建构推理模式，学会数学思考——小学数学推理能力培养的教学研究

□江苏省苏州工业园区独墅湖学校 仲秋月

建构推理模式，学会数学思考
——小学数学推理能力培养的教学研究

□江苏省苏州工业园区独墅湖学校 仲秋月

推理是数学的基本思维方式，在数学知识形成和解决问题过程中起着至关重要的作用。数学推理模式本质上有两种，分别是合情推理和演绎推理。作为数学基本思想之一，推理贯穿于数学教学的始终。只有遵循学生推理思维能力形成的规律，注重教学中的培养方法，才能让学生在数学学习活动中逐步积累经验，建构推理模式，从而真正学会“数学地思考”。

小学数学 合情推理 演绎推理

《数学课程标准（2011年版）》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理能力的发展贯穿于数学学习过程中。”对于数学，本质上有两种推理模式，分别是合情推理和演绎推理。合情推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，通过合情推理得到的结论是或然的。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，通过演绎推理得到的结论是必然的。

推理作为一种基本数学思想是“不可教”的，小学生推理能力的培养蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中。因而，教师惟有在教学中设计适当的学习活动，讲究教学方法，引导学生通过观察、联想、计算、归纳、类比、画图、表达等活动，经历知识形成及问题解决的思维过程，明晰思考问题的路径和方法，通过丰富数学活动经验来逐步建构推理模型，才能使学生真正地学会“数学地思考”。

一、合情推理能力的培养：经历过程，感悟思想

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果的推理模式，主要包括不完全归纳推理、类比推理和统计推理。它是以观察、体验多个事例、活动后所获得的经验为根据，归纳出一些概括性原则的思维过程，在数学学习中用于形成知识、归纳法则和发现规律等，是小学生进行数学学习的一种主要的思维模式。

1.精选素材引发直观与类比。数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理。小学数学中，计算法则、定律、性质等数学知识大多都是通过不完全归纳推理和类比推理形成的，这一推理模式的思维基础是直观与联想。不完全归纳推理是以某类事物中部分对象的判断为前提，推断出这一类事物全体对象的判断结论的推理。而类比推理是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理。概括地说，这两类合情推理均以某些判断为前提，由直观与联想引发猜想，最终形成一般结论。在数学教学中，如能精选适当的教学素材便会有利于学生引发数学直观，激活思维，提出猜想，形成结论。

2.问题驱动展开探究与归纳。让学生在有限的课堂教学时间内经历人类数学形成和发展的过程，经历数学知识“再创造”的过程，对于数学教学来说是一个不小的挑战。因而，我们必须以恰当的情境和适切的问题引领探究活动，让学生能够快速地定位研究的切入点，并顺着一定的方向、带着问题进入情境，有效地获取活动情境所承载的数学信息展开探究活动。再者，合情推理的探究活动和其他数学内容的教学相比，学生的主体地位更加突出，自主性更加明显，个性化更加强烈，适切的问题能较好地激发学生数学探究的主观能动性，提升创造能力。

3.深入引导促进观察与比较。数学规律常常不是显而易见的，需要通过观察、比较和归纳逐步发现。在呈现具体实例之后，教师巧妙而又深入的点拨引导能为学生的观察和比较指引方向，帮助学生提取和组织关键信息，进而对初步形成的表象进行“精加工”，最终得出结论。

二、演绎推理能力的培养：掌握方法，发展思维

演绎推理是从假设和定义出发，按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。三段论是演绎推理的基本模式，包括大前提、小前提和结论三部分，三部分之间具有严格的逻辑关系和传递关系。在小学数学中，虽然没有运用演绎推理进行严格证明的内容，但计算、判断和解决问题等的思维活动大多是演绎推理。

1.借助正推反证发展思维严谨性。先看这样一个教学实例：学生在学习简便运算后，计算812-57+43这一题会错误地算成812-（57+43）。经过调查分析可知，学生主要存在两类错误原因。（1）学生已知运算律为：a-b-c=a-（b+c），但在计算这题时受到数据特征影响，将812-57+43误看成812-57-43。分析推理过程如下：如果用A表示“所有的连减算式”，用B表示“某一个连减算式”，用Ω表示这条运算律，那么正确的推理关系式：B，然而，这一题中的B为“812-57+43”，BA，因此推理不成立。（2）学生自认为有运算律：ab+c=a-（b+c），这种情况中大前提是错误的，因此推理不成立。可见，正确的大前提和正确的包含关系才能建立具有传递性的推理过程。

在连减运算律的教学中，一方面通过算理分析建立正确的计算规律，另一方面我们也可以引导学生继续探究形如a-b+c的运算规律，得出a-b+c=a-（b-c），通过两式对比进一步抽象规律，从而打破减法运算律的单一性，弥补认知的缺失。与此同时，反推验证也不失为演绎推理训练的一种方法。运用假言推理：如果可以算成812-（57+43），则个位为2，而原式812-57+43的个位为8，产生矛盾，因此这样推算不正确。

数学的思维方式是人类各种思维方式中最为精细的也是最为精确的一种，从过程到结论，都必须是确定无疑的。在小学数学教学中，由于小学生年龄特征的限制，小学数学教材里的数学知识未必是严密的，也不要求每一个结论都用严格的逻辑证明来实现，但在学习过程中仅依靠合情推理得出结论是远远不够的。教学实践中要确立“推理与证明”的意识，始终保持严谨思考的要求，理解演绎推理的必要性，能有条理地思考并表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据。

2.借助图示表格发展思维逻辑性。数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系。如果将能将隐性的推理关系显性化、可视化，能有助于学生在头脑中将概念之间的关系形成层级式表征，明晰各对象之间的关系，深入关系的本质，理解并运用推理思维开展数学活动。如苏教版小学数学第七册教材中一道比较复杂的三步计算实际问题：王大伯第一天收获30筐土豆，共重750千克，第二天比第一天多收获10筐。照这样计算，第二天收获多少千克？这一题可以列表分析如下：

显然，在填写表格的过程中数量关系经过了整理，“筐数”与“质量”这两类数量建立了对应关系，便于学生根据已知条件推理中间量，而在填写“第二天”的筐数时将推理步骤转移到表格上，无形中降低了思维难度，对于思维能力不强的学生来说就有了思考的“拐棍”。

还可以利用关系图辅助推理：

或者运用线段图：

在图中，一段表示10千克，通过比较能发现，第二天多了这样的一份，还可以这样解答：750+750÷（30÷10）。从这个实例可以看出，以图示表格作为思维工具，不仅能展示条件之间的显性关系，发展思维的条理性，还能挖掘条件之间的隐性关系，发展思维的逻辑性和创造性。

3.借助数学语言发展思维条理性。引导学生想清思考过程，并用准确的数学语言表达，能让学生加强对数学命题的理解和运用。小学阶段的演绎推理一般用口头语言、简单的数学关系式和计算算式等来表达。例如，506000、50600、500600这三个数比较大小时，有序思考才能有序表达：先比较位数，50600是五位数，506000和500600是六位数，50600的位数比它们少，所以是最小的；506000和500600两个数位数相同就从最高位比起，最高位相同再比下一位，千位上6＞0，所以506000＞500600。

可见，以上问题解决的过程均以演绎推理的方式逐步展开，每一步之间都有一定的逻辑关系，环环相扣。这一类逻辑严明的演绎推理题例，我们不仅要给予学生充足的时间思考，还应给予学生充足的时间表达。教师可以让学生先自己说，然后跟同学说，再面向全班说。“自我语言”除了有表达的功能以外，还有策划的功能。这个过程学生回顾反思演绎推理的过程，当用口头语言或书面语言进行表达时，思维又经历了一次“再加工”，于是不仅锻炼了数学表达的能力，优化了表达的方式，更促进了思维的条理性和“元认知”的发展。