6(D)9

上述两题用此法求解简单方便,有兴趣的读者可动手试一试．

五、妙解最值问题

连结AD交OC于点E,此时A,E,D三点共线.

解设OC与AB交于点F,则O,F,C三点共线.

由上述结论知x+y=t.

解连结OP交CD于点E,此时C,E,D三点共线.

因为点P为∆BCD内(含边界)的动点,移动直线l,当直线l过点B时,t有最大值.

连结OB交CD于点F,此时C,F,D三点共线.