“切线长定理”教学设计

黄丽萍（四川省宜宾市南溪一中外国语实验学校）

“切线长定理”教学设计

黄丽萍（四川省宜宾市南溪一中外国语实验学校）

对切线长定理的探究及证明过程设置为四个活动，通过“观察—猜想—验证—证明—应用”，总结出研究“切线长定理”这类数学问题的方法，在这个过程中激发学生思维，培养学生的合作精神，渗透从特殊到一般的数学思想，培养学生的形象思维和抽象思维能力.

自主探究；合作交流；应用拓展

教学内容解析

1.教材内容

“切线长定理”是华东师大版《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十七章“圆”的第二节的内容，主要学习切线长定理及其简单应用，着重研究切线长定理的证明．

2.教学重点

切线长定理.

3.地位作用

本节课的内容是切线长定理，它是在学生学习了切线的定义、判定和性质的基础上，继续对切线的性质的研究，是直线与圆位置关系的重点内容，也是继垂径定理之后对圆的对称性再一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，既是前面知识的延伸，又是后面学习的基础，更是今后证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例等的重要工具．

教学目标

（1）理解切线长定义，掌握切线长定理，并能初步运用；

（2）引导学生经历观察、猜想、验证、证明、应用活动，培养学生的合作交流意识和创新意识，提高数学建模能力，训练发散思维；

（3）通过对切线长定理的猜想和证明，培养学生严谨的思维能力和严密的演绎推理能力．

教学问题诊断分析

1.学生学情分析

（1）知识基础.

学生已具备轴对称、勾股定理、相似三角形、圆的对称性、切线的判定与性质等知识基础.

（2）活动经验.

学生具有一定的动手操作、自主探究、合作学习的经验.

（3）能力特点.

学生具有初步的演绎推理能力，但证明命题的能力尚未完全形成.

2.教学难点

切线长定理的探究并证明．

3.突破难点的策略

通过情境创设，激发兴趣．设置层层深入的问题，用巧妙的语言调动学生积极思考，采用不断追问的方式，逐步引向深入，培养学生严密的思维习惯．鼓励学生动手操作，合作交流，经历探索过程，得出结论．通过归纳小结和方法提炼环节，让学生内化本节课的知识和方法，从而突破难点．

教学策略分析

1.教材处理

（1）将本节内容细分为两课时.

教材把切线长定理及三角形内切圆合为一课时，探究内容和问题设计稍显单薄．为了丰富教学内容，体现深入探索切线长定理的重要性，在教学设计时将其分为两个课时，本节课是第一课时，只研究切线长定理的探索证明过程．

（2）保留教材探究，改编课后练习.

教学设计中保留了教材中“根据实例，由特殊到一般，运用动态的变换方法，通过合情推理，发现图形的性质，然后通过演绎推理证明这一性质”的探究内容，为了加深对切线长定理的理解，使学生学会发现、分析、解决问题，培养学生正确应用所学知识的能力，笔者还对教材课后练习进行了挖掘，将教材习题进行改编，放在切线长定理的证明之后，作为对新知识的简单应用．

（3）补充拓展延伸.

由于笔者所教班级的学生数学基础较扎实，接受新知的能力较强，因此补充了拓展延伸，提出开放性问题，对图形进一步剖析，从而让学生品尝发现结论所带来的快乐，满足学生的学习需求，培养学生思维的完整性和深刻性．

2.教学方法

根据本节课的教学目标、教材内容以及九年级学生已基本形成的逻辑推理的思维能力，若利用形象直观的教具和生动的几何画板软件，则可以辅助学生抽象思维的进一步形成，所以教学时采用直观演示实验以及猜想论证法，然后加以引导、启发学生，让学生经历观察、画图、猜想、论证，以及讨论、分析、演示相结合的教学过程，意在帮助学生通过自己动手试验、分析归纳，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解．

3.学习方法

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动、勇于探索的学习方法.因此，本节课主要采取动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生猜想、论证、应用，建构起自己的知识结构，使学生成为学习的主人．

4.教具准备

教材、多媒体课件、实物投影仪、圆规、三角板等．充分利用现代信息技术，使学生通过形象直观的感觉，加深对知识的理性认识．

教学过程

1.创设情境，引入新课

欣赏生活中的图片，并提出问题.

问题1：在如图1所示的照片中有哪些几何图形？

图1

学生活动：学生欣赏图片，思考、反馈，体会生活中的几何图形，并大胆说出自己的看法．

【设计意图】从生活中的实例引入新课，激发学生的学习兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，同时对过圆外一点可以画圆的两条切线形成初步的感性认识．

2.合作学习，探究新知

活动1：画一画.

问题2：在如图2所示的圆外任找一点P，并画出⊙O的两条切线？

学生活动：学生借助三角板，应用切线的判定画出切线.

图2

师：在实际应用中，我们根据需要，经常求点P与切点间的距离，因此，需要给出一个定义．

学生活动：学生独立思考，感知概念，充分理解切线长定义，正确区分切线和切线长．

（1）切线长.

①定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

②切线与切线长的区别.

切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长，可以度量．

【设计意图】从生活中的实例引入新课，激发学生的学习兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，同时对过圆外一点可以画圆的两条切线形成初步的感性认识．

活动2：折一折.

图3

问题3：若将图3所示的图形沿直线OP翻折，你能发现什么结论？

猜想：PA______PB，

∠APO______∠BPO.

问题4：过圆外任意一点画圆的两条切线都有这样的结论吗？

教师活动：利用几何画板软件分别变动圆外点P的位置及圆的大小，让学生观察线段PA与PB，∠APO与∠BPO是否相等？验证发现的结论，并引导学生归纳结论.

学生活动：学生通过动手翻折，以及利用几何画板软件展示，观察PA与PB，∠APO与∠BPO的大小关系，对线段长度、角度大小等问题进行多角度观察思考，寻找不同的解决问题的方法．全班互动交流，展示探究成果．

【设计意图】学生通过翻折、观察PA与PB，∠APO与∠BPO之间的关系，进而发现、猜想切线长定理，并用自己的语言表达出来，发挥学生的主体作用．几何画板软件的使用让静止的图形运动起来，使问题变得更加生动形象．这样的设计渗透了从特殊到一般的数学思想，培养学生的形象思维和抽象思维能力.

问题5：试用文字语言叙述刚才的结论？

学生活动：通过观察、猜想，同桌相互交流，归纳出结论．

（2）切线长定理.

定义：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

学生活动：学生指出切线长定理的题设和结论．

剖析定理：①指出定理的题设和结论；②结合图形，用符号语言表示定理，即如图4，若PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，则PA=PB，∠APO= ∠BPO．

图4

【设计意图】此环节让学生熟练掌握定理的三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的表示以及相互转化．

活动3：证一证.

问题6：试证明你所发现的结论．

教师活动：切线长定理证明的教学方式采用学生自主探索与合作交流相结合，首先采取多种方式进行探索，等学生猜想出结论后，再明确告知学生，仅凭照片观察、折叠展示、动态演示，并不足以说明结论的严谨性，还需通过演绎推理证明结论．因此，要启发学生寻找证明的方法．

问题7：证明命题的步骤有哪些？

学生活动：学生独立思考，写出证明过程，再投影其过程．

第一步：分清命题的题设、结论；第二步：画图；

第三步：结合图形，写出已知、求证．

已知：如图5，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B．

求证：PA=PB，∠OPA= ∠OPB．

图5

第四步：写出证明过程．

【设计意图】让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中对学生的推理能力的要求既有合情推理，又有演绎推理.在直观感知、操作确认的基础上，努力提高学生的直觉能力和合情推理、数学说理能力.《标准（2011年版）》的意图是大力培养合情推理的基础上发展学生的演绎推理能力.对学生来说，不仅要掌握证明的基本方法，同时也要理解证明的必要性，即证明在数学中的重要意义.

3.应用拓展，体验成功

已知：如图6，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B．求：

图6

（1）若OP=10，⊙O的半径为6，则PA=_____，PB=______．

（2）若OA=4，OP=8，则∠APO=_________，∠APB=________，∠CAB=________．

学生活动：第（1）小题由学生独立思考，回答问题，第（2）小题由同桌交流，展示方法．

【设计意图】此题让学生学会运用切线长定理来解决线段、角的问题，加深对切线长定理的理解，使学生学会发现、分析、解决问题，培养学生正确应用所学知识的能力．

问题8：在图6中连接AB，不难发现∠APO= ∠CAB，这个结论是否具有一般性？

学生活动：学生在问题的引导下进行深入思考，探究拓展．

【设计意图】问题8通过看似巧合的两角相等，把研究的对象从特殊引向一般，引导学生把握其内在规律，激发学生的探究欲望．

活动4：探一探.

拓展延伸：如图7，P是圆外一点，PA，PB是圆的两条切线，A，B是切点，我们知道AP= BP，∠APO=∠BPO．

图7

学生活动：学生动手操作，小组合作交流，感知多种结论，相互补充完善结论，优化列举，最后展示其成果，并说明理由．

问题9：若添加辅助线，你还可以推出哪些结论？

（1）____________________________；

（2）____________________________；

（3）____________________________；

（4）____________________________；

（5）____________________________．

学生活动：学生通过添加辅助线，小组合作，共同探究发现OP垂直平分弦AB，进而得到弧相等、弦相等、角相等、三角形全等、三角形相似等结论．

【设计意图】此处教师提出开放性问题，不仅能有效地提高学生的学习热情，培养学生自主学习的能力，还有利于培养学生的合作能力和创新精神．为以后解决相关的几何问题提供了思路．

在本节教学中，笔者注意突出定理的探究过程，重视学生主体地位的落实，让学生通过自主学习，合作探究，经历观察、猜想、验证、证明、应用等基本数学活动，探索切线长定理，从而品尝了发现结论所带来的快乐，培养学生思维的完整性和深刻性．

4.梳理小结，盘点收获

课堂小结时，让学生畅所欲言，谈谈这节课的收获是什么．教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫．

学生活动：学生从数学知识、思想方法等方面进行全面总结．

教师引导学生总结：

（1）知识价值：切线长定理.

（2）模型化思想：证明命题的基本步骤及数学建模能力（基本图形）.

（3）数学思维及思想方法：从具体到抽象，从直观、合情推理到严密逻辑推理的思维过程，使学生体会数学发展的过程及数形结合的数学思想，从特殊到一般、分类与整合等．

【设计意图】通过小结为学生创造交流的空间，引导学生参与总结，调动学生的积极性，反思自己的学习过程，让学生形成知识网络，完善认知结构.培养学生归纳、概括的能力，使本节课的知识得到梳理，学生的潜能得到挖掘．

5.推荐作业，巩固拓展

（1）必做题：教材第55页的练习1，2，3题．（2）选做题：思考题．

如图8，PA，PB是⊙O的切线，切点为点A，B．求AC 与OC，CP有何数量关系？

图8

学生活动：学生课后完成必做题，选择完成选做题．

【设计意图】在作业布置上分两部分，即必做题及选做题，让不同层次的学生都能得到发展.

最后，教师带领学生再次欣赏如图1所示的照片．

【设计意图】首尾呼应，体现数学来源于生活，最后应用于生活．

设计说明

1.设计理念

（1）采用“观察—猜想—验证—证明—应用”五步教学法的形式研究这类有规律性的数学问题，达成教学目标，也充分体现新课程的教学理念．

（2）注重数学思想方法的渗透，探究过程中学生经历由特殊到一般，模型化思想，提高学生的建模能力，进而培养学生严密的演绎推理能力．

（3）小组评价表（略）的作用：激励学习兴趣，同时对教学过程进行一个客观、理性的反思．

2.教学反思

（1）目标达成（目标检测）.

初步达成进一步达成达成活动1　　课堂学习目标1活动2，3　　课堂学习目标1，2活动4　　课堂学习目标2，3归纳小结，方法提炼　　课堂学习目标1，2，3内化

（2）课堂评价.

在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基础知识的掌握情况和解决实际问题的意识和能力；其次，在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信心，充分发挥学生评价表，培养学生集体荣誉感．同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会相互欣赏、学习和借鉴．

（3）课后反思.

在整节课中，学生对教师创设的问题很感兴趣，他们积极思考、主动探究，踊跃回答问题.通过分组讨论、上台展示、师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路.学生的表现超出了笔者的预期，整节课在轻松愉悦的环境下达到学习目标．

在活动4中，笔者抛出开放性问题后，学生通过自主探究，小组交流，发现了很多有用的结论，全班同学积极发言，都迫切希望上台展示，但是由于时间关系以及本节课重点是探究、证明切线长定理，因此没能够让学生充分展示自己的结论.使得得出成比例线段、有关面积结论问题的学生较少，若能再给学生一些独立思考和交流的时间，相信效果会更好．

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］朴昌虎，杜乙霞.有效教学的灵魂是以生为本：切线长定理教学案例与分析［J］.延边教育学院学报，2011（2）：52-55，58.

［4］刘金英，何志平，贯忠喜.2012年中考数学试题分类解析：空间与图形［J］.中国数学教育（初中版），2013（1/2）：54-69.

［5］章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考，2010（3）：2-5.

黄丽萍（1989—），女，中学二级教师，主要从事中学数学教育教学研究.

2015—11—26