一种扩张AKNS可积方程族的方法

冯莉莉, 于发军

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



理论与应用研究

一种扩张AKNS可积方程族的方法

冯莉莉, 于发军

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

目前人们从反对称矩阵李代数的角度出发,基本都是围绕着2×2 Lax对进行研究,而对4×4 Lax对的讨论的还比较少。可积耦合系统是当代非线性学科的一个重要研究内容,可积Hamiltonian系统理论在各个学科都有着深远的意义,利用它能推导出许多有意义的非线性演化方程。巧妙利用6个基元获得新的loop代数,将2×2 AKNS方程族的Lax对扩张成4×4 AKNS方程族的Lax对,进而获得其可积耦合系统。首先,构建一个4×4的反对称李代数。然后,利用伴随零曲率方程获得递推算子L,选定合适的初始值带入递推方程中,得到一个新的可积耦合方程族和广义的AKNS方程。最后,应用迹恒等式和屠格式,成功地建立了相应可积耦合方程族的Hamiltonian结构。

AKNS方程族; 可积系统; 李代数; Hamiltonian结构

孤立子在数学领域是一个崭新的概念,它有许多独特的性质,被广泛应用到非线性偏微分方程中[1-10]。但这种方程求解复杂,没有通用的求解方法,因而孤立子概念被提出,发展了求解一类非线性方程系统的方法。

本文主要思路如下:首先,构建一个4×4的反对称李代数,得到了一个新的可积耦合方程族和辛算子J;其次,得到了一系列标量函数Hn和递推算子L;最后,一些得到的结论将被给出。

1 扩张AKNS方程族的可积耦合系统

本文从反对称矩阵李代数的角度出发,构造一个4×4的Lax对[11-15],利用屠格式,获得扩张的AKNS可积系统。令A1=span{e1,e2,e3,e4,e5,e6},

考虑下列的谱问题

其中:λ是谱参数;q(x,t),r(x,t),u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t)是关于x和t的势函数。 设

其中am,bm,cm,dm,fm,gm也是关于x和t的势函数。

相应的伴随零曲率方程为

依据方程(5),得到的递推关系为

选定如下的初值

将选定的初值代入递推方程(6)得到

由方程(1)得到一系列的方程族

其中

将n=2代入方程(9)中,则方程(9)可以导出为如下的具体方程

当u1=u2=u3=0,方程(11)将演化成NLS方程,因此方程(9)是广义的AKNS方程族。可以利用扩张基元的方法,令u1=u2=u3=0,这样经过一系列的计算就能推出该方程的Hamiltonian结构。

2 Hamiltonian结构

根据迹恒等式,通过计算可以得到

把以上的式子代入迹恒等式中得到

比较λ-n-1的阶次,方程(13)有如下的形式

为了得到常数γ,在式子(14)中令n=0,通过计算得到γ=0。于是有

故相应的AKNS可积耦合方程族的Hamiltonian的形式为

根据递推关系(6),得到AKNS可积耦合方程族的递推算子L

其中

L51=∂-1u2∂-∂-1ru3

L52=-∂-1u1∂+∂-1qu3

L53=-∂-1r∂-∂-1u2u3

L54=∂-1q∂+∂-1u1u3

L55=0

因此,从Lax对出发,采用谱扩张的方法,通过迹恒等式和屠格式就获得了此方程的Hamiltonian 结构。

3 结 论

本文利用4×4的Lax对,得到一个广义的AKNS可积耦合方程族,利用迹恒等式得到该方程的Hamiltonian形式,通过计算,进一步得到辛算子J和一系列标量函数Hn。

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An approach for enlarging integrable hierarchy of AKNS hierarchy

FENG Lili, YU Fajun

(College of Mathematics and Systematic Sciences, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this paper, we start from a antisymmetric matrix Lie algebra problem. Because most of works focus on the Lax pairs of 2×2 Lax pairs, there is less work to search for the Lax pairs of 4×4 Lax pairs. Integrable coupling system is an interesting content in nonlinear science. The Hamiltonian structure of integrable coupling hierarchy has an important meaning in other studies, which can derive many nonlinear soliton equations. We obtain a new loop algebra by using six elements of matrix Lie algebra and enlarge AKNS hierarchy with 2×2 Lax pairs to AKNS hierarchy with 4×4 Lax pairs, which can get its integrable coupling AKNS system. We construct a 4×4 Lax pairs with antisymmetric matrix Lie algebra. By zero-curvature representation, a recurrence operator L is presented, then we get a new integrable coupling equation hierarchy and find a generalized AKNS equation hierarchy. At last, its Hamiltonian structure is obtained through the trace identity and Tu scheme.

AKNS hierarchy; integrable system; Lie algebra; Hamiltonian structure

2016-01-07。

辽宁省科技厅自然科学基金资助项目(2015020029)。

冯莉莉(1992-),女,辽宁锦州人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者: 于发军(1979-),男,辽宁大连人,沈阳师范大学副教授,博士。

1673-5862(2016)03-0329-04

O175.2

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.016