基于高斯模型对京津冀地区空气污染的研究

张德鑫，朱家明，朱晗，余湉

(安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)



基于高斯模型对京津冀地区空气污染的研究

张德鑫，朱家明，朱晗，余湉

(安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)

高斯模型；空气污染；模糊聚类；综合评价；F检验

针对京津冀地区的空气污染，使用模糊C均值聚类、模糊综合评价、F检验，分类讨论等方法，分别构建空气质量优劣衡量体系、连续高架点源高斯扩散、瞬时高架点源高斯扩散、连续线源高斯扩散等模型，使用MATLAB、SPSS软件，得到影响空气质量的关键参数。研究结果表明，京津冀地区污染的主要原因分别是机动车的大量使用、工业废气排放以及煤炭与燃油等化石能源燃烧等。

0 引言

人类生产生活排放大量大气污染物，导致城市空气污染日益加重，而京津冀地区的空气污染问题尤为严重，据我国环保部发布的报告2013年6月京津冀地区空气质量重度污染以上天数占21.2%。空气质量级别的明确有利于人们的出行安排，所以需要通过建立一个空气质量评价数学模型来评价各地区、各时间段的空气质量状况，分析其主要污染源的性质和种类，以便做出正确的出行选择，并可在一定程度上改善和治理空气污染[1]。

1 空气质量优劣程度等级的判别

1.1研究思路

以京津冀地区为研究对象，参考国家标准和美国标准建立衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。以河北石家庄作为代表，从气象部门网站调取2014年7月、10月和2015年1月、4月共4个月份的6号、16号、26号北京、天津、石家庄地区的空气质量情况相关指数共36组数据作为样本并依次排序，对这些样本进行聚类分析得到衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。

1.2模糊C均值聚类

首先运用MATLAB软件对样本中的数据进行模糊C均值聚类，结果如表1中所示。

表1　MATLAB模糊C均值聚类结果

其中，t1～t6表示将样本分为6类，其后的数值代表样本的序号。

然后运用SPSS软件对分类的结果进行Friedman检验，对于检验水平为α=0.04，分别采取各类别之间检验与其中2类合并以后检验，显然各类别之间的检验接受原假设比其中2类合并后检验接受原假设更多，这说明各类之间差距较大，同一类中个体之间差异较小，结果符合聚类的基本原则。

1.2.1 构建空气质量等级标准

通过对聚类结果的检验和分析，将分成的6类结果人为定义为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染和严重污染6个空气质量优劣程度等级，再对其每个等级的各参数指标数据进行如下处理：

在a、b、c中选取合适的数值代表每个空气质量等级的各指标所在范围，注意同一指标的上下范围要连贯，空气质量优劣程度等级划分如表2中所示。

表2　空气质量等级标准

再运用公式：

其中，I为空气质量指数，即FQI，是输出值；C为污染物浓度，输入值；Clow表示小于或等于C的浓度限值；Chigh为大于或等于C的浓度限值；Ilow是对应于Clow的指数限值；Ihigh是对应于Chigh的指数限值，Clow、Chigh、Ilow、Ihigh皆为常量。利用该公式，根据污染物浓度C，可以方便地计算出空气质量指数I，再与表1相对照，判断其空气质量属于何种等级。

1.2.2 模型的检验

假若给定某城市某日24时各污染物平均浓度，即可按照已建立的模型算出其FAQI，再根据空气质量等级标准表对照判断出其空气质量状况如何，可通过按照国家标准和美国标准计算其空气质量指数AQI与表3中的国标和美标浓度限值相对照，检验其结果的正确性。

表3　国家标准和美国标准污染物浓度限值

2 不同污染源下空气污染扩散研究

2.1相关指标公式

(1)公式I 瞬时污染气体排放量

瞬时污染气体排放量主要针对的是排放一段时间污染气体后短时间内不再排放的情况，假设排放的气体不发生任何化学反应且没有其它气体的混入时，将之前排放量看作是接下来一段时间内的瞬时排放量，即：

Q=CVΔt

(2)公式Ⅱ单位时间污染气体排放量

点源污染气体的排放连续，用单位时间污染气体的排放量来研究对浓度的影响，即：

(3)公式Ⅲ 烟羽抬升高度估计

烟羽抬升是指烟气离开排放源后因初始动力和热力作用而继续上升并逐渐变平的过程。烟囱排出的烟气既有一定的出口速度，烟气的温度也高于出口处的环境大气。这样烟流在动力和热力的作用下，在一定条件下可抬至相当的高度，后在空气阻力和重力的作用下沿风的方向上变平。查阅有关文献可知，其标准公式：

Δh=2(1.5VD+0.04QH)u-1

式中，V表示烟气出口速度(立方米每时),D表示烟囱口内径，QH为排热量(kcal /s)，u表示烟囱顶处的平均风速(m·s-1)。

(4)公式Ⅳ污染源有效高度

污染源的有效高度包括烟囱的实际高度和烟羽抬升高度：

H=H0+Δh

2.2建立连续高架点源高斯扩散模型

2.2.1研究思路

假设污染气体排放的过程中不被吸收且未发生化学反应。以有效污染源为坐标原点，风向所指方向为X轴正方向，构建空间坐标系。污染气体沿X轴向横侧和垂直方向自由扩散，假设Y轴、Z轴上浓度分布服从二维正态分布。先从不考虑地面障碍物着手，对下风向点浓度建立高架点源高斯扩散模型，再结合形象图利用镜像对模型进行完善，构建下风向点浓度函数。而在点源的实际扩散过程中，污染气体可能会受到地面障碍物的影响。在凌晨5点至上午8点和下午4点至晚上9点这2个时间段上不再排放污染气体，可将其看成瞬时排放，构建瞬时高架点源高斯扩散模型。而早上9点至下午3点、晚上10点至凌晨4点2个时间段上污染源连续排放污染气体，对其构建连续高架点源扩散模型。最终将数据代入模型进行求解，根据各个下风向点浓度可知空间污染浓度分布，再对照空气质量指标可判断出空气质量等级。

2.2.2模型的建立

(1)不考虑地面障碍物的影响

a.下风向点浓度分布和空间坐标以及单位时间排放量有关，构建浓度函数：

C=C(X,Y,Z,t)

b.以有效污染源为坐标原点，风向所指方向为X轴正方向，建立三维空间坐标系。污染气体沿着X轴横向、垂直自由扩散，单位时间内对下风向点浓度函数进行积分等于单位时间内的污染气体排放量：

∬C(X,Y,Z,t)dYdZ=q(t)

c.假设污染气体沿X轴，随风向Y轴、Z轴方向上自由扩散相互独立且服从二维正态分布。在不考虑地面障碍物的影响下μy=0,μz=0,可构建二维正态分布密度函数，并化简可得风向点浓度函数为：

(1)

(2)考虑地面障碍物的影响

a.假设有效污染源位于与地面相距H处，以有效污染源为坐标原点，风向所指方向为X轴正方向，建立三维空间坐标系。假设下风向点K位于离地面z处，根据不考虑地面障碍物影响下风点浓度密度函数可知：

b.由于考虑地面障碍物的影响，某部分气体从始源出发扩散碰到地面发生全反射，又折回地面上空，刚好到达下风向点K。2次浓度发生叠加，也就是区别于不考虑地面障碍物的影响。而叠加上去的浓度就相当于将有效污染源关于地面的镜像点为污染源，不考虑地面障碍物影响自由扩散到下风向点K的浓度，K点在Z轴方向上坐标为(z+H)，可得叠加上去的浓度为：

由此可知，考虑地面障碍物影响下风向点K的浓度函数为：

(2)

2.3建立瞬时高架点源高斯扩散模型

2.3.1模型的分析与构建

与上述模型的构建思路相同，唯一的区别就在于对某一时间点上的下风向点浓度进行积分等于瞬时污染气体排放量且烟羽抬升高度为零，因此按照上述模型的思路可构建瞬时高架点源高斯扩散模型，求得考虑地面障碍物影响下风向点K的浓度函数为：

(3)

2.3.2模型的参数估计与求解

(1)扩散参数σy,σz的估计

查阅有关文献，我国GB3804-91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》采用如下经验公式确定扩散参数σy,σz：

σy=γ1Xα1, σz=γ2Xα2

式中，γ1,α1,γ2,α2称为扩散系数。这些系数由实验确定，在一个相当长的X距离内为常数，可从GB3804-91文献的表中查取。

(2)烟羽抬升高度估计

假定该工厂的烟囱内径为d(m),排热量为qh(kcal/s)，以烟囱出口处的环境风速us( m·s-1)估计烟囱顶处的平均风速。问题三中要求解的各个时点上的烟气出口速度各不相同,由于早上8时、中午12时、晚上9时的烟气出口速度分别为V1=0m3,V2=1 200m3/h，V3=0m3/h，代入公式可得早上8时、中午12时、晚上9时的烟羽抬升高度分别为：

Δh1=0，Δh2=2(1 800d+0.04qh)us-1，Δh3=0

(3)各时点污染浓度函数

早上8点属于凌晨5时至上午8时，符合瞬时高架点源高斯扩散模型,排放浓度C1=1 160 mg/m3，排放速度为V1=5 700 m3/h，间隔时间Δt=9 h，在下风距离X=51 000 m，烟囱高H0=50 m，将数据代入公式(3)即可求解出下风向点浓度函数，如下：

中午12点是属于上午9时至下午3时，符合连续高架点源高斯扩散模型，这时的排放浓度为C2=406.92 mg/m3,排放速度为V2=1 200 m3/h，在下风距离X=51 000 m，污染源的有效高度为H=H0+Δh2，将数据代入公式(2)可求解出中午12点下风向点浓度函数，形式见上。晚上9点属于下午4点至晚上9点这段期间，符合瞬时高架点源高斯扩散模型，求解过程同早上8点。

最后，将求得数据转化为AQI指数，对照空气质量指标判断空气质量等级。

2.4连续高架线源高斯扩散模型

2.4.1 研究思路

多污染源是指n个点污染源在n→∞时的情况，此时可将无穷多个密集的点看成连续状态下的污染发生源，即从点到线，构造线源排放模型。利用此模型对北京环城高速的汽车污染排放情况进行评判，作出时序图分析空气污染浓度梯度变化，并利用PAQI评判空气质量等级，最后基于谨慎性原则再利用AQI二次评判。

2.4.2模型的构建

假设气象条件恒定不变且风向水平。污染气体沿X轴向横侧和垂直方向自由扩散，假设Y轴、Z轴上浓度分布服从二维正态分布。假设相对于观测点，高速公路平直且无限长，则利用积分可得高斯线源排放模型。并利用模型，综合统计数据，求解分析2015年1月16日北京二环、四环(5 km)六环路(20 km)早上8点、中午12点、晚上9点时空气污染浓度梯度变化及空气质量等级。

利用点源的空气扩散高斯模型，对Y积分得到无限长连续线源高斯模型模型数学表达式，如下：

再考虑风向，则可解得地面浓度为：

其中ρ为任意一点污染物的浓度，q(kg/h)为排放量，H为有效源高H=HS+ΔH,HS为几何高度，ΔH为烟羽抬升高度，β为风向与线源的夹角。

3 北京市空气状况分析

3.1问题的简化

由于高速公路相对于观测点为无限长，不存在线源末端，故选择采用无限长连续线源高斯模型模型求解汽车尾气排放污染浓度。

首先，基于求解需要，对北京二环、四环、六环图形进行简化如图1所示。

图1　北京二、四、六环城高速公路(从下向上)简化图

收集北京市2015年1月13日至1月16日的天气情况整理如表4所示。

表4　北京天气

3.2问题的的求解

3.2.1不考虑公路之间的相互影响

当在环城高速上测量的时候，可将与污染物的距离视为0，构造极限如下所示：

对原初式运用洛必达法则求极限值，由于分子分母均为初等函数，排放量q与x无关，所以，其极限存在。令

3.2.2考虑公路之间的相互影响

先假定下风向对上风向的影响忽略不计。考虑各公路之间的影响，需要引入各环城高速之间的距离。通过查阅文献资料得知，北京市第二环城高速与第四、第六环城高速的平均水平距离为6 km与21 km。依照距离以及公式组可以算出公路之间污染物扩散的影响浓度。

二环对四环的影响(6km)，用公式(b)和公式(e)，即

令其中的常数项

综合自身污染状况与其它路径干扰，得到北二环、四环、六环的污染浓度表达式如下：

由于汽车是北京市氮氧化物的主要排放者，所以直接用氮氧化物的指标来计量空气质量等级，也就是这里的排污量q。并用氮氧化物排放的指标变化来反映北京市空气污染浓度梯度。通过查找相关文献，了解到每千辆汽车每天排出一氧化碳约3 000 kg,碳氢化合物200～400 kg,氮氧化合物50～150 kg。调查得北京市二、四、六环限行前后车流量情况如表5所示。

表5　北京市二、四、六环车流量/(千辆/h)

表6　北京市二四六环q值

表7　未限行北京市二四六环ρ值

表8　限行后北京市二四六环ρ值

将此值与国家标准比较即可得到空气质量指数，继而通过分级表查询得到空气质量等级。

将参数视为常参数，考察北京市二、四、六环限行前后值表与部分数据，可得到：从时序上看，浓度从8点到21点顺次递减；从空间上看，四环的污染物浓度最高，其次是二环，最末是六环。

限行前后比对，所有路线污染物浓度均显著下降，该政策效果显著。

4 结论

(1)通过对模型的求解结果分析得知影响空气质量的关键参数指标有：风速、大气情况、污染源模式、污染源排污状态(排放浓度与排放速度)、地面是否有障碍物等。

(2)空气质量的优劣与人们的生活息息相关，治理京津冀地区的空气污染迫在眉睫。

[1]http://www.saikr.com/wuyi/2/1427.html.

[2]王寒梅,贾秩然. 大气污染物扩散模型应用研究[J].辽宁师专学报,2006,08(02): 78-79.

[3]邹本东,徐子优.因子分析法解析北京市大气颗粒物PM10的来源[J].中国环境监测，2007, 23(02)：79-85.

[4]孙庆珍,董晓马.大气点源扩散模型的GIS可视化研究[J].测绘科学,2011,36: 24-26.

[5]刘克强.烟羽抬升估算和观测方法[J].辐射防护通讯,1986,47-49.

[6]王文,于雷.基于高斯线源模式的主要尾气扩散模型综述[J].交通环保, 2004,25(05):7-10.

Research on Air Pollution in Beijing-Tianjin-Hebei Region Based on Gaussian Model

ZHANG De-xin, ZHU Jia-ming, ZHU Han, YU Tian

(College of Statistics and Applied mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

Gaussian model; air pollution; fuzzy clustering; comprehensive evaluation; and F-test

This article is about the air pollution, using fuzzy c-means clustering, fuzzy comprehensive evaluation, F-test, the methods of classification discussion, each building air quality measurement system, continuous Gaussian diffusion overhead Gaussian diffusion, instantaneous point source elevated point sources, such as continuous line source Gaussian diffusion model, the use of MATLAB, the SPSS software, get the key parameters affecting the quality of the air, and it is concluded that the main causes of pollution in Beijing-Tianjin-Hebei Region are the use of motor vehicles, industrial emissions and conclusions such as the burning of fossil fuels such as coal and oil.

2095-2716(2016)03-0124-09

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