自觉数学课堂，重在关注“学程规划”

■何丽华

自觉数学课堂，重在关注“学程规划”

■何丽华

学程规划是自觉数学课堂“以学定教”“学生发展为本”教育思想和新课程核心理念“关注学生差异”的具体体现，是相对于传统的教学设计而提出的一种新的概念。它要求教师了解学生学习的历程，并充分发挥学生的主体性，让学生积极参与课堂开发，选择和调整课堂活动，在师生的交互中动态生成。

自觉数学课堂学程规划

一、准备性学习——为“学程”提供学力支撑

准备性学习是让学生从精神上、心理上、智力上做好学习新知识的准备，包括学生学习动机的强度、基础知识和能力的准备、信息总量的积聚和积极行动的热情等。平时我们经常会感叹：为什么同样的教师，同样的时间，而且都是新内容，学生的学习效能差别会如此之大？原因在于学生在“学程”开始之前的原有知识结构、经验、思维习惯和认识准备等是有差别的。用有差别的内在图式去顺应或同化一个新内容，结果当然是不同的。而准备性学习的目的就是将学生尚处于参差不齐的经验水平调整到大致相当，为下一步的“学程”提供学力支撑。我们提供给学生的准备性学习有多种方式和多种途径，如合理的旧知回顾、教学引入、准备性学案等等。下面就以教学引入为例来说明：

案例1苏科版八年级上册“5.3一次函数的图像（1）”教学引入

师：（课前已在黑板上写好了课题）同学们，我们今天学习的课题是什么？

生：一次函数的图像！

师：你将这个课题读懂了吗？

生：不太懂！

师：有谁读懂了，谁来解读课题“一次函数的图像”？

生1：老师，这个课题并不难懂！只要抓关键词“图像”，一次函数是“定语”，不同的函数有不同的图像，今天我们只研究一次函数的图像！

师：什么是函数的图像？

生2：在直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标的点，所组成的图形叫做这个函数的图像。

师：那什么是一次函数的图像呢？

生3：（知识要点1）在直角坐标系中，以一次函数的自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标的点，所组成的图形叫做这个一次函数的图像。

点评：一次函数的图像是学生真正接触“数形结合思想”的开端，也是学生从熟悉的“数”向陌生的“形”转换的起点，此处一定要让学生深入理解，而这也是教师常常容易忽视的地方。对这个知识要点的理解，光靠学生预习是很难完成的，上课前先进行集体研讨是很有必要的，同时也教会了学生研读教材的方法，提高了学生分析问题的能力，更为“学程”做好了认知的准备。

启示：当我们从案例中受到启发来对准备性学习开始思考的时候，才意识到先哲们早已对学习准备的重要性作过精辟的论述。比如孔子“温故而知新”中的“温故”是对学习准备的强调；再如皮亚杰提出的同化与顺应，都基于内在的图式，而内在的图式即可视为对学习准备的强调。“学程”的起始应该根植于学生的经验之中，但在实际教学中，我们很少去关注学生个体在经验获得和经验质量上的差异。因此，在“学程”开始之前分析该数学知识所依赖的经验，通过准备性学习，使全班学生能够在经验层面上达到大致相同的可接受水平，为学生下一步学习提供了学力支撑。

二、吃透“编路”，优化“教程”利于“学程”

案例2苏科版七年级下册“探索三角形全等的条件5（直角三角形的判定）”

教材呈现：

例题如图1，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，△ABC与△BAD全等吗？为什么？

图1

编路分析：

“编路”就是教材编排的意图、思路，体现了教材编写者对学生发展需要的一种理解。教材中这个例题的作用就是巩固刚学的直角三角形的判定（HL）。

学程规划：

在探索出直角三角形判定后直接教授此例题，虽然可以起到巩固练习的作用，但降低了例题的教学功能和价值，也无法展开学生学习数学的历程，错失了培养学生的思维品质和提升元认知水平的契机。笔者从“学程”的角度出发，对此例题进行了如下“教程”设计：

例题两块直角三角形纸板如图2放置，已知∠C=∠D=90°，AC=BD。问AD=BC吗？为什么？

图形变式：如果将两个三角形其中的一个直角三角形向右平移一定距离，得到△ECF，如图3，∠C=∠D=90°，条件不变。EC=BD，AE=BF，问AD=BC吗？为什么？

图2

图3

图4

图5

策略变式：我们继续以图2为蓝本，将△ABD 沿AB向下翻折，如图4，原例题中条件不变，结论还成立吗？为什么？你有几种解题方法？

变式拓展：我们仍然以图2为蓝本，将△ABD绕点B顺时针旋转一定角度，连接AE，过点B作BF⊥AE，如图5，改编问题——已知：∠C=∠D= 90°，AC=BD，BC=DE，连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，则AF=EF吗？为什么？

情景变式：如图6，工人师傅将两把等长的梯子AB和PQ置于墙边，其中AB固定于木桩BC上，PQ靠在墙边，恰好形成如图所示的两个直角三角形，已知∠C=90°，BC=5m，AC=10m。聪明的小明，使梯子一端P运动到AC上的某一位置时，△ABC与△APQ恰好全等。你知道这是什么位置吗？（几何画板展示）

图6

解后反思：通过刚才的例题及其变式，你有什么收获和感悟？（组内交流讨论）

点评：如何做到“教程”为“学程”服务呢？本案例作了很好的尝试，笔者以“四个变式+解后反思”的方式呈现，目的有：（1）教程服务于学程。“图形变式——策略变式——变式拓展——情景变式”这样的教程设计，主要让学生领悟几何图形世界的乐趣、变化和本质，突破封闭性，打破思维的定式，增强应变能力，廓开了思域。（2）“解后反思”让学生从“会解题”走向“学会解题”，达到学生对几何图形的“本质理解”，提高学生元认知水平。

启示：吃透“编路”就是对教材进行深层次的理解和把握。教科书有其天然的局限性——固定的、统一的，而课堂教学应该是流淌着的河，它是灵动的并不断生成着的。这就需要我们教师“活化教材”“超越教材”，主动地去选择和增添教学资源，创造性地使用教材，优化我们的“教程”，达到充分为学生的“学程”服务的目的。

三、多向变式，拓展引领“学程”

设计多向变式的目的是增加活动途径的多样性和活动过程的层次性。每个数学活动都包含一个或一系列变式，这些变式包括化归或探索的步骤和策略。知识体系（概念体系）反映概念或命题的逻辑结构，而经验系统（即过程）则反映学习者主观的问题解决的特定经验。经验系统的丰富性和有效性对于完善认知结构极为重要。在“学程规划”中，我们要不断构建特定经验系统的变式：（1）改变某一问题：改变初始问题成为一个铺垫，或者通过改变条件、改变结论和推广结论来拓展初始问题。（2）以同一个问题的不同解决过程为变式，形成一个问题的多种解决方法，从而联结各种不同的解决方法。（3）同一方法解决多种问题，将某种特定的方法用于解决一类相似的问题。通过这样的变式引领下的“学程规划”，让学生“从变化中学会变化”，就会使学生具有很强的应变能力和丰富的解决问题的策略，更重要的是丰富和完善了学生“学程”的经验系统。

案例3苏科版八年级下册“分式方程（3）”

教材呈现：

例3小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？

学程设计（多向变式）：

例题改编：小明买桔子共用去12元，小丽买香蕉共用去21元，已知香蕉的单价比桔子的单价贵1.2元/斤，小明和小丽能买到的桔子和香蕉一样多，求桔子和香蕉的单价分别是多少元？

变式1（情景变式）：小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？

变式2（条件变式）：题中条件“香蕉的单价是桔子的单价的1.5倍”变为“单价的2倍”，方程如何变化？（多媒体演示）

点评：（1）例题改编的目的：设置低起点的问题，让学生很容易上手，唤醒已有的数学活动经验，使学生的学习活动始终处于最近发展区。（2）不断地将多向变式加以优化呈现，采用条件变式、情景变式、逆向变式、创新变式等等，让学生充分感受分式方程在解决实际问题中的应用以及注意点，引领学生再学习、再思考、再提升，引导学生不断挖掘自身的潜能，提高自身的建模能力。③通过“编题”的环节来拓宽提升——唤醒创造力，培养数学眼光，提高分析生活世界的能力和意识。

启示：在案例3中笔者对原有的例题进行“改造”，通过“例题变式——情景变式——条件变式——逆向变式——变式拓展——创新变式”这样层层深入的变式引领，有以下几个学程设置目的：（1）“授之以鱼”不如“授之以渔”，在不同的变式问题学习中，让学生明白利用数学知识解决实际问题应掌握数学思考的一般分析方法；（2）以上问题变式，打破了封闭性，不但可以帮助学生克服思维定势的消极影响，而且也促进了学生对问题“条件变化”与“方程变化”的认识，同时使学生进一步深化了对数学本质的理解；（3）改变静止、孤立地看问题的思维习惯，有助于学生把握数学规律，形成“以不变应万变”的能力，而且更重要的在于这样的变式引领拉长了学生“学程”，使学生的学习可以循序渐进地进行，同时学生获得了“多层次的活动经验系统”，为以后其他“学程”积累了可贵的“数学活动经验”。

（作者为江苏常州市金坛区白塔中学教师，常州市初中自觉数学教育潘建明名师工作室成员）