“用坐标表示平移”教学设计

银　玲（四川省德阳市第五中学）

“用坐标表示平移”教学设计

银玲（四川省德阳市第五中学）

在数学中，平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，而用坐标表示平移就是用代数的方法对几何问题进行研究，体现了平面直角坐标系在数学中的作用.基于学生的认知水平，教材的要求，实际的要求，利用多媒体展示教学部分环节，以支持课堂教学，突出重点，突破难点，使学生在探索图形平移变换的过程中初步建立空间观念，体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，感受数形结合思想，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.

猜想验证思想；数形结合思想；转化思想

教材与学情分析

1．教材分析

教学内容：“用坐标表示平移”是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第七章第二节的内容，主要研究点（或图形）的平移引起的点（或图形上的点）坐标的变化，以及点（或图形上的点）坐标的变化引起的点（或图形）的平移.

教材的地位及作用：本节内容，是在学习了点（或图形）平移及其性质，以及平面直角坐标系有关知识的基础上，用坐标刻画了平移变化，从数的角度进一步认识平移变换，这是用代数方法研究几何问题，是对平面直角坐标系的应用.使学生在探索图形平移变换的过程中初步建立空间观念，感受数形结合思想.为后续学习利用平移变换、坐标变换探究几何性质，以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计打下了基础，同时为后续学习函数的图象和性质提供了方法和依据.

2．学情分析

知识基础：学生在本册教材第五章“相交线与平行线”已经学习了平移的概念和平移的性质，从教材中可以看出，第五章的平移和用坐标表示平移的认识编排基本上是一致的.学生已经经历了平移的学习过程，学习本节课相对比较容易.

认知水平与能力：学生在日常生活中已经初步接触到平移的相关问题，并对实际操作活动有浓厚兴趣，对直观事物感知欲强，是形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，但探究归纳能力还未完全形成.

授课班级学生特点：授课班级学生求知欲强，具有较强的合作探究能力，对小组合作这种形式的学习方式很感兴趣，有较强的参与欲望.

目标分析

（1）掌握图形的平移和图形上点的坐标的变化规律，会根据图形上点的坐标变化来判断图形的平移过程.

（2）通过探索点或图形的平移和坐标变化的规律，图形各个点坐标变化与图形平移的关系过程，学会揭示数学的本质，进一步认识到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，初步建立空间观念，体会平面直角坐标系在数学中的重要作用.

（3）通过本节课的学习，体会数形结合思想，经历从特殊到一般的数学思维方式.

（4）培养学生主动探索，敢于实践的精神，让学生在已有的知识基础上学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣.

教学重、难点

教学重点：掌握坐标变化和图形平移之间的关系.

教学难点：结合坐标系理解和归纳坐标变化和图形平移之间的关系，并应用其解决实际问题.

教法、学法

教法分析：本节课采用以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同探究，解决问题.为了更大限度地调动学生的主动性和积极性，在教学中笔者并不是直接提供现成的知识，而是营造促使学生相互捕捉对方想法的教学氛围.主要采用的教学方法为：实验演示法，引导发现法.为每名学生创设平等参与的机会，使他们敞开心扉，显露个性才华.

学法分析：自主实验探索和合作交流是学习数学的重要方式，因此本节课改变了过去接受式的学习方式，学生不是等待知识的传递，而是主动地参与到学习活动中，成为学习的主体.

教学手段：使用多媒体辅助教学.

教学诊断分析

（1）在总结规律时，不希望学生死记硬背“右加左减，上加下减”，这可能会对学生后续的学习造成干扰，所以在课堂上没有过分的强调，而是引导学生结合坐标系把四个方向上的平移转化成为两个方向上的平移，并用字母表示出一般规律.

（2）实际上，学生在研究完点沿水平和竖直方向的平移后，自然就会发现点可以沿任意方向进行平移，此时学生就会产生一种强烈的求知欲，想知道水平和竖直方向以外的平移与坐标变化的规律又是什么？因此，在教学中，安排了对这一问题的解释说明，既保证了知识的完整性，又体现了知识的可持续性.

（3）部分学困生对于本节规律的运用还存在一定的困难，主要体现在“数”与“形”之间不能灵活的转换.所以对于例题的讲解，笔者采用了先由学生讲解解题过程及方法，再由教师补充说明的教学手段，借助了文字语言、图形语言、坐标表示来演绎“数”与“形”的转化.

教学设计思路

（1）依据现代数学教育理念，本节课的设计思路为：激趣引入，揭示课题—探究发现，合作交流—解释应用，拓展创新—知识梳理，畅所欲言—布置作业，巩固提高.

（2）本节课以中国象棋作为情境引入，通过把实际生活中的问题转化为数学问题，激发学生的学习兴趣；选用多媒体直观演示法，使学生在不自觉中经历了规律的形成过程，并能更好地把握规律的本质，运用规律解决问题.

（3）在教学过程中始终立足于在学生已有知识的基础上，进一步发展提高，并有针对性地解决学生的学习难点，不断深化对“数”与“形”结合的理解和认识.

教学过程设计

1.激趣引入，揭示课题

教师活动：情境1：如图1所示的棋盘上，车从点A走到点B至少需要几步？有几种走法？马从点A走到点B至少需要几步？

图1

图2

情境2：在如图1所示的棋盘上建立平面直角坐标系，用坐标描述点A和点B的位置（如图2），引导学生发现棋子在坐标系中平移时，位置发生变化的同时坐标也发生了变化，紧接着提出问题：平移和坐标有什么关系呢？

本环节教师关注：（1）学生学习本节课的兴趣；

（2）学生能否通过鲜活的背景及生活素材抽象出平移的概念及性质.

（3）学生是否在给定的直角坐标系中，由点的位置给出点的坐标.

学生活动：学生介绍中国象棋的走棋规则，再从已有的数学知识出发，建立新、旧知识之间的联系，有利于学生获得新的知识和技能.

活动说明：情境的引入有助于提高学生的学习兴趣，同时复习平移和平面直角坐标系的相关知识，为新知识做铺垫，使得课程自然地过渡到新课题的学习中去.

2.探究发现，合作交流

教师活动：在平面直角坐标系中，点A（1，3）向右平移1个单位长度到点A1，点A1的坐标是什么？坐标发生了怎样的变化？点A向右平移4个单位长度到点A2，点A2的坐标是什么？坐标发生了怎样的变化？

反过来，点A向左平移3个单位长度到点A3，坐标发生了怎样的变化？点A向左平移5个单位到点A4，坐标发生了怎样的变化？

本环节教师关注：（1）学生是否能够抓住点在左右平移时，坐标变化的本质，并用文字语言准确地描述出来；

（2）学生是否能用抽象的数学符号描述出点的左右平移和坐标变化的关系.

学生活动：学生经过观察多媒体直观演示，独立思考，用文字语言总结出点左右平移时坐标变化的规律，再由师生共同总结在平面直角坐标系内，点（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））.观察点在平面直角坐标系中左右平移的运动轨迹是一条平行于x轴的直线，使学生对于点左右平移时纵坐标不变产生直观认识.并能借助直角坐标系解释点上下平移时，为什么横坐标不变.

活动说明：采用实验、观察、探索的学习方法，减少学生在学习过程中对教师的依赖，体现了“在参与中体验，在活动中发展”的全新理念.

探究1：在坐标系中任取两个点，把它向上和向下平移你喜欢的单位长度，观察坐标的变化情况，你能总结出上下平移的规律吗？

本环节教师关注：（1）学生的投入程度；

（2）学生是否能参照点的左右平移的学习方法；

（3）学生能否正确、完整地书写出结论.

学生活动：（1）学生在学案上按要求动手作图，利用图形直观地解决问题.（2）由学生独立总结将点（x，y）向上（或向下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））.

活动说明：学生动手实践，利用多种感官全方位参与探究知识的过程，给学生创设充分表现自己的时间与空间，引导学生去探索、发现、归纳.

教师活动：运用知识解决课前问题：应用点的平移和坐标变化的规律，回到本节课开始，用坐标表示出车从点A平移到点B的路线.

学生活动：独立完成，如图3所示.

图3

教师引导学生观察发现：（1）两次平移的先后顺序，不会影响平移终点的坐标；

（2）车的两次平移和马的一次平移殊途同归，这说明水平和竖直方向以外的平移可以通过一次水平方向的平移和一次竖直方向的平移共同完成.

活动说明：将点的平移提高了一个层次，使得学生可以解决实际生活中任意方向上的平移问题，同时为图形的水平和竖直方向以外的平移埋下伏笔，既保证了知识的完整性，又体现了知识的可持续性.

探究2：图形的平移和图形上点坐标的变化关系.

正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-4，3），B（-2，3），C（-2，1），D（-4，1），将正方形向右平移7个单位，向下平移5个单位.

（1）平移后顶点坐标分别为多少？

（2）对应顶点的横坐标发生了什么变化？纵坐标呢？

（3）只有对应顶点坐标有这样的变化规律吗？正方形上其他对应点的坐标也有相同的变化规律吗？

（4）为什么图形上所有对应点的坐标都具有相同的变化规律？

本环节教师关注：（1）学生是否能够经历从特殊到一般的数学思维方式；

（2）学生是否能发现图形平移的本质为图形上点的平移；

（3）学困生存在的问题，及时给予指导和鼓励.

学生活动：学生在学案上自己动手画图，并通过小组交流合作得出结论.

活动说明：学生掌握点的平移与其坐标的变化关系后，将知识迁移到几何图形的平移上来，有意识地让学生主动去观察、比较、归纳，积极思考.

探究3：坐标变化和图形平移的关系.

△ABC三个顶点坐标分别是A（-1，4），B（-3，3），C（-2，2）.将三个顶点坐标都做如下的变化.

（1）横坐标都加4，纵坐标不变，得到△A1B1C1，△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？

（2）纵坐标都减5，横坐标不变，得到△A2B2C2，△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？

本环节教师关注：（1）学生是否能在作图过程中逐渐联想到用坐标表示图形平移时，往往可以通过某些特殊点的平移来解决；

（2）帮助学生总结如果要得到图形平移的方向和距离，需要寻找平移前后对应点的坐标；

（3）关注学生的实践能力，及时辅导学困生，并最大限度地利用学有余力的学生来帮助同伴.

师生活动：学生在学案上通过作图完成第（1），（2）小题.再由师生共同总结：横坐标变化，图形左右平移；纵坐标变化，图形上下平移.

活动说明：学生的独立探究是学生学习的基础，通过学生动手探索，有利于学生对知识的理解与内化.引导学生猜想，实践观察，最后得到结论是符合认知规律的.

练习：横坐标都减2，纵坐标加3，得到△A3B3C3，△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？

学生活动：运用结论，完成练习，达到及时巩固的目的.

3.解释应用，拓展创新

例1 如图4，△ABC经过平移得到△A1B1C1，已知点C（-2，-3）和点C1（2，2）.

图4

（1）把△ABC向______平移______个单位长度，向______平移______个单位长度得到△A1B1C1.

（2）如果点B的坐标为B（-3，-2），则点B1的坐标为_______.

（3）如果点P（a，b）和点P1为图形中的一组对应点，则点P1的坐标为________.

（4）如果点A1的坐标为A1（3，4），则点A的坐标为________

.本环节教师关注：（1）学生运用新知解决问题的熟练度、灵活度；

（2）学困生对于新知的运用程度；

（3）第（4）小题是易错题，提醒学生做题时，弄清题意；

（4）教师在学生讲解结束后不仅要给予肯定和补充，还要把解题过程提炼为解题方法.

学生活动：学生独立完成例题，再由学生讲解解题的过程.

活动说明：例题的设置是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况，教师可根据学生反馈的具体情况做适当的评价与补充，从而达到巩固提高的目的.方法的提炼使学生学会了总结、概括和归纳.同时有了一定的方法让学生在解决问题时更加得心应手.

数学擂台赛：（1）如图5，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，当飞机P飞行到点P1位置时，飞机Q，R飞行到了什么位置？用坐标表示出点Q1，R1的坐标分别为______，______.

图5

（2）将图6（1）平移后得到图6（2），若点P（4，3.2），则平移后点P的坐标为_______.

图6

（3）如图7，图中阴影部分的面积为_________.

图7

学生活动：以小组为单位，计分制的规则，抢答的形式，每道题由小组成员共同完成，再由小组代表完成答题，并分析解题过程.

活动说明：课堂练习部分，以小组擂台赛的形式展开，给学生创设一个实践的舞台以竞争者的角色进入课堂，积极探寻竞赛致胜的解题策略，提高知识的运用水平.抢答题是在学生掌握本节知识点的基础上，举一反三，充分利用基本知识点解题，再现数学基础知识的应用过程.此环节设计较为灵活，准备了较多的问题，根据课堂时间控制题量.

4.知识梳理，畅所欲言

课堂小结：分享你的收获，谈谈你的困惑.

教师活动：教师引导学生归纳总结本节课所学的主要内容和所涉及的数学方法、数学思想，鼓励学生提出新问题.

学生活动：学生通过小组讨论，对本节课所学的主要内容和数学方法进行归纳，再由小组派出代表展示讨论成果.

活动说明：这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点、突出内容本质、渗透思想方法，培养学生自我反馈、自主评价的意识，促进学生可持续地、和谐地发展．通过对知识的梳理达到理清知识脉络，使知识的呈现更加突出，同时给学生畅所欲言的机会，使每一位学生发现自己的进步，对学习充满自信，成为学习的主人.

5.作业布置，巩固提高

（1）教材第78页第3题，第79页第4题，第8题.

（2）探究用坐标表示图形关于坐标轴的翻折变换.

活动说明：及时了解学生的学习效果，调整教学安排.通过课后的独立思考，自我评价学习效果；学会反思，发现问题，及时给予纠正.开放性作业的布置，是对本节课数学思想、探究方法的一种运用，突出了学生的发展，培养了学生的创新能力.

板书设计

7.2.2用坐标表示平移

一、图形（点）平移和坐标变化的规律

二、坐标变化和图形平移的关系

横坐标变化，图形左右平移

纵坐标变化，图形上下平移

例题讲评：略.

课后评价与反思

本节课笔者在情境的创设和知识的引导上做了一些尝试和思考，从学生耳熟能详的中国象棋引入，让学生产生浓厚的兴趣，同时也将本节课的内容蕴藏其中.本节课主要采用“教师创设问题情境—学生自主探索与小组合作交流—师生共同概括明晰”的教学思路，使课堂教学真正落实到学生的发展上，体现了以教师为主导、学生为主体，以思想为导向、知识为载体，以方法为中介、训练为主干，以培养学生的思维能力为中心、操作为动力的教学理念.总体来讲，笔者认为做到了以下几点.

（1）在教材的处理上，对教材的内容进行了优化处理，为跳跃较大的知识点做充分的铺垫，密切联系新、旧知识，让学生借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大知识结构，发展能力.

（2）在教学的过程中，采用学案设计教学任务，引导学生画图、观察、思考，得出结论，给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，减少了学生在学习过程中对教师的依赖，学生通过在坐标系下对坐标变化和图形平移之间关系的探索，亲身经历了知识的形成过程，培养了自主探究、独立思考、合作交流、归纳总结等良好的学习习惯，发展了学生的形象思维能力和数形结合思想.

（3）在课堂练习的处理上，打破了传统的模式，采用了数学擂台赛的形式，给学生创设一个实践的舞台，让学生“动”起来，主动参与到教学活动中，增强其参与课堂的意识和能力；另外，让学生“想”起来，以竞争者的角色进入课堂，积极探寻竞赛致胜的解题策略，提高知识的运用水平，使课堂成为促使学生发展的广阔基地.

［1］郭宏旻，成继红.论新课程背景下的数学有效教学［J］.教育与职业，2006（33）：80-82.

［2］姜安梅.例析坐标方法理解和应用［J］.数理化解题研究（初中版），2014（7）：1-2.

［3］邱小航.平移法在一类存在性问题中的应用［J］.初中数学教与学，2014（9）：24-27.

银玲（1983—），女，中学一级教师，主要从事数学教育与中学教学研究.

2015—12—09