数学模型与数学分析——怎样解答“盈亏问题”

邓忠洪

（四川省资阳市雁江区第七小学）

数学模型与数学分析
——怎样解答“盈亏问题”

邓忠洪

（四川省资阳市雁江区第七小学）

平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还是做不来。数学的建模与分析非常重要，有了规范的数学模型，就能正确地进行数学分析。只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题。笔者以“盈亏问题”的解题方法为例，谈谈怎样建立数学模型和进行数学分析。

一、他人的经验及方法

把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是：份数=（盈+亏）÷两次分配数的差；

物品总数=每份个数×份数±盈亏数。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配人数，进而求出物品的数量。

趣味数学之《木长几何》——《孙子算经》里有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺。木长几何？（屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）

分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半（如图）。

解答：绳子的长度：（4.5+1）×2=11（尺）

木料的长度：11-4.5=6.5（尺）

答：（略）

分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。”这里用到了一点点“盈亏问题”。为什么这样说呢？遇到类似问题还能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。

二、建立数学模型

他人的方法及经验看似简单易行，可事实并非如此。学生机械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。

笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题”的特点——它就是两种有余数的除法，再根据有余数除法各部分间的关系，建立“盈亏问题”总的数学模型：

“盈亏问题”总的数学模型中两次被平均分的总数——被除数是一定（不变）的；平均分的标准不同，我们归纳为两种，即除数1和除数2；分得的结果中的份数——商也是一定（不变）的，分得的结果中的余数——盈亏数则不同，我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时，除数变大，余数则会变小，反之。

两次分得的余数之间的差，我们把它定义为“总差”，两次平均分的标准之间的差，我们把它定义为“小差”。正因为有分得的结果之一“商”那么多个“小差”才汇成最后结果之二“余数”间的“总差”，即“小差×商=总差”。于是，关键问题“商”就得到解决：商=总差÷小差。

如“幼儿园买来一些玩具，如果每班分7个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则差13个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？”的数学模型：

三、进行数学分析

根据建好的数学模型，我们进行“盈亏问题”的数学分析：

第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多（2+13）个为“总差”，第二种分法比第一种分法每班多分（10-7）个为“小差”，每班多分的“小差”乘班数就等于最后的“总差”。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。

这个幼儿园有（2+13）÷（10-7）=5（班）

求出了模型中的商，再根据有余数的除法中“被除数=商×除数+余数”就可求出这批玩具共有多少个了。

这批玩具有7×5+2=37（个）或10×5-13=37（个）

答：（略）

四、适时推广应用

我们通过建立数学模型和进行数学分析，掌握了“盈亏问题”的解题方法，适当增加难度，加以推广应用。

1.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折即把绳子平均分成两份，三折即三股。）

社区教育传承与创新非物质文化遗产的活动主体多为各级政府部门、驻社区机构、公共服务机构、企事业单位、社区居民、学校及其他教育机构等，但各部门的责任分工还不够细化明确。尽管一些院校开展了非物质文化遗产的教育工作，设置了相关课程，但仍存在不专业现象。比如艺术院校将原本的设计艺术学专业设置为“传统工艺美术”，将原本的戏曲文学专业设置为“传统戏曲”等，但这些课程所涉及的内容往往学科化有余，传统性传承性不足，而且，非物质遗产的中、高等教育有待健全［7］。此外，企业组织机构及其他社会力量的参与度并不够，也在很大程度上限制了活动的灵活性和影响力，达不到应有的社会效应。

很明显，该题不能用“他人的经验及方法”之《木长几何》的方法来进行解答。而《木长几何》题目却能用“盈亏问题”的模型来进行分析和解答。

2.小宏从家到校上学，出发时他看看表，发现如果每分钟步行80米，他将迟到5分钟；如果先步行10分钟后，再改成骑车每分钟行200米，他就可以提前1分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟？

观察分析，这两题都属“盈亏问题”，只是题中的“盈亏（余数）”不是现成的，需要首先求出。

第1题的数学模型及数学分析：

井深：（5×2+1×3）÷（3-2）=13（米）

绳长：2×13+5×2=36（米）或（13+5）×2=36（米）答：（略）

《木长几何》数学模型及数学分析:

木长：（4.5×1+1×2）÷（2-1）=6.5（尺）

绳长：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）×2=11（尺）

答：（略）

通过比较《木长几何》的两种方法，我们发现，他人的经验及方法具有局限性，只能用于特例；而我们的“盈亏问题”模型具有通用性，只要是“盈亏问题”都能用它来解答。

第2题的数学模型及数学分析——

“余数1”：80×5=400（米）

求“余数2”步骤多一些。

①10分钟的步行改成骑车要提前：10-80×10÷200=6（分）

②假如他骑车一直骑到上学时间到时会多行：200×（6+1）= 1400（米）

“余数2”也可：（200-80）×10+200×1=1400（米）

小宏从家出发时离上学有：（400+1400）÷（200-80）=15（分）

答：（略）

我相信，只要坚持让学生按数学模型来读题、抄题，数学分析就更加容易和明了，他们就会更好地解决各种数学难题。

何升根.也谈“一类盈亏问题的解法”［J］.小学教学参考：教学版，2006（35）：45.

·编辑段丽君